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文档简介

1.2复数的几种表示,一、复数的几何表示,1.复平面,此时，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。,用坐标为的点来,表示复数,从而将全体复数和平面上的全部点,一一对应起来，,z平面。,引进复平面后，复数z与点z以及向量z视为同一个概念。,在复平面上，从原点到点,所引的向量与该复数z也构成一一,一、复数的几何表示,1.复平面,对应关系(复数零对应零向量)。,比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。,将复数和向量对应之后，除了利用,实部与虚部来给定一个复数以外，,一、复数的几何表示,2.复数的模与辐角,(1)向量z的长度r称为复数z的模，记为,还可以借助向量的长度与方向来给,定一个复数。,一、复数的几何表示,2.复数的模与辐角,+,-,两点说明,(1)辐角是多值的，,(2)辐角的符号约定为：,逆时针取正号，顺时针取负号。,则有,由此就有如下关系：,一、复数的几何表示,2.复数的模与辐角,主辐角,对于给定的复数设有满足：,且,则称为复数z的主辐角，记作,解,(1)已知实部与虚部，求模与辐角。,一、复数的几何表示,3.相互转换关系,(1)已知实部与虚部，求模与辐角。,一、复数的几何表示,3.相互转换关系,(2)已知模与辐角，求实部与虚部。,由此引出复数的三角表示式。,二、复数的三角表示和指数表示,1.复数的三角表示,称为复数z的三角表示式。,如图，,有,由,二、复数的三角表示和指数表示,2.复数的指数表示,利用欧拉公式得,称为复数z的指数表示式。,但习惯上一般取为主辐角。,解,复数的三角表示式为,复数的指数表示式为,二、复数的三角表示和指数表示,3.利用指数表示进行复数的乘除法运算,设,乘法,即,(在集合意义下?),二、复数的三角表示和指数表示,3.利用指数表示进行复数的乘除法运算,设,除法,即,(在集合意义下),复数z的乘幂，,三、复数的乘幂与方根,1.复数的乘幂,利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。,三、复数的乘幂与方根,1.复数的乘幂,在上式中令r=1，则得到棣莫弗(DeMoivre)公式：,棣莫弗(DeMoivre)公式,进一步易得到正弦与余弦函数的n倍角公式。,例,此外，显然有,由此引出方根的概念。,复数w，,三、复数的乘幂与方根,2.复数的方根,称为把复数开n次方，或者称为求复数的,复数求方根是复数乘幂的逆运算。,n次方根，,记作或,复数的n次方根一般是多值的。,三、复数的乘幂与方根,2.复数的方根,利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。,即,得,正实数的算术根。,三、复数的乘幂与方根,2.复数的方根,描述,解,具体为：,解,具体为：,四、几个关系,(1),(2),利用复数与向量的关系，可以证明一些几何,问题。,比如，上例证明的结论可描述为：,1748年，欧拉给出了著名的公式,令有,它把五个最重要的数联系起来。,公式之一，,克莱茵认为这是数学中最卓越的,如今几乎每一个数学领域都可
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