用谐波叠加法重构随机道路不平顺高程的时域模型

第19卷第6期 2003年11月 农 业 工 程 学 报 Transactions of the CSAE Vol.19 No.6 Nov. 2003 用谐波叠加法重构随机道路不平顺高程的时域模型 张永林1 ,2 (1. 武汉工业学院机械工程系,武汉430023; 2.华中科技大学CAD中心,武汉430074) 摘 要:道路时域建模对道路车辆振动时程分析、 车辆台架试验、 路面损伤以及车路耦合动力学研究均具有重要意义。谐 波迭加法是一种既简单直观而又具有严密数学基础的构造道路时域模型的方法。本文基于随机道路的统计量描述,再现 了随机道路针对路面车辆的单点激励和单轮辙激励的时间历程样本,完善了所生成样本的标定方法。对双轮辙激励,采用 空间相关的两随机过程模拟,将两过程用虚拟的线性系统联接,建立其符合道路相干函数的传递关系,最终得到道路车辆 的双轮辙多点时空相关性激励模型。该模拟方法的数学理论正确,适用于任意指定谱特征的随机道路模拟,对其他类似随 机过程的模拟也具普通适用性。 关键词:谐波叠加法;道路激励;随机不平顺;时域模型 中图分类号: U461 文献标识码: A 文章编号:100226819(2003)0620032204 收稿日期:2002212226 修订日期:2003204215 基金项目:湖北省科技攻关计划项目暨湖北省教育厅重点科技项目 作者简介:张永林,教授,博士生,武汉市常青花园路特1号 武汉工 业学院机械工程系,430023。Email :ylzh22 1 引 言 车辆道路随机激振的机理研究以及面向车辆平顺 性仿真的虚拟样机技术的实现首先要解决道路激励的 形式化描述 道路的数值模拟和计算机仿真再现问 题,即由道路的统计参数重构道路时程样本,由数值方 法和计算机技术生成满足统计量的伪随机过程的时间 序列。道路激励源于道路不平顺高程,按数学上的定 义,道路不平顺高程属于典型的随机函数,相对于恒定 的车速则属于以时间为参数的随机过程。随机过程是 与确定性过程相对的一类具有重要理论意义和工程意 义的客观现象,随机过程不能用明确的数学关系表成随 机变量的函数,其完整的描述是建立在统计学理论的基 础上的。随机过程按照过程的特性分为平稳过程和非 平稳过程。工程中出现的大量随机过程可以认为是平 稳的随机过程,平稳随机过程在时域的特性表现为:其 相关函数与时间变量无关;在频域中可以用功率谱密度 函数进行过程的描述。实际上,国标道路就是用功率谱 来标定的。道路功率谱函数表明了道路的频率结构及 各频率成分对振动能量的贡献。文献1、2给出了道 路的频域模型 功率谱密度和相干函数的基本构造。 从功率谱密度(PSD)和相干函数出发,道路激励的时域 模拟通常分两类方法:谐波叠加法和线性滤波法。尽管 谐波叠加法计算量相对较大,但该法理论基础严密、 数 学意义明确、 是一种高保真的时域模型转换方法。文献 3、4基于标准谱式用线性滤波法给出了单点激励和 单轮辙激励的时域模型。文献5基于功率谱的离散化 反求铁路轨道不平顺的频谱,再生成激励的时间序列。 文献6、7同样针对有理函数描述的标准路谱以白噪 声模拟法建立了四轮输入激励的时域模型。本文采用 谐波叠加法,针对一般性路面的非标准谱性质,依次给 出车辆道路单点激励、 同辙时延相关多点激励、 异辙空 间相关激励的时程模拟实现方法和过程。 2 谐波叠加法基本原理 根据随机振动理论,功率谱密度是对大量的样本测 量数据进行编辑处理,用Blackman2Tukey周期图法得到 的,即统计计算时有一周期外推过程,故可以用周期函 数模拟。这就是用谐波叠加法模拟的基础。 设路面高程为平稳的遍历的均值为0的Gaussian 过程,则可以用不同形式的三角级数进行模拟,文献8 给出了4种模拟式,这些模拟式只有表现形式的区别, 本质上是等效的。以下以正弦波为例加以描述。 随机正弦波(或其它谐波)叠加法采用以离散谱逼 近目标随机过程的模型,是一种离散化数值模拟路面的 方法。随机信号,比如随机风载或路表轮廓,可以通过 离散Fourier分析变换分解为一系列具有不同频率和幅 值的正弦波。谱密度就等于由带宽划分的这些正弦波 幅值的平方9。 因为道路是窄带过程,设在时间频率f1 f f2内 的路面位移谱密度为Gq (f) , 利用平稳随机过程的平均 功率的频谱展开性质,路面不平度的方差 2 z为 2 z= f2 f1 Gq(f)df(1) 将区间 (f 1, f2)划分为n个小区间,取每个小区间 的中心频率fmid- i ( i =1,2, , n) 处 的 谱 密 度 值 Gq (f mid- i)代替Gq(f)在整个小区间内的值,则式(1)经 离散化后近似写为 2 z n i =1 Gq (f mid- i) fi(2) 对应每个小区间,具有频率fmid-1 ( i = 1,2, , n) 且其标 准 差 为Gq (f mid- i) fi的 正 弦 波 函 数 可 为10: 2Gq (f mid- i) fisin(2fmid- it +i) 将对应于各个小区间的正弦波函数叠加起来,就得 到时域路面随机位移输入: 23 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. q( t) = n i =1 2Gq (f mid- i) fisin(2fmid- it +i)(3) 式中 Gq (f mid- i) 功率谱,m2/ Hz;f 频率区 间,Hz;t 时间,s;i 0,2上均匀分布的相 互独立的随机变量。 可以按文献8的反演法验证:用该式模拟的过程 确为平稳的和遍历的。 且显见,当区间分划足够细密即 n足够大时,由(3)式生成的时域路面随机位移输入的 频率特征与给定的路面谱是一致的。 这样, q( t)即可代 表当前车速和路面条件下的路面随机输入。 3 单点及单轮辙激励时域模拟 上述方法只要给出道路功率谱密度(PSD) ,就可以 得到其满足PSD要求的一个时域样本。标准道路的功 率谱密度在诸多汽车动力学著作中都有不同的拟合式, 对此类标准道路功率谱密度函数,可按功率等效的原则 离散化;对于非标道路和越野车行驶道路,则对实测数 据进行编辑处理得到功率谱的离散值。不论是拟合的 或离散的谱密度,是标准的或任意指定的谱密度,正弦 叠加法是普适的。 导入车辆系统,则对车辆的单轮输入的激励为上述 模拟式(3)。必须指出,这种谐波叠加模拟随机过程的 方法仅取决于功率谱密度的信息,而功率谱密度并非对 随机过程的完整描述,如不包括相位信息等。另一重要 问题是:在由式(3)生成时域模型时,i的随机取值虽 然能满足指定功率谱密度的大小,但却有可能使得叠加 的 q( t) 值过大从而使模型失去应用价值,文献11针 对这个问题建立了一个满足概率分布函数的约束方程, 有效地改善了模型的性态。 在此要提出的一种简单的模 型控制与标定方法是:通过对计算机实时生成的不平顺 高程序列q( t) ,依据过程的Gaussian性,实时检出其中 超过3z的生成值,剔除该值后重排剩下的序列值。 车辆单轮辙道路激励即同辙的时延激励,设已按模 拟式(3)生成的高程时序是对车辆一侧前轮的位移输 入,记为q1 ( t) , 同一侧的后续车轮触地点(设共有n个 车轮)的激励输入分别记为q2( t) , q3 ( t) , , qn( t)。 车辆以恒速u行驶,各后轮与最前轮的轮距分别为l1, l2, ln,这样就立即得到各后轮相对最前轮的时间 延迟为 1= l1/ u ,1= l2/ u ,n= ln/ u 容易获得各后点激励高程与最前点的关系: qi= q1 ( t + i-1 ) = n i =1 2Gq (f mid- i) fisin(2fmid- i ( t + i-1+i) i =2,3, n(4) 这即为单轮辙激励输入的时域模型。 4 双轮辙激励时域模拟 同一条道路的相距为两侧车轮中心对称面距离的 迹线都是具有同样性质的随机过程,即具有相同的功率 谱密度。但是,两迹线间存在互谱,换句话说,两迹线是 相干的,文献12通过实测得到了某标准道路的相干函 数模拟式,表明了道路的两轮辙的事实上的相关性,文 献13也给出了以Bessel函数和自功率谱密度乘积为 被积函数的相干函数公式化表示,尽管两轮辙的这种相 关的强度是弱的。因此,再现两轮辙激励时域模型时必 须考虑其空间的相干性,也就是说要确保转换中激励信 息的完备性或保真性。 如前所述,在频域中反映为相位滞后的左(或右)轮 辙的前后各轮,只是同一过程的时延相关。在时域内知 道前点的激励函数,中、 后点的激励函数可直接用时间 变量换出,其计算机数值仿真实现也是方便的。而两过 程空间相关处理起来则较为复杂。在此,将问题进行转 化:已知一个轮辙输入,求另一个轮辙的输出,而输入与 输出由相干函数cohxy()联接。 即建立左右轮激励传 递函数,由已知的一过程导出另一过程。 记一轮辙为x ,另一轮辙为y ,设已按式(3)生成了 某一轮辙的道路激励离散时间序列,此处记 q( t) 为 qx ( t) , 并设该时序样本足够长。 考虑到过程的遍历性假 设,用 离 散Fourier变 换 可 得 该 样 本 的 傅 氏 频 谱 Fx() (也可按文献5通过离散化谱密度方法直接得 到)。 同样,设待求的另一轮辙的频谱为Fy( ) , 则两轮 之间有如下关系: Fy() = H( ) F x() (5) 式中 H( =2 f) 虚拟的从一轮辙传递到另一 轮辙的线性系统的传递函数; 圆频率; f 时 间频率。 设两轮辙激励的平均相位差为零,则建立频响函数 的模与相干函数的关系式6: | H( ) | = cohxy() (6) 利用文献6中的传递函数求取方法,可生成虚拟 系统的频率响应函数,而求得输出 另一轮辙激励 的Fourier谱Fy()。 然后,对Fy()进行离散Fourier逆 变换,最终得到所求轮辙 的与轮辙x相关的道路激励 不平顺高程时间序列qy( t)。 将qy( t)看成为轮辙y迹线上的最前点,按照本文 中已述的同辙时延相关的过程模拟方法就能获得该轮 辙上所有车轮触地点的路面位移输入。 总结生成双轮辙道路时域模型的过程如下: 式(3)qx( t)Fx()cohxy()Fy()qy( t) 符号 表示Fourier变换对。 5 仿真举例 按文献3拟合的有理函数形式的C级道路功率谱 密度式,取车速50 km/ h ,将功率谱密度分析的有效频 率范围(0.153 f 39.309)离散化为n =5000等分, 所得到的两轮辙高程的数值仿真结果分别如图1、 图2 所示,左右轮辙不平顺的高程差值示于图3。必须说 明,应用两轮之间的传递关系时,仅考虑了上述有效频 率范围,不在车辆振动分析频率范围时,取常数为1的 线性传递系统。每一轮辙仿真结果与文献3用白噪声 方法所得到结果很好地一致。顺带指出,道路双轮辙 激励相关性时域模型的重构一直是道路模拟中的关键 33 第6期 张永林:用谐波叠加法重构随机道路不平顺高程的时域模型 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 图1 左轮辙高程仿真 Fig.1 Simulation of left wheel track unsmoothness 图2 右轮辙高程仿真 Fig.2 Simulation of right wheel track unsmoothness 图3 左右轮辙高程差仿真 Fig.3 Simulation of left2right wheel track unsmoothness 技术问题和较为困难的课题。本文所提出的模拟方法 运用理论正确,易于理解,便于操作,且具有模拟的保真 性和普适性。是一种创新的模拟道路的方法。 6 结 论 采用简单直观的谐波迭加方法重构了道路的时域 模型,该方法可用于任意指定谱特征的平稳Gaussian随 机过程的模拟,是一种具有普适性的方法; 考虑了车辆受激励的时空相关性,建立了道路双轮 辙多点激扰输入的时域模型,模型全面再现了车辆道路 激励输入的同辙时延相关和异辙空间相关; 所描述的方法具有理论上的共性,即可以用于其他 如风载风速、 海浪等平稳随机过程的模拟。 参 考 文 献 1 余志生.汽车理论M.北京:机械工业出版社,2000 ,10. 2 M.米其克.陈萌三译.汽车动力学 (B 卷) M.北京:人民交 通出版社,1994 ,12. 3 檀润华,陈 鹰,路甬祥.路面对汽车激励的时域模型建立 及计算机仿真J .中国公路学报,1998 ,11(3) :96102. 4 魏 朗,陈萌三,龚国庆.公路卧铺客车的车-铺-人系统 平顺性模拟计算J .中国公路学报,1999 ,12(1) :101104. 5 陈 果,翟婉明.铁路轨道不平顺随机过程的数值模拟J . 西南交通大学学报,1999 ,34(2) :138142. 6 赵 珩,卢士富.路面对四轮汽车输入的时域模型J .汽车 工程,1999 ,21(2) :112117. 7 Y oshimura. A Semi2active suspension of passenger cars using fussy reasoning and the field testingJ . Int J of Vehicle Designs , 1998 ,19(2) :150166. 8 徐昭鑫.随机振动M.北京:高等教育出版社,1990 ,5:277 280. 9 Newland D E. Random vibrations and spectral analysisM. 2nd Edition. London: Longman , 1985. 10 郑 军,钟志华.非线性汽车行驶平顺性模型的神经网络 优化J .汽车工程,2001 ,23(3) :172176. 11 孙 宁,李瑰贤.随机振动信号的一种简单模拟计算方法 J .振动与冲击,2000 ,19(2) :5051 ,6. 12 张洪欣.汽车行驶平顺性的计算机预测J .汽车工程, 1986 ,(1) . 13 Lu Sun. Optimum design of road2friendly vehicle suspension sys2 tems subjected to rough pavement surfacesJ . Applied mathe2 matical modeling , 2002 ,26:635652. 43农业工程学报 2003年 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. Time domain model of road irregularities simulated using the harmony superposition method Zhang Yonglin1 ,2 (1. Department of Mechanical Engineering , Wuhan Polytechnic University , Wuhan430023, China; 2. Research Center of CAD , Huazhong University of Science and Technology , Wuhan430074, China) Abstract : It is of significance to establish the time domain model of road irregularity as the excitation to vehicles in order to per2 form vibration analysis , platform experiment , road damage prediction and interactive vehicle2road dynamics. The harmony super2 position method based on exact mathematical theory is simpler and more efficient than other general road simulation methods. Based on the statistic illustration of stochastic road , a time series sample of road is reconstructed corresponding to a single wheel and a single track as an input excitation with respect to