最小二乘估计教案

1 / 6 最小二乘估计教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 m 最小二乘估计 教学目标： 1、掌握最小二乘法的思想 2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 教学重点：最小二乘法的思想 教学难点：线性回归方程系数公式的应用 教学过程 回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。 问题 1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？ 想法：保证这条直线与所有点都近（也就是 距离最小）。 最小二乘法就是基于这种想法。 问题 2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？ 设直线方程为 y=a+bx，样本点 A（ xi， yi） 方法一、点到直线的距离公式 方法二、 2 / 6 显然方法二能有效地表示点 A 与直线 y=a+bx 的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。 问题 3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 例如有 5 个样本点，其坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2），（ x3， y3），（ x4， y4），（ x5， y5）与直线 y=a+bx 的 接近程度： 从而我们可以推广到 n 个样本点：（ x1， y1），（ x2， y2）， （ xn， yn）与直线 y=a+bx的接近程度： 使得上式达到最小值的直线 y=a+bx 就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法 问题 4、怎样使达到最小值？ 先来讨论 3 个样本点的情况 设有 3 个点（ x1， y1），（ x2， y2），（ x3， y3），则由最小二乘法可知直线 y=a+bx 与这 3 个点的接近程度由下面表达式刻画： 整理成为关于 a 的一元二次函数，如下所示： 利用配方法可得 3 / 6 从而当时，使得函 数达到最小值。 将代入 式，整理成为关于 b 的一元二次函数， 同样使用配方法可以得到，当 时，使得函数达到最小值。 从而得到直线 y=a+bx 的系数 a， b，且称直线 y=a+bx 为这 3个样本点的线性回归方程。 用同样的方法我们可以推导出 n 个点的线性回归方程的系数： 其中 由我们知道线性回归直线 y=a+bx一定过。 例题与练习 例 1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部 6 天卖出热茶的杯数（ y）与当天气温（ x）之间是线性相关的。数据如下表 气温（ xi） oc261813104-1 4 / 6 杯数（ yi）杯 202434385064 （）试用最小二乘法求出线性回归方程。 （）如果某天的气温是 3oc，请预测可能会卖出热茶多少杯。 解：（ 1）先画出其散点图 ixiyixi2xiyi 12620676520 21824324432 31334169442 41038100380 545016200 6 1641 64 合计 7023012861910 可以求得 则线性回归方程为 y= （ 2）当某天的气温是 3oc时，卖出热茶的杯数估计为： 练习 1 已知 x， y 之间的一组数据如下表，则 y 与 x 的线性回归方程 y=a+bx必经过点 (D) x0123 5 / 6 y1357 （ A）（ 2， 2）（ B）（， 0）（ c）（ 1， 2）（ D）（， 4） 练习 2某连锁经营公司所属 5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表： 商店名称 ABcDE 销售额（ x） /千万元 35679 利润额（ y） /百万元 23345 （）画出销售额和利润额的散点图； （）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程。 解：（ 1） （ 2）数据如下表： ixiyixi2xiyi 13296 2532515 3633618 4744928 5958145 合计 30172001