北京理工大学数值分析课件.ppt

1,教材丁丽娟，程杞元，数值计算方法，高等教育出版社参考书各工科院校相应教材清华大学,哈工大,西安交大等,2,最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%)实验作业：下列1和2选择一个1.自选题(结合专业)，作业中包含下列内容(1)实际问题(2)数学模型(例如，解常微分方程组，数据拟合等)(3)计算方法(4)程序(matlab)(5)计算结果及分析,考试前交,3,最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%)实验作业：下列1和2选择一个2.课本或其它参考书的数值实验题(至少6道)作业中包含下列内容(1)题目（课本外的说明出处）(2)程序(matlab)(3)计算结果及分析,4月1日前交一次，考试前交一次。,4,打印稿(不需要计算过程)，或电子文档注明学院、专业完全相同的实验作业没有实验作业成绩答疑：课间周二、四中午12:4013:40中心教学楼816建议或问题：manhy,5,问题：数值计算方法是做什么用的？,求各种数学问题近似解的方法和理论,实际问题,6,主要内容数值代数线性方程组求解(第二章,第三章)特征值计算(第四章)数值逼近插值法(第五章)函数逼近(第六章)数值微分数值积分(第七章)非线性方程求解(第八章)常微分方程数值解法(第九章),7,第一章误差,1误差的来源与分类,从实际问题中抽象出数学模型模型误差,通过测量得到模型中参数的值观测误差,求近似解截断误差,机器字长有限舍入误差,8,2绝对误差、相对误差和有效数字,2.1绝对误差与相对误差,9,例：,10,四舍五入的原则：1.舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位2.舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位凑成偶数,例：0.7135,0.7765,0.73251分别取三位小数,0.714,0.776,0.733,一般地,凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.,四舍六入五成双,11,例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过5cm,宽的误差不超过2cm,如何表示？,哪一个精度高？,12,两种误差限的关系：,13,14,2.2有效数字,15,例如,准确到小数点后第位，,则其准确到小数点后第位，,16,17,有效数字另一等价定义,18,问题：有效数字的位数和精确度的关系？,考虑相对误差限与有效数字的关系,19,反之,20,解:（用绝对误差限和有效数字的关系）,取三位有效数字.,要使绝对误差限满足,21,解1：相对误差限和有效数字的关系,22,解2:（用绝对误差限和有效数字的关系）,问题：假定1.21及运算过程精确到两位小数，,误差的传播,24,3数值计算中误差的传播,3.1基本运算中的误差传播,26,特别地，和、差、积、商的误差公式为：,27,即和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误差限之和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误差限之和.,例假定运算中数据都精确到两位小数，试求,的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字?,解：,计算结果有2位有效数字.,29,故计算结果有2位有效数字.,30,31,3.2算法的数值稳定性,算法：设计由已知数据计算问题结果的运算顺序,稳定性：在算法的计算过程中，数据误差和舍入误差在计算过程中不增长，则称算法是数值稳定的；否则称算法是数值不稳定的.,32,算法,33,34,35,算法由于,取,按公式,36,37,分析原因：,由算法,对算法,结论：算法数值不稳定，算法数值稳定。,38,4数值计算中应注意的问题,1.避免两个相近的数相减,39,解.,若取,则,40,一般地，,当x充分大时，应作变换：,当x接近零时，应作变换,41,2.避免大数“吃”小数.,计算机浮点数运算导致,绝对值差异很大的数做加减运算时，绝对值小的数被吃掉.,42,3.避免除数绝对值远小于被除数的绝对值,4.简化计算，减少运算次数，提高效率,如计算n次多项式