教研论文：向量减法教学的三条主线—高中数学课改教学例谈

1 / 7 教研论文：向量减法教学的三条主线 高中数学课改教学例谈 教研论文：向量减法教学的三条主线 —高中数学课改教学例谈 内容提要：本文以向量减法教学为例，阐述高中数学课改教学的三条主线，即问题解决、认知建构、和主动发展。这三条主线各自有其丰富而深刻的内涵和运算，但是，又相互交合，融为一体。 关键词：向量减法运算教学问题解决认知建构主动发展 一、以中心问题组织和推动教学进程 ——问题解决主线 学生进入数学课堂，是主动学习还是被动学习，重要的是要看他是否为解决问题而学。 如果是，学习就不仅有目标，有明确导向；而且有动力，能克服惰性，激扬情意，奋发向前；还有积极、主动、创造性地联系、思维相伴而行。只有学思结合才是真正的数学学习；其学习过程，才能成为发现问题、分析问题、研究和解决问题的过程。由此可见，问题解决是数学学习的生命活力之所在。 说到问题解决，首要的是问题。按性质分，有源自实际的蕴含着数学内容的问题，以及源自数学内部结构和数学演化中2 / 7 产生的问题；按功能分，有宏观总领式问题、中观核心式问题和微观引导式问题。在数学教学过程中，选择哪一类性质的问题，以及采用哪一种形式的问题， 都要视具体情况作出具体分析。 以 “向量减法运算及其几何意义 ”教学为例，教师导入新课时，通过谈话提出：同学们已经学习了向量的加法运算（可结合一两个调板练习），知道应用三角形法则或者平行四边形法则，求出和向量。那么，向量是否有减法运算呢，怎样进行向量减法运算？这个问题无疑是本节课要学习和研究的课题。显然，这一问题是源自数学内部结构的宏观总领式问题，一般于课始提出。它对于学习的进程，不仅有指明这节课的目标、任务的作用，而且能把学生的选择性注意，从茫然状态引向继续学习过程；从向量加法运算转 到对向量减法运算的探究上，并理解和掌握向量减法的有关知识和技能。 再则，在弄清 “相反向量 ”的概念之后，教师先后着重提出两个问题，问题一：结合阅读课文，从实数的减法运算中，你能类比说出向量减法运算的意义吗？你是如何理解向量减法运算的意义的？问题二：从刚才的探究过程中，你能悟出向量减法运算的几何意义（表示）吗？显而易见，这两个问题集中反映了本节课的重点、核心内容。由于该问题有力地引导、激发作用，同学们一要通过类比猜想向3 / 7 量减法的意义（法则）；二要借助几何方法和已经掌握的向量知识，探究、证 明自己猜想的命题是否正确。随着 “问题一 ”的探究和解决，学习者的思维也随即推到风口浪尖，活跃异常。紧接着又面临 “问题二 ”，令大家进而反观刚才的探究过程及其几何图形，捕捉其中的有效信息，发现并概括出向量减法运算的三角形法则。 在探究和解决上述问题的过程中，由于学习者之间客观的存在着个别差异：他们先前的知识、经验，思维、操作方式，以及个性、爱好等都不尽相同，所以，教学时不能搞一刀切，齐步走；要因人制宜、因势利导，提供必要的点拨、设疑和帮助，这就得发挥微观点拨式的广 大神通了。比如，在借助向量的几何方法证明 a-b=a+（ -b）的过程中，作有针对性设问：（ 1）若 Ac=a,AB=b,为什么要作 AB的相反向量 AD即 -b？（ 2）若 a+（ -b） =AE，那么，它与 AB+Bc=Ac 中的 Bc 有什么关系？从中能得出什么样的结论？再如，当获得 a,b 不共线向量减法运算法则时，设问：若 a,b共线，那么，这一法则是否同样适用，其差向量又应作何求作呢？此外，在范例剖析和独立练习中，还可以视情况进行设疑、点拨和引导。 从以上不难看出，以中心问题展开教学，既有组织作用，又有推动作用；而且由问题的逻辑 结构，指导着思维的逻辑联系以及逻辑顺序，建构着新知识的意义，使整个教学过程成为学习者问题解决和获取新知的过程。 4 / 7 二、以知识结构重组和优化认知建构 ——认知建构主线 学习数学应当在联系中学，应当重视认知建构，促进认知能力的发展。 学习者在学习新知前，大脑中都有一个认知图式。当他们面临新的问题或新的信息时，其认知欲望和需要会迅速生长，进而激活先前的认知图式，并且在 同化或顺应机制的作用下，扩充、整合着原先的认知图示或结构，或者重组、建构着新的认知建构，以适应新的学习，新的情境。然而，不论是扩充还是重组所形成的认知结构，都是先前的认知图式作用于新的有效信息，或者知识结构的结果。因此，呈现什么样的信息，或者知识结构至关重要。有研究表明，提供生动的有联系的或关系的知识或者信息，能迅速、有效激活原有的认知图式。 不妨仍以 “向量减法运算及其几何意义 ”教学为例说明之。为了引进相反向量的概念，则用相反数的实例，让学生做类比推理；为了让学生猜想向量减法运算的 意义（法则），则启发学生联系、类比实数（有理数）减法运算的意义；为了让学生证明自己猜想的命题真假与否，则引导学生联系、借鉴向量加法运算的几何方法；为了让学生悟出向量减法运算的几何表示，则让学生反观向量减法运算法则的证明过程以及几何图形的关键部位，尝试进行概括；为了5 / 7 让学生把握向量减法运算的几何意义的丰富内涵，则启发学生对已知两个向量的位置关系进行分类讨论。如此等等，不一而足。 有关这些数学知识、思想和方法，都是与要解决的问题，或要获取的新知，有密切关系或者紧密联系的知识（信息）。因此，都能最有效而迅速地激活 原有的认知图式，从而获得新信息意义的理解。这里不仅包括相反向量的概念和性质、向量减法运算及其几何意义的理解和掌握，而且包括向量减法运算的概念和性质，从而，在数学系统内部建立起前所未有的纵横联系，即建构起新的知识板块和认知结构。显然，这样的认知结构较先前的认知图式，在同化和顺应新知识、新信息的功能和作用方面，都具有先前的认知图式无可比拟的强势和优越性。由此可见，在整个数学学习过程中，不仅重组了知识结构，优化了认知结构，同时也促进了认知能力的发展。 三、以学生为本拓展和深化学习活动 ——主动发展主线 应当指出，学生是数学学习的主体，是数学课堂的中心，是数学教学的根本。教师的教和课本的文都是为学服务的：教师是学生数学课堂学习的组织者、指导者和合作者；课文是学生数学学习的引子、蓝本和资料；学生才是数学学习、探究和建构的主人。只有摆正师与生、教与学、本与生的关系，6 / 7 数学教学才能在课改的旗帜下健康、优质、高效运行，才能真正起到促进学生主动发展的作用。 在数学教学实践中，如何贯彻实施？即如何用这样的教学理念为指导，拓展和深化学生的学习活动？下面还是以 “向量减法运算及其几何意义 ”教学为例，可以强调从四个方面作出努力： 一是创设情境，设置悬念，引起学生认知的矛盾冲突，激发学生的求知欲望和学习需要，指示本课学习应当达到的目标。比如，在本节课如前提到的教学问题，就是在一定的逻辑关系和数学思想统摄下，用简明而有力的语言，先后提出的具有启发性、导向性，有思维价值，凝聚教材重点的问题。这些问题，都能恰到好处地拓展和深化学生的学习活动。它们确实起到激发、培育学生的主人翁精神，引导、释放学生的潜在智慧和能量的作用，促进他们在数学的征途上积极、主动、创造性地探索、发现、理解、建构和应用。 二 是围绕所要解决的重点、难点和关键问题，或者是前面所说的中心问题，指导学生在独立预读、思考和尝试练习的基础上，不失时机的开展合作交互学习。包括中心发言、互助、讨论乃至提问和争辩。其间教师或巡视、聆听，或参与讨论、点拨引导，或解析、帮助，以使小组学习健康发展，小组讨论更加务实有效，并且随时掌握和调控小组活动进程。如本课中，当学生围绕中心问题 “你能类比数的减法运算，7 / 7 猜想向量减法运算的意义（法则）吗？你是怎么理解向量减法运算的意义的？ ”在独立阅读、思考或兼有练习基础上，充分展开小组合作交往学 习，在最大限度地自主、合作、探究中发现、理解、掌握和应用数学。其间，学习者们不仅有主动精神、主体意识和主人翁责任感，而且这种主体性，已经超越了