数列在日常经济生活中的应用学案

1 / 24 数列在日常经济生活中的应用学案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 4 数列在日常经济生活中的应用 知能目标解读 1.理解常见储蓄如零存整取、定期自动转存、分期付款及利息的计算方法，能够抽象出所对应的数列模型，并能用数列知识求解相关问题 . 2.能够将现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，抽象出数列模型，将实际问题解决 . 重点难点点拨 重点：用数列知识解决日常经济生活中的实际问题 . 难点：将现实生活中的问题抽象出数列模型，使问题得以解决 . 学习方法指导 1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的业务，即每月定时存入一笔数目相同的资金，这叫做零存；到约定日期，可以取出全部的本利和，这叫做整取 .规定每次存入的钱按单利计算，单利的计算是指仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息 .其计算公式为：利息 =本金 利率 存期 .如果用符号 P 代表本金， n 代表存期， r 代表利率， S 代表本金和2 / 24 利息和 (以下简称本利和 )，则有 S=P(1+nr). 2.定期自动转存模型 （ 1）银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存 .例如，储户某月存入一笔 1 年期定期存 款， 1 年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第 2 年的本金就是第 1 年的本利和，即定期自动转存按复利计算 . （ 2）何谓复利？ 所谓复利，就是把上期的本利和作为下一期的本金，在计算时，每一期的本金的数额是不同的，复利的计算公式为S=P(1+r)n. 一般地，一年期满后，借贷者 (银行 )收到的款额 v1=v0(1+a)，其中 v0为初始贷款额， a 为每年的利率；假若一年期满后，银行又把 v1 贷出，利率不变，银行在下一年期满后可收取的款额为 v2=v1(1+a)=v0(1+a)2; 依次类推，若 v0 贷出 t年， 利率每年为 a，这批款额到期后就会增到 vt=v0(1+a)t.我们指出这里的利息是按每年一次重复计算的，称为年复利 . 3.分期付款模型 分期付款是数列知识的一个重要的实际应用，在现实生活中是几乎涉及到每个人的问题，要在平时的学习中及时发现问题，学会用数学的方法去分析，解决问题，关于分期付款应注意以下问题： (1)分期付款分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付3 / 24 款的时间间隔相同； (2)分期付款中双方的每月 (年 )利息均按复利计算，即上月(年 )的利息要计入下月（年）的本金； (3)分期付款中规定：各期所 付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和，这在市场经济中是相对公平的 . (4)分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额与多少次付款有关，分期付款的次数（大于或等于 2）越多，差额越大，即付款总额越多 . 注意： 目前银行规定有两种付款方式： (1)等额本息还款法； (2)等额本金还款法 .等额本金还款法的特点是：每期还款额递减，利息总支出比等额款法少，等额本金还款法还可以按月还款和按季还款，由于银行结息贯例的要求，一般采用按季还款方式 . 4.本节的规律方法 (1)银行存款中的单利是等差数列模型，本息和公式为S=P(1+nr). (2)银行存款中的复利是等比数列模型，本利和公式为S=P(1+r)n. (3)产值模型：原来产值的基础数为 N，平均增长率为 P，对于时间 x 的总产值为 y=N(1+P)x. 4 / 24 (4)分期付款模型： a 为贷款总额， r 为年利率， b 为等额还款数，则 b=. 5.数列模型在实际问题中的应用 数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，在人口数量的研究中也要研究增长率问题，金融问题更要涉及利 率问题等 . 6.建立数学模型的过程 解决该类题的关键是建立一个数列模型 an，利用该数列的通项公式或递推公式或前 n 项和公式求解问题 . 基本步骤如下表所示： 知能自主梳理 1.(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息，其公式为利息 =.若以 P 代表本金， n 代表存期， r 代表利率， S 代表本金和利息和（以下简称本利和），则有 . （ 2）复利：把上期末的本利和作为下一期的，在计算时每一期本金的数额是不同的 .复利的计算公式是 . 2.（ 1）数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和 等比数列 .例如银行中的利息计算，计算单利时用数列，计算复利时用数列，分期付款要综合运用、数列的知识 . 5 / 24 （ 2）解决数列应用题的基本步骤为： 仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为 ； 挖掘题目的条件，分析该数列是数列，还是 数列，分清所求的是的问题，还是问题 . 检验结果，写出答案 . 答案 1.（ 1）不再计算利息 本金 利率 存期 S=P(1+nr) (2)本金 S=P(1+r)n 2.(1)等差 等比 等差 等比 （ 2） 数列模型 等差 等比 项 求和 思路方法技巧 命题方向 单利计算问 题 例 1 有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取 .它的本利和公式如下： 本利和 =每期存入金额 存期 +存期 ( 存期 +1) 利率 . (1)试解释这个本利公式 . (2)若每月初存入 100元，月利率 ，到第 12月底的本利和是多少？ (3)若每月初存入一笔金额，月利率是 ，希望到第 12个月底取得本利和 2000 元，那么每月应存入多少金额？ 分析 存款储蓄是单利计息，若存入金额为 A，月利率为 P，则 n 个月后的利息是 nAP. 6 / 24 解析 (1)设每期存入金额 A，每期利率 P，存入期数为n，则各期利息之和为 AP+2AP+3AP+nAP=n(n+1)AP. 连同本金，就得：本利和 =nA+n(n+1)AP=A n+n(n+1)P . (2)当 A=100,P=,n=12 时， 本利和 =100 （ 12+1213 ） =(元 ). (3)将 (1)中公式变形得 A=( 元 ). 即每月应存入元 . 说明 单利的计算问题，是等差数列模型的应用 . 变式应用 1 王先生为今年上高中的女儿办理了 “ 教育储蓄 ” ，已知当年 “ 教育储 蓄 ” 存款的月利率是 . (1)欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元，王先生每月大约存入多少元？ (2)若 “ 教育储蓄 ” 存款总额不超过 2 万元，零存整取 3 年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时 3年后本息合计约为多少元？（精确到 1 元） 解析 （ 1）设王先生每月存入 A 元，则有 A(1+)+A(1+2)+A(1+36)=20000, 利用等差数列前 n 项和公式， 得 A（ 36+36+ ） =20000, 解得 A529 元 . 7 / 24 （ 2）由于教育储蓄的存款总额不超过 2 万元，所以 3 年期教育储蓄每月至多存入 555 （元），这样， 3 年后的本息和为： 555(1+)+555(1+2)+555(1+36)=555（ 36+36+ ） 20978 （元） . 命题方向 复利计算问题 例 2 某人参加工作后，计划参加养老保险 .若第一年年末存入 p 元，第二年年末存入 2p 元， ，第 n 年年末存入 np 元，年利率为 k.问第 n+1 年年初他可一次性获得养老金（按复利计算本利和）多少元？ 分析 分期存款，应利用 “ 本利和本金 (1+ 利率 )” 分段计算 .第 1 年年末存入的 p 元，到第 n+1 年年初，逐年获得的本利和构 成公比为 1+k的等比数列，即第一年的本利和为 p(1+k)n-1；同理，第 2 年年末存入 2p元， 第 n 年年末存入 np元的本利和依次为 2p(1+k)n-2,np. 解析 设此人第 n+1年年初一次性获得养老金为 Sn元，则 Sn=p(1+k)n-1+2p(1+k)n-2+(n -1)p(1+k)1+np, 把 等 式 两 边 同 时 乘 以 1+k, 得(1+k)Sn=p(1+k)n+2p(1+k)n-1+(n -1)p(1+k)2+np(1+k). - ，得 kSn=p(1+k)n+p(1+k)n-1+p(1+ k)-np=-np. 8 / 24 所以 Sn=. 故第 n+1年年初他可一次性获得养老金为元 . 说明 “ 复利计算 ” 就是 “ 利息生利息 ” ，也就是在存款过程中，到约定期时，将上次存款的本利和全部转为下一次的本金 .求所有 n 次的本利和，就转化为求等比数列的前 n项和 .复利计算是银行常用于定期自动转存业务的方法，在这里也是等比数列在实际问题中的具体应用，体现了数学的应用价值，更是学生对知识的应用能力的体现 .复利计算问题不但应用于银行储蓄业务中，在其他经济领域也有应用 . 变式应用 2 某家庭打算在 2017年的年底花 40万元购一套商品房，为此，计划从 XX 年年初开始，每年年初存入一笔购房专用款，使这笔款到 2017年年底连本带利共有 40万元 .如果每年的存款数额相同，依年利率并按复利计算，问每年年初应该存入多少钱？（不考虑利息税） 解析 设每年年初应存入 x 万元，那么 XX 2017 年年底本利和依次为： a1=, a2=(+)x, a3=(+)x, a7=(+)x. 若这笔款到 2017 年年底连本带利共有 40 万元，则有9 / 24 a7=(+)x=40, 运用等比数列的前 n 项和公式，化简得 x=( 万元 )， 所以每年年 初大约应存入万元 . 命题方向 数列在分期付款中的应用 例 3 小陆计划年初向银行贷款 10 万元用于买房，他选择 10年期贷款，偿还贷款的方式为：分 10次等额归还，每年一次，并从贷后次年年初开始归还，若 10 年期贷款的年利率为 4%，且年利息均按复利计算，问每年应还多少元？（计算结果精确到 1 元） 分析 本题属于分期付款模型，如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时， 10万元贷款的价值与还款的价值总额应该相等，则可以考虑把所有的款项都转化为同一时间来计算 .10 万元在 10 年后（即贷款全部付清时）的价值为105(1+4%)10 元 . 解析 设每年还款 x 元，则第 1 次偿还 x 元，在贷款全部付清时的价值为 x(1+4%)9;第 2 次偿还的 x 元，在贷款全部付清时的价值为 x(1+4%)8;第 10 次偿还的 x 元，在贷款全部 付 清 时 的 价 值 为 x 元，于是有105(1+4%)10=x(1+4%)9+x(1+4%)8+x(1+4%)7+x. 由等比数列求和公式，得 105=x, =(1+)10 10 / 24 x12330. 答：每年约应还 12330元 . 说明 解决分期付款问题的数学方法是等比数列求和，用到的等 量关系即分期所付的款连同到最后一次所付款时的利息之和，等于商品售价与从购物到最后一次付款时的利息之和 . 变式应用 3 某工厂为提高产品质量，扩大生产需要大量资金，其中征地需 40 万元，建新厂房需 100 万元，购置新机器需 60万元，旧设备改造及干部工作培训需 15万元，流动资金需 40万元，该厂现有资金 125 万元，厂内干部 30人，工人 180人，干部每人投资 4000元，工人每人投资 1000元（不记利息仅在每年年底利润中分红），尚缺少资金，准备今年年底向银行贷款，按年利率 9%的复利计算，若从明年年底开始分 5 年等额分期付款 ，还清贷款及全部利息，问该厂每年还款多少万元？（精确到万元） 解析 因扩大生产急需的资金共有 40+100+60+15+40=255（万元） .已知筹集到资金为 125+30+180=155( 万元 )，资金缺口为 255-155=100（万元） .设每次向银行还款 x 万元，则贷款 100万元，五年一共还清本金和利息共计 100（ 1+9%）5万元 .第一次还款到第五年年底的本利和为 x(1+9%)4万元；第二次还款到第五年年底的本利和为 x(1+9%)3 万元；第三次还款到第五年年底的本利和为 x(1+9%)2 万元；第四次还11 / 24 款 到第五年年底的本利和为 x(1+9%)万元；第五次还款（无利息）为 x 万元 .由题意得 x+x(1+9%)+x(1+9%)2+x(1+9%)3+ x(1+9%)4=100(1+9%)5. 即 =100, 所以 x 故该厂每年还款万元 . 探索延拓创新 命题方向 数列在日常生活中其他方面的应用 例 4 甲、乙两人连续 6 年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供了两条不同信息，如图所示 . 甲调查表明：由第 1 年每个养鸡场出产 1 万只鸡上升到第 6年平均每个养鸡场出产 2 万只鸡 . 乙调查表明：由第 1 年 30个养鸡场减少到第 6 年 10个养鸡场 .请您根据提供的信息回答： （ 1）第 2 年养鸡场的个数及全村出产鸡的总只数； （ 2）到第 6 年这个村养鸡业的规模比第 1 年扩大了还是缩小了？请说明理由 . （ 3）哪一年的规模最大？请说明理由 . 分析 审清题意，弄清图甲表示每个养鸡场平均出产鸡的只数（单位：万只），图乙表示该村所拥有的养鸡场的个数（单位：个） . 解析 （ 1）由图可知：第 2 年养鸡场的个数是 26个，每个养鸡场平均出产万只鸡，那么全村出产鸡的总只数是12 / 24 S2=26=( 万只 ). (2)第 1 年总共出产鸡的只数是 S1=301=3 0(万只 )；第 6年总共出产鸡的只数是 S6=210=20( 万只 )，由此得出S6-1)，其中 pn 为预测期人口数，p0 为初期人口数， k 为预测期内年增长率， n 为预测期间隔年数 .如果在某一时期有 -1k0，那么在这期间人口数（ ） A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 c.摆动变化 D.不变 答案 B 解析 -1k0， 0k+10, 又 =1+k1 ， pn+1pn. 即数列 pn为递减数列 . 2.某同学在电脑上设置一个游戏，他让一弹性球从 100m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第 10次着地时所经过的路程和为（ ） 14 / 24 答案 B 解析 由题意知，弹球第 1 次着地时经过的路程是 100m，从这时到弹球第 2 次着地时共经过了 2m ，从这 时到弹球第3 次着地时共经过 2m, 到第 10次时应为 2m. S10=100+2 +2 + +2 100+100（ 1+ ） 100+ 100+ （ m） . 3.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为 p%， q%，则这两年的平均增长率是（ ） %q% 答案 D 解析 设该工厂最初的产值为 1，经过两年的平均增长率为 r，则 (1+p%)(1+q%)=(1+r)2. 于是 r=-1. 二、填空题 4.某工厂 XX 年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为 20 万 元，上半年总产值为 60 万元，则 XX 年全年总产值为元 . 答案 200 3a1+d=20 解析 由题意，得， 6a1+d=60 15 / 24 a1= 解得 . d= 所以 S12=12+=200. 5.(XX湖北理， 13)九章算术 “ 竹九节 ” 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为升 . 答案 解析 本题考查等差数列通项公式、前 n 项和公式的基本运算 . 设此等差数列为 an，公差为 d, a1+a2+a3+a4=3, 4a1+6d=3,a1=, 则 解得 a7+a8+a9=4,3a1+21d=4,d=， a5=a1+4d=+4=. 课后强化作业 一、选择题 1.某沿海渔村，近几年不断挖掘经济收入来源，除了渔业收入外，还增加了海滨休闲度假服务业的开发，使本村经济有了较快发展， XX 年全村财政收入 95933万元，比上年增长 %，如果在今后的几年内全村财政收入都按此年增长率增长，那16 / 24 么到 XX年末全村财政收入大约为（ ） 万元万元万元万元 答案 c 解析 XX 年末全村的财政收 入为95933(1+)4127000( 万元 ).故选 c. 2.某人从 XX 年 1 月份开始，每月初存入银行 100 元，月利率是 （每月按复利计算），到 12月底取出本利和应是（ ） 元元元元 答案 c 解析 一月份开始存入银行，到 12 月底本利和是a1=100(1+)12; 二月份开始存入银行，到 12月底本利和是 a2=100(1+)11; ； 12月份开始存入银行，到 12月底本利和是 a12=100(1+). 则数列 an构成等比数列， S12= =( 元 ). 3.农民收入 由工资性收入和其他收入两部分构成 .XX年某地区农民人均收入为 3150元（其中工资性收入为 1800 元，其他收入为 1350 元），预计该地区自 XX 年起的 5 年内，农民的工资性收入将以每年 6的年增长率增长，其他收入每年17 / 24 增加 160 元 .根据以上数据， XX 年该地区农民人均收入介于（ ） 元 4400元元 4600元 元 4800元元 5000元 答案 B 解析 将 XX 年记作第 1 年，该地区农民人均收入第 n年为 an， 则 a1=3150,a2=1800 （ 1+6） +1350+160， ， an=1800（ 1+6） n-1+1350+（ n-1） 160. XX年该地区农民人均收入为 a6=1800 （ 1+6） 6-1+1350+（ 6-1） 160 故选 B. 4.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月 内 累 积 的 需 求 量 Sn （ 万 件 ） 近 似 地 满 足Sn=(21n-n2-5)(n=1,2, ， 12） .按此预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是（ ） 月、 6 月月、 7 月 月、 8 月月、 9 月 答案 c 解析 设第 n 个月份的需求量超过万件 .则 Sn-Sn-1=(21n-n2-5)- 21(n-1)-(n-1)2-5 , 化简整理，得 n2-15n+54 0,即 6 n 9. 应选 c. 5.通过测量知道，温度每降低 6 ，某电子元件的电子数目18 / 24 就减少一半 .已知在零下 34 时，该电子元件的电子数目为3 个，则在室温 27 时，该元件的电子数目接近（ ） 个 个 个 个 答案 c 解析 由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且 a1=3,q=2,由 27-(-34)=61, =10,可得， a11=3210=3072，故选 c. 6.一个卷筒纸，其内圆 直径为 4cm，外圆直径为 12cm，一共卷 60层，若把各层都视为一个同心圆， = ，则这个卷筒纸的长度为（精确到个位）（ ） 答案 B 解析 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则 l=d1+d2+d60=60 =480=(cm)15m ，故选 B. 7.现存入银行 8 万元，年利率为，若采用 1 年期自动转存业务，则 5 年末的本利和是万元 . 答案 c 解析 定期自动转存属于复利计算问题， 5 年末的本利和为 8 （ 1） 5 8 8.某房屋 开发商出售一套 50万元的住宅，可以首付 5 万元，19 / 24 以后每过一年付 5 万元， 9 年后共 10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款税后利率设为 2%，按复利计算）并优惠 x%，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少？（ x取整数，计算过程中参考以下数据： =,=,=）（ ） % 答案 B 解析 由题意，知 50(1-x%)(1+2%)95(+1). 整理，得 1-x%=,x%, 一次付款的优惠率应不低于 16%. 二、填空题 9.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为 b,XX 年产生的垃圾量为 a 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为吨，XX年的垃圾量为吨 . 答案 a(1+b) a(1+b) 5 解析 XX 年产生的垃圾量为 a 吨，下一年的垃圾量在XX 年的垃圾量的基础之上增长了 ab 吨，所以下一年的垃圾量为 a(1+b)吨； XX 年是从 XX 年起再过 5 年，所以 XX 年的垃圾量是 a(1+b)5 吨 . 10.某彩电价格在去年 6月份降价 10%之后经 10,11,12 三个月连续三次回升到 6 月份降价前的水平 ,则这三次价格平均回升率是 . 20 / 24 答案 -1 解析 设 6 月份降价前的价格为 a,三 次价格平均回升率为 x,则 a90%(1+x)3=a, 1+x=,x= -1. 11.某大楼共有 20 层，有 19 人在第 1 层上了电梯，他们分别要去第 2 层至第 20层，每层 1 人，而电梯只允许停 1 次，可只使 1 人满意，其余 18 人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走 1 层的不满意度为 1，每向上走一层的不满意度为 2，所有人的不满意度之和为 S,为使 S 最小，电梯应当停在层 . 答案 14 解析 设停在第 x 层，则 S= 1+2+(20 -x) 2+ 1+2+(x -2) =+421, x= 时取最小值，而 x 2,3,20, x=14时取最小值 . 12.某工厂生产总值的月平均增比率为 p,则年平均增长率为 . 答案 (1+p)12-1 解析 设年平均增长率为 x,原来总产值为 a,由题意得a(1+x)=a(1+p)12, x=(1+p)12 -1. 三、解答题 13.某城市 2002年底人口为 500万，人均居住面积为 6 平方21 / 24 米，如果该城市每年人口平均增长率为 1%,每年平均新增住房面积为 30万平方米，到 XX年底该城市人均住房面积是多少平方米？增加了还是减少了？说明了什么问题？（精确到平方米） 解析 设 2002年， XX年， ， XX年住房面积总数成等差数列 an，人口数组成等比数列 bn， 则 2002年： a1=5006=3000( 万平方米 )， b1=500(万 ). XX 年： a2=a1+d=3000+30=3030( 万 平 方 米 ) ，b2=b1q=500(1+1%)=505 （万） . XX 年 :a11=a1+10d=3000+1030=3300( 万 平 方 米 ) ，b11=b1q10=500(1+1%)10=500552( 万 ). 所以人均住房面积是 ( 平方米 ). 答：该城市人均 住房面积约平方米，人均住房面积反而减少了，说明计划生育的重要性 . 14.某林场 XX年底森林木材储存量为 330万立方米，若树林以每年 25%的增长率生长，计划从 XX年起，每年冬天要砍伐的木材量为 x 万立方米，为了实现经过 20 年木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量 x的最大值是多少？（ lg2) 解析 设从 XX 年起的每年年底木材储存量组成的数列为 an，则 a1=330 22 / 24 an+1=an(1+25%)-x=an-x 则 an+1-4x=(an-4x), 即 =. an -4x是以 330-4x 为首 项，公比为的等比数列，即an=(330-4x)()n-1+4x. a21=(330 -4x)()20+4x. 令 a214a1 ，即 (330-4x)()20+4x4330. 由 lg2 ，可求得 ()20=100，代入上式整理得 396x31680, 解得 x80( 万立方米） . 答：每年砍伐量最大为 80