数学物理方程第五章练习题.pdf

. . . . . . . 一阶偏微分方程组 齐 海 涛 山东大学（威海）数学与统计学院 htqisdu 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-31 / 45 目录 . . . 1引言 . . . 2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 . . . 3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . . . 4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . . . 5幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-32 / 45 . . . 1引言 . . . 2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 . . . 3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . . . 4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . . . 5幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33 / 45 引言 . Example 1.1 . . . . . . . . 把波动方程 2u t2 = a2 (2u x2 + 2u y2 + 2u z2 ) 带初始条件 u|t=0= (x,y,z), u t ? ? ?t=0= (x,y,z) 的柯西问题化为一个一阶方程组的柯西问题, 并证明其解的等价性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33 / 45 引言 . Example 1.1 . . . . . . . . 把波动方程 2u t2 = a2 (2u x2 + 2u y2 + 2u z2 ) 带初始条件 u|t=0= (x,y,z), u t ? ? ?t=0= (x,y,z) 的柯西问题化为一个一阶方程组的柯西问题, 并证明其解的等价性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33 / 45 引言 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-34 / 45 引言 . Example 1.2 . . . . . . . . 把方程 2u t2 = a2 (2u x2 + 2u y2 ) 带初始条件 u|t=0= 0, u t ? ? ?t=0= exsiny 的柯西问题化为一个一阶偏微分方程组的柯西问题. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35 / 45 引言 . Example 1.2 . . . . . . . . 把方程 2u t2 = a2 (2u x2 + 2u y2 ) 带初始条件 u|t=0= 0, u t ? ? ?t=0= exsiny 的柯西问题化为一个一阶偏微分方程组的柯西问题. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35 / 45 引言 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-36 / 45 引言 . Example 1.3 . . . . . . . . 证明任一柯瓦列夫斯卡娅型方程(1.9)的柯西问题(在t = 0时, 给定u, ., m1u tm1之值作为初值)可以化为一阶方程组的柯西问题, 并证明其解的等价性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37 / 45 引言 . Example 1.3 . . . . . . . . 证明任一柯瓦列夫斯卡娅型方程(1.9)的柯西问题(在t = 0时, 给定u, ., m1u tm1之值作为初值)可以化为一阶方程组的柯西问题, 并证明其解的等价性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37 / 45 引言 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-38 / 45 . . . 1引言 . . . 2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 . . . 3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . . . 4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . . . 5幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.1 . . . . . . . . 求一阶方程 (1) u t + a(x,t)u x + b(x,t)u + c(x,t) = 0, (2) u t + a(x,t)u x + b(x,t,u) = 0 的特征线和解沿特征线应成立的关系式. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.1 . . . . . . . . 求一阶方程 (1) u t + a(x,t)u x + b(x,t)u + c(x,t) = 0, (2) u t + a(x,t)u x + b(x,t,u) = 0 的特征线和解沿特征线应成立的关系式. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-310 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.2 . . . . . . . . 求下列一阶方程带初始条件u|t=0= (x)的柯西问题的解: (1) u t + u x = 0;(2) u t + u x = u. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.2 . . . . . . . . 求下列一阶方程带初始条件u|t=0= (x)的柯西问题的解: (1) u t + u x = 0;(2) u t + u x = u. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-312 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.3 . . . . . . . . 判断方程组 u1 t =a(x,t)u1 x b(x,t)u2 x + f1, u2 t =b(x,t)u1 x + a(x,t)u2 x + f2, 属于何种类型. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.3 . . . . . . . . 判断方程组 u1 t =a(x,t)u1 x b(x,t)u2 x + f1, u2 t =b(x,t)u1 x + a(x,t)u2 x + f2, 属于何种类型. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-314 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.4 . . . . . . . . 将下列方程组化为对角型方程组: (1) u t + (1 + sinx)u x + 2v x + x = 0, v t + u = 0; (2) u t = xu x + v x, v t = a2 u x + xv x (a 0); (3) u1 t + 6u1 x + 5u2 x = 0, u2 t + 5u1 x + 6u2 x = 2u2, 3u3 t + 6u3 x 3u1 x = 2u2+ 3u3 3u1. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.4 . . . . . . . . 将下列方程组化为对角型方程组: (1) u t + (1 + sinx)u x + 2v x + x = 0, v t + u = 0; (2) u t = xu x + v x, v t = a2 u x + xv x (a 0); (3) u1 t + 6u1 x + 5u2 x = 0, u2 t + 5u1 x + 6u2 x = 2u2, 3u3 t + 6u3 x 3u1 x = 2u2+ 3u3 3u1. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-316 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.5 . . . . . . . . 证明: 经过未知函数的任何实系数的可逆线性变换, 方程组(2.1)在每一点的 特征线方向(或特征曲线)保持不变, 因此也不会改变方程组(2.1)所属的类型. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-317 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.5 . . . . . . . . 证明: 经过未知函数的任何实系数的可逆线性变换, 方程组(2.1)在每一点的 特征线方向(或特征曲线)保持不变, 因此也不会改变方程组(2.1)所属的类型. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-317 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-318 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.6 . . . . . . . . 证明: 方程组(2.1)在每一点的特征线方向(或特征曲线)经过自变量的任何可 逆变换后就变成变换后方程组在对应点的特征线方向(或特征曲线), 即特征线 方向(或特征曲线)对可逆坐标变换具有不变型. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-319 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.6 . . . . . . . . 证明: 方程组(2.1)在每一点的特征线方向(或特征曲线)经过自变量的任何可 逆变换后就变成变换后方程组在对应点的特征线方向(或特征曲线), 即特征线 方向(或特征曲线)对可逆坐标变换具有不变型. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-319 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-320 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.7 . . . . . . . . 证明: 对于两个未知函数的任何线性椭圆型方程组, 都可能通过未知函数的实 系数的可逆线性变换, 化为下面的形式: V1 t =aV1 x bV2 x + f1, V2 t =bV1 x + aV2 x + f2, 其中a, b 为x, t的函数, 且b , 0, 而f1, f2为未知函数的线性函数. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-321 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 . Example 2.7 . . . . . . . . 证明: 对于两个未知函数的任何线性椭圆型方程组, 都可能通过未知函数的实 系数的可逆线性变换, 化为下面的形式: V1 t =aV1 x bV2 x + f1, V2 t =bV1 x + aV2 x + f2, 其中a, b 为x, t的函数, 且b , 0, 而f1, f2为未知函数的线性函数. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-321 / 45 两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-322 / 45 . . . 1引言 . . . 2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 . . . 3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . . . 4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . . . 5幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-323 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . Example 3.1 . . . . . . . . 用逐次逼近法求方程组 u t + u x = v, v t v x = u 带下列初始条件的柯西问题的解: (1) u|t=0= 1,v|t=0= 0; (2) u|t=0= sinx,v|t=0= cosx. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-323 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . Example 3.1 . . . . . . . . 用逐次逼近法求方程组 u t + u x = v, v t v x = u 带下列初始条件的柯西问题的解: (1) u|t=0= 1,v|t=0= 0; (2) u|t=0= sinx,v|t=0= cosx. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-323 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-324 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . Example 3.2 . . . . . . . . 求解柯西问题: u t u x = (x + t)v, v t + v x + (x + t)u = 0, t = 0 :u = 0, v = 1. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-325 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . Example 3.2 . . . . . . . . 求解柯西问题: u t u x = (x + t)v, v t + v x + (x + t)u = 0, t = 0 :u = 0, v = 1. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-325 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-326 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . Example 3.3 . . . . . . . . 证明用(3.9)式表示的函数序列 V(n) i x (i = 1,.,N; n = 0,1,2,.)在区域G上 的一致收敛性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-327 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . Example 3.3 . . . . . . . . 证明用(3.9)式表示的函数序列 V(n) i x (i = 1,.,N; n = 0,1,2,.)在区域G上 的一致收敛性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-327 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-328 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . Example 3.4 . . . . . . . . 设 Vi(x,t) (i = 1,.,N)是方程组(3.1)带初始条件(3.2)的柯西问题在区域G上 的解, 且设 0= max (x,t)G (i=1,.,N) |i(x)|, = max (x,t)G (i=1,.,N) n j=1 |ij(x,t)|, () = max (x,t)G (i=1,.,N) |i(x,t)|, 则在区域G上成立着下面的估计式(哈尔(Haar)估计式) |Vi(x,t)| 0et+ t 0 ()e(t)d(i = 1,.,N), 并利用此估计式证明柯西问题(3.1)-(3.2)解的唯一性和对初始条件的连续依 赖性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-329 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . Example 3.4 . . . . . . . . 设 Vi(x,t) (i = 1,.,N)是方程组(3.1)带初始条件(3.2)的柯西问题在区域G上 的解, 且设 0= max (x,t)G (i=1,.,N) |i(x)|, = max (x,t)G (i=1,.,N) n j=1 |ij(x,t)|, () = max (x,t)G (i=1,.,N) |i(x,t)|, 则在区域G上成立着下面的估计式(哈尔(Haar)估计式) |Vi(x,t)| 0et+ t 0 ()e(t)d(i = 1,.,N), 并利用此估计式证明柯西问题(3.1)-(3.2)解的唯一性和对初始条件的连续依 赖性. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-329 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-330 / 45 . . . 1引言 . . . 2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 . . . 3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . . . 4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . . . 5幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-331 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . Example 4.1 . . . . . . . . 用逐次逼近法求方程组 u t + u x = v, v t v x = u 满足条件 u|x=t= sint,v|x=t= cost 的古尔沙问题的近似解, 并决定在特征线 x = t 上函数 v 的数值及在特征线 x = t 上函数 u 的数值. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-331 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . Example 4.1 . . . . . . . . 用逐次逼近法求方程组 u t + u x = v, v t v x = u 满足条件 u|x=t= sint,v|x=t= cost 的古尔沙问题的近似解, 并决定在特征线 x = t 上函数 v 的数值及在特征线 x = t 上函数 u 的数值. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-331 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-332 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . Example 4.2 . . . . . . . . 证明: 方程组(3.1)的任何广义柯西问题(即在某一处处不与特征方向相切的曲 线C : t = t(),x = x()上给定函数ui的数值ui= i() (i = 1,.,N), 要在曲 线C的某一侧求方程(3.1)满足此定解条件的解), 都可通过适当的坐标变换化 为普通的柯西问题来解决. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-333 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . Example 4.2 . . . . . . . . 证明: 方程组(3.1)的任何广义柯西问题(即在某一处处不与特征方向相切的曲 线C : t = t(),x = x()上给定函数ui的数值ui= i() (i = 1,.,N), 要在曲 线C的某一侧求方程(3.1)满足此定解条件的解), 都可通过适当的坐标变换化 为普通的柯西问题来解决. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-333 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-334 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . Example 4.3 . . . . . . . . 求解边值问题 2u t + u x + v x = 0, 2v t + 3u x v x = 0 (x 0,t 0), u|t=0= 0, v|t=0= x, x 0, u|x=0= u0(x), t 0. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-335 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . Example 4.3 . . . . . . . . 求解边值问题 2u t + u x + v x = 0, 2v t + 3u x v x = 0 (x 0,t 0), u|t=0= 0, v|t=0= x, x 0, u|x=0= u0(x), t 0. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-335 / 45 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-336 / 45 . . . 1引言 . . . 2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 . . . 3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 . . . 4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 . . . 5幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-337 / 45 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 . Example 5.1 . . . . . . . . 利用幂级数求形式解的方法解下列的柯西问题: u t = u x + (x t)u ext, u|t=0= x. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-337 / 45 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 . Example 5.1 . . . . . . . . 利用幂级数求形式解的方法解下列的柯西问题: u t = u x + (x t)u ext, u|t=0= x. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-337 / 45 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-338 / 45 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 . Example 5.2 . . . . . . . . 用幂级数法求方程组 u t + u x = v, v t v x = u 带初始条件 u|t=0= sinx, v|t=0= cosx 的柯西问题在点(t = 0,x = 1)附近的近似解(算到幂级数的三次项). 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-339 / 45 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 . Example 5.2 . . . . . . . . 用幂级数法求方程组 u t + u x = v, v t v x = u 带初始条件 u|t=0= sinx, v|t=0= cosx 的柯西问题在点(t = 0,x = 1)附近的近似解(算到幂级数的三次项). 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-339 / 45 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-340 / 45 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 . Example 5.3 . . . . . . . .对于一阶拟线性方程组, 证明柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-341 / 45 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 . Example 5.3 . . . . . . . .对于一阶拟线性方程组, 证明柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理. 解: 齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10