考研数学三真题.pdf

2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题参考答案 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的 1、当0 x 时，若tanxx与 k x是同阶无穷小，则k =（） A.1.B.2. C.3.D.4. 【答案】 C. 【解析】当0 x 时， 3 1 tan 3 xxx，则=3k. 2已知方程 5 50 xxk+=有3个不同的实根，则k的取值范围为（） A、 (, 4) B、(4,)+C、4,4D、( 4,4) 【答案】 D. 【解析】令 5 ( )5f xxxk=+，由( )0fx=得1x = ，当1x 时，( )0fx，当 11x 时，( )0fx， 当1x 时，( )0fx， 又由于lim( ) x f x = ，lim( ) x f x + = +， 方程要有三个不等实根，只需要( 1)=40fk+，(1)4 0() PA=10PB= 20 a = 2 1010 ()0101 0011aa A,b， 故 2 110aa = = ，因此1a =. 14、为连续型随机变量， 概率密度为 , 为的分布函数， 为的期望，求()1P F XEX=_ 【答案】 2 . 3 【解答】由条件可得 2 2 0 4 ( )dd 23 x EXxf xxx + = ，且可求得分布函数 2 0,0, ( ),02, 4 1,2. x x F xx x = 故可得 12 ()1 (). 33 P F XEXP F X= 三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15、（本题满分 10 分） 已知 2 ,0, ( ) e1,0. x x xx f x xx = + 求( )fx，并求( )f x的极值. 【答案】() = 2 2( + 1)；x 0 ( + 1)；x 0时： () = (2 1)= (2)= 2(2 + 2) = 22( + 1) 当x 0 ( + 1)；x 0 当x = 0： X f(x)= x 2 ,0 x 0时，(0) 0，()单调递减，当x 0，()单调递增 因此()在x = 0处取得极大值，且(0) = 1. 令( )0fx=得，1x = 及 1 e x =. 又 1 ( 1)0,( )0 e ff，故极小值为 1 ( 1)1 e f = ， 2 e 1 ( )e e f =. 16、（本题满分 10 分） 已知( , )f u v具有二阶连续偏导数， 且( , )(,)g x yxyf xy xy=+， 求 222 22 ggg xx yy + . 【答案】 1122 1 3.ff 【解析】依题意知， 12 (,)(,) g yfxy xyfxy xy x =+ ， 12 (,)(,) g xfxy xyfxy xy y =+ . 因为( , )f u v具有二阶连续偏导数，故 1221 ff=，因此， 2 11122122111222 2 ()()2 g fffffff x = += ， 2 111221221122 1 ()()1 g ffffff x y = = + ， 2 11122122111222 2 ()()2 g fffffff y = += + . 所以， 222 1122 22 1 3. ggg ff xx yy += 17、（本题满分 10 分） 已知( )y x满足微分方程 2 2 1 e 2 x yxy x =，且满足(1)ey=. （1）求( )y x； （2）若( , )12,0( )Dx yxy y x=，求区域D绕x轴旋转所得旋转体的体积. 【答案】 （1） 2 2 ( )e x y xx=. （2） 【解析】 （1） 22 dd 22 1 ( )eeee(). 2 xx x xx x y xCCx x =+=+ 因为(1)ey=，故0C =，所以 2 2 ( )e . x y xx= （2）由旋转体体积公式， 2 222 24 2 11 (e) de d(ee). 2 x x Vxxxx= 18、（本题满分 10 分） 求曲线() esin0 x yx x = 与 x 轴之间图形的面积. 解:设在区间 ,(1)nn+(0,1,2,)n =上所围的面积记为 n u,则 (1)(1) e|sin|d( 1)esin d nn xnx n nn uxxx x + = ; 记esin d x Ix x =,则e dcos(ecoscos de ) xxx Ixxx = = ecose dsinecos(esinsin de ) xxxxx xxxxx = = e (cossin ) x xxI = +, 所以 1 e(cossin ) 2 x IxxC = +; 因此 (1) (1) 11 ( 1) ()e(cossin )(ee) 22 n nxnn n n uxx + + = +=+; (这里需要注意cos ( 1)nn = ) 因此所求面积为 01 11e11 e 221 e2e1 n n nn u = =+=+=+ . 19、（本题满分 10 分） 设() 1 2 0 1d0,1,2 n n axxx n= （1）证明数列 n a单调递减；且() 2 1 2,3 2 nn n aan n = + （2）求 1 lim n n n a a . (1)证明: 1 2 1 0 (1) 10 n nn aaxxx dx + = ,所以 n a单调递减. 1 333 11 121221 222 00 0 11 (1)(1)(1) 33 nnn n axdxxxxdx = = 1 222 0 11 222 00 2 1 (1) 1d 3 1( 1d1d ) 3 1( ), 3 n nn nn n xxxx n xxxxxx n aa = = = 从而有() 2 1 2,3 2 nn n aan n = + ; (2)因为 21 1 nnn nnn aaa aaa =,而 2 1 limlim1 2 n nn n an an = + ,由夹逼准则知 1 lim1 n n n a a =. 20、（本题满分 11 分） 已知向量组I：()()() 2 123 1,1,4,1,0,4,1,2,3 T TT a=+ II：()()() 2 123 1,1,3,0,2,1,1,3,3 T TT aaa=+=+ 若向量组I与II等价，求a的取值，并将 3 用 123 , 线性表示. 【答案】1a ； 1a =时， 3123 (3)( 2)kkk=+ +（k为任意常数） ； 当1a 时， 3123 =+. 【解析】令 123 (,)=A , 123 (,)=B ，所以， 2 1 a= A， 2 2(1)a=B. 因向量组I与II等价，故( )( )( ,)rrr=ABA B，对矩阵( ,)A B作初等行变换.因为 2222 111101111101 ( ,)102123011022. 4433 130011 11aaaaaaaa = + A B 当1a =时，( )( )( ,)2rrr=ABA B； 当1a = 时，( )( )2rr=AB， 但( ,)3r=A B； 当1a 时，( )( )( ,)3rrr=ABA B. 综上，只需1a 即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系. 当1a =时， 1233 1023 (,)0112 0000 ，故 3112233 xxx=+的等价方程 组为 13 23 32, 2. xx xx = = + 故 3123 (3)( 2)kkk=+ +（k为任意常数） ； 当1a 时， 1233 1001 (,)0101 0011 ，所以 3123 =+. 21、（本题满分 11 分） 已知矩阵 221 22 002 Ax = 与 210 010 00 B y = 相似. （1）求x,y; （2）求可逆矩阵P使得 1 P APB =. 解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有 222 1, , xy += + = A B 又2(42 ) x= A,2y= B,所以3,2xy= . (2)易知B的特征值为2, 1, 2 ;因此 210 2001 000 r AE,取 T 1 ( 1,2,0) = , 120 001 000 r A+ E,取 T 2 ( 2,1,0) = , 401 2021 000 r A+ E,取 T 3 ( 1,2,4) = 令 1123 ( ,)P =,则有 1 11 200 010 002 P AP = ; 同理可得,对于矩阵B,有矩阵 2 110 030 001 P = , 1 22 200 010 002 P BP = ,所以 11 1122 P APP BP =,即 11 2 112 BPP APP =,所以 1 12 111 212 004 PPP = . 22、（本题满分 11 分） 设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为 1 的指数分布，Y的概率分布为(1)P Yp= =, (1)1P Yp= ,(01p)，令ZXY=. （1）求Z的概率密度; （2）p为何值时，X与Z不相关; （3）X与Z是否相互独立? 【答案】 （1） e ,0, ( ) (1)e ,0. z Z z pz fz pz = （2） 1 2 p =； （3）不独立. 【解析】 （1）Z的分布函数为( )()(1,)(1,) Z FzP XY zP YXzP YXz= +=， 因为X与Y相互独立，且X的分布函数为 1 e ,0, ( ) 0,0. x X x Fx x = 因此， e ,0, ( )1()(1)( ) (1)(1 e ),0. z ZXX z pz FzpFzp Fz pz =+= 所以，Z的概率密度为 e ,0, ( )( ) (1)e ,0. z ZZ z pz fzFz pz = （2） 当 22 (, )()0Cov X ZEXZEX EZEXEYEXEYDX EY=时，X与Z 不相关. 因为1DX =，12EYp= ，故 1 . 2 p = （3）不独立. 因为 (01,1)(01,1)(01)PXZPXXYPX=， 而 1 (1)(1)(1)(1 e )1 Z P ZFp =，故(01,1)(01)(1)PXZPXP Z， 所以X与Z不独立. 23、（本题满分 11 分） 设总体X的概率密度为 2 2 () 2 2e, ( ;) 0, x A x f x x = 是已知参数，0是未知参数，A是常数. 12 , n XXX是来自总体X简单随机样本. （1）求A； （2）求 2 的最大似然估计量. 【解答】 （1）由密度函数的规范性可知( )d1f xx + = ，即 222 222 () 222 0 21 ededed1 222 xtt AAA xttA + = ， 得 2 . A = （2）设似然函