习题15无穷小与无穷大.pdf

微积分 A习题解答 习题习题 1.5(P57) 1. 下列函数在指定的变化过程中哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？ (1). x x2 (2). (3). )0(x)0(ln + + xx)0( 1 + + xe x (4). )0( 1 xe x (5). )(1 2 1 xe x (6). xtan) 2 ( x 答：(4)、(5)为无穷小量；(1)、(2)、(3)、(6)为无穷大量. 2. 下列函数在x的什么趋势之下为无穷小量，什么趋势之下为无穷大量？ (1). 1 1 3 + + x x (2).23 x (3). 2 1 2 x x (4). (5). x e )20( cos1 sin + + x x x 答：无穷小量：(1). ，1 x x (2). + + 3 2 x (3). 或 1x1 x (4). (5). 或+ +x0x 2x 无穷大量：(1). (2). 1x+ +x (3). 2x (4). (5). x x 3. 下列各题中的无穷小量是等价无穷小、同阶无穷小、还是高阶无穷小？ (1).11 x与 x)0(x 解： 2 1 2 lim 11 lim 00 = = = = x x x x xx ，故当时0x11 x与为同阶无穷小. x (2).12 22 +xx与)( 1 2 x x 解：0 1 1 2 1 lim 12 lim 12 1 lim 22 2 22 22 2 = + = + = + = + = + = + x xx x xx xx x xxx 故当时 x 2 1 x 是12 22 +xx的高阶无穷小. (3). x x + + 1 1 与)1(1xx 第 1 章 极限与连续 第 5 节 无穷小与无穷大 1/6 微积分 A习题解答 解：1 )1( )1( lim )1()1( )1()1( lim 1 1 1 lim 111 = + + = + + = + = + + = + + = + x x xx xx x x x xxx 故当时 x x x + + 1 1 与x 1是等价无穷小. (4).与 xarcsinx()0x 解：1 sin lim arcsint arcsin lim 0t0 = = = = t t x x x x 令令 故当时与0xxarcsinx是等价无穷小. (5). 与 xarctanx)0(x 解：1 tan lim arctant arctan lim 0t0 = = = = t t x x x x 令令 故当时与0xxarctanx是等价无穷小 (6).与 x p sin)0( px)0(x 解： = px p sinx1= =p时与是等价无穷小； 时是的高阶无穷小. x p sinx 1 p0 xx p sin (7). x xx 1 sin 32 + +与 2 x)0(x 解：101 1 sinlim1 1 sin lim 0 2 32 0 =+=+= + =+=+= + x x x x xx xx 故当时, 0x x xx 1 sin 32 + +与是等价无穷小. 2 x (8). xx + +与 8 x)0( + + x 解法 1：0limlimlim 4 1 4 3 0 4 1 0 8 0 =+= + = + =+= + = + + + + + + + xx x xx x xx xxx 第 1 章 极限与连续 第 5 节 无穷小与无穷大 2/6 微积分 A习题解答 解法 2：)1, 0(2 22 0 8 8 4 88 = + = + xx x x x x x xx 0lim 8 0 = = + + x x ，由夹逼定理得0lim 8 0 = + = + + + x xx x 故当时, + + 0 xxx + +是 8 x的高阶无穷小. 4. 当时，试确定下列无穷小量的阶. 0x (1).xxsin+ + 解：1lim1)(lim1) sin (lim1 sin lim 0000 =+=+=+= + =+=+=+= + + x x x x x x xx xxxx 故xxsin+ +为 2 1 阶无穷小. (2). 2 3xxx+ 解：1)(lim1 3 lim 2 3 0 2 0 =+= + =+= + + xx x xxx xx 故 2 3xxx+为 2 1 阶无穷小. (3). xxx+ 解： 11limlimlim 2 1 4 3 0 4 1 0 8 0 =+= + = + =+= + = + + + + + + + xx x xxx x xxx xxx 故xxx+为 8 1 阶无穷小. (4). 3 1 4 3 xx+ + 解：1)1(limlim 12 5 0 3 1 3 1 4 3 0 =+= + =+= + x x xx xx 故 3 1 4 3 xx+ +为 3 1 阶无穷小. 第 1 章 极限与连续 第 5 节 无穷小与无穷大 3/6 微积分 A习题解答 (5). xxsintan 解： 2 1 2 1 lim )2( lim )cos1(tan lim sintan lim 0 3 2 0 3 0 3 0 = = = = xxxx x xx x xx x xx 故为3阶无穷小. xxsintan (6).1cos 3 x 解法 1： ) 1coscos( 1cos lim 1cos lim 3 3 3 220 2 0 + = + = xxx x x x xx 6 1 ) 1coscos( 2 lim 3 3 22 2 0 = + = + = xxx x x 解法 2：利用等价无穷小代换： n x x n 11+ )0(x 2 2 3 3 6 1 ) 2 ( 3 1 )1(cos 3 1 1)1(cos11cosx x xxx=+=+= )0(x 故1cos 3 x为2阶无穷小. (7). 1tan1 2 +x 解法 1： )1tan1( tan lim 1tan1 lim 22 2 0 2 2 0 + = + + = + xx x x x xx 2 1 )1tan1( lim 22 2 0 = + = + = xx x x 解法 2： 222 2 1 tan 2 1 1tan1xxx + )0(x 故1tan1 2 +x为2阶无穷小. (8). )0(sin1tan1 + + +xxx 解法 1： xxx xx x xx xx sin1tan1 1sintan lim sin1tan1 lim 3 0 3 0 + = + + = + 4 1 2 1 2 1 )5( = 同 = 同 解法 2：xxsin1tan1+)1sin1()1tan1(+=+=xx 第 1 章 极限与连续 第 5 节 无穷小与无穷大 4/6 微积分 A习题解答 )sin(tan 2 1 xx )cos1(tan 2 1 xx= 422 1 32 xx x= 故xxsin1tan1+为3阶无穷小. 5. 利用等价无穷小的替换性质，求下列极限. (1). x x x5 2tan lim 0 解： 5 2 5 2 lim 5 2tan lim 00 = x x x x xx (2). ),( )(tan )sin( lim 0 为正整数为正整数nm x x m n x 解： = = mn mn mn x x x x x mn x m n x m n x 1 0 limlim )(tan )sin( lim 000 (3) 2 0 )(sin cos1 lim x mx x 解： 2 2)( lim )(sin cos1 lim 2 2 2 0 2 0 m x mx x mx xx = = (4) x xx x 3 0 sin sintan lim 解： 2 12 lim sin )cos1(tan lim sin sintan lim 3 2 0 3 0 3 0 = = = = = = x xx x xx x xx xxx (5) xx x xsin 1tan1 lim 2 0 + 解： 2 1 ) 1tan1( lim ) 1tan1(sin tan lim sin 1tan1 lim 2 2 02 2 0 2 0 = + = + = + = + = + = + xxx x xxx x xx x xxx 或 2 1 2 1 lim sin tan 2 1 lim 11 sin 1tan1 lim 2 0 2 0 2 0 = = + + = = + + xx x xx x n x x xx x xx n x (6) xx xx x 23 22 0 sin46 )cos1(25 lim + + 第 1 章 极限与连续 第 5 节 无穷小与无穷大 5/6 微积分 A习题解答 第 1 章 极限与连续 第 5 节 无穷小与无穷大 6/6 解： xx xx xx xx xx 23 22 0 23 22 0 sin46 )sin25 lim sin46 )cos1(25 lim + + = + = + 4 3 lim4lim6 lim25 sin lim4lim6 sin lim25 2 2 00 2 2 0 2 2 00 2 2 0 2 = + = + = + = + x x x x x x x x x x