机器人学基础_第2章_数学基础

1,中南大学蔡自兴，谢斌zxcai,xiebin2010,机器人学基础第二章数学基础,1,Ch.2MathematicalBasis,FundamentalsofRobotics,FundamentalsofRobotics,2,Review,2,CourseScheduleTop10RoboticsNewsof2008DevelopmentofRoboticsStructure,Feature,andClassificationofRobotsRoboticsandAI,FundamentalsofRobotics,3,Contents,RepresentationofPositionandAttitudeCoordinateTransformationHomogeneousTransformationTransformationofObjectGeneralRotationTransformation,3,Ch.2MathematicalFoundations,4,4,Ch.2MathematicBasis,2.1RepresentationofPositionandAttitude位置和姿态的表示DescriptionofPosition,2.1RepresentationofPositionandAttitude,5,5,2.1RepresentationofPositionandAttitude,DescriptionofOrientation,2.1RepresentationofPositionandAttitude,6,6,DescriptionofFrames相对参考系A，坐标系B的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量(PositionVector)和旋转矩阵(RotationMatrix)描述。这样，刚体的位姿（位置和姿态）可由坐标系B来描述，即,2.1RepresentationofPositionandAttitude,2.1RepresentationofPositionandAttitude,7,Contents,RepresentationofPositionandAttitudeCoordinateTransformationHomogeneousTransformationTransformationofObjectGeneralRotationTransformation,7,Ch.2MathematicalFoundations,8,8,2.2CoordinateTransformation坐标变换,平移坐标变换(TranslationTransform),2.2CoordinateTransformation,9,9,旋转坐标变换(RotationTransform),2.2CoordinateTransformation,2.2CoordinateTransformation,10,10,Rotationaboutanaxis,2.2CoordinateTransformation,2.2CoordinateTransformation,11,11,2.2CoordinateTransformation,Rotationaboutanaxis,2.2CoordinateTransformation,12,12,复合变换(CompositeTransform),2.2CoordinateTransformation,2.2CoordinateTransformation,13,例2.1已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。,13,2.2CoordinateTransformation,解：,2.2CoordinateTransformation,14,例2.1已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。,14,2.2CoordinateTransformation,解：,2.2CoordinateTransformation,15,例2.1已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。,15,2.2CoordinateTransformation,解：,2.2CoordinateTransformation,16,Contents,RepresentationofPositionandAttitudeCoordinateTransformationHomogeneousTransformationTransformationofObjectGeneralRotationTransformation,16,Ch.2MathematicalFoundations,17,已知一直角坐标系中的某点坐标，则该点在另一直角坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换求得。所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。一个向量的齐次表示是不唯一的，比如齐次坐标8,4,2、4,2,1表示的都是二维点2,1。齐次坐标提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。,2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames齐次坐标变换,17,2.3HomogeneousTransformation,18,18,HomogeneousTransformationMatrixForm：,2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames,2.3HomogeneousTransformation,19,例2.2已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，用齐次变换方法求它在坐标系A中的描述Ap。,19,解：,2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames,2.3HomogeneousTransformation,20,例2.2已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，用齐次变换方法求它在坐标系A中的描述Ap。,20,解：,2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames,2.3HomogeneousTransformation,21,21,HomogeneousTransformationofTranslation空间中的某点用矢量ai+bj+ck描述，该点也可表示为：对已知矢量u=x,y,z,wT进行平移变换所得的矢量v为：,2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames,2.3HomogeneousTransformation,22,22,HomogeneousTransformationofRotation,2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames,2.3HomogeneousTransformation,23,23,例2.3已知点u=7i+3j+2k，将u绕z轴旋转90得到点v，再将点v绕y轴旋转90得到点w，求点v、w的坐标。,解：,2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames,2.3HomogeneousTransformation,24,24,例2.3已知点u=7i+3j+2k，将u绕z轴旋转90得到点v，再将点v绕y轴旋转90得到点w，求点v、w的坐标。,解：,如果把上述两变换组合在一起,2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames,2.3HomogeneousTransformation,25,25,若改变旋转次序，首先使u绕y轴旋转90，再绕z轴旋转90，会使u变换至与w不同的位置w1。,2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames,2.3HomogeneousTransformation,26,26,例2.4已知点u=7i+3j+2k，将u绕z轴旋转90得到点v，再将点v绕y轴旋转90得到点w，最后进行平移变换4i-3j+7k，求最终的坐标。,解：,把上述三变换组合在一起,2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames,2.3HomogeneousTransformation,27,27,例2.4已知点u=7i+3j+2k，将u绕z轴旋转90得到点v，再将点v绕y轴旋转90得到点w，最后进行平移变换4i-3j+7k，求最终的坐标。,解：,则,2.3HomogeneousTransformationoftheCoordinateFrames,2.3HomogeneousTransformation,28,28,WearegivenasingleframeAandapositionvectorAPdescribedinthisframe.WethentransformAPbyfirstrotatingitaboutbyanangle,thenrotatingaboutbyanangle.Determinethe33rotationmatrixoperator,whichdescribesthistransformation.,例2.5（Example2.5）,2.3HomogeneousTransformation,Solution:SupposethefirstrotationconvertsAP-AP,andthesecondrotationconvertsAP-AP”.Thenwehave:,29,29,WearegivenasingleframeAandapositionvectorAPdescribedinthisframe.WethentransformAPbyfirstrotatingitaboutbyanangle,thenrotatingaboutbyanangle.Determinethe33rotationmatrixoperator,whichdescribesthistransformation.,Example2.5,2.3HomogeneousTransformation,Solution:,30,Contents,RepresentationofPositionandAttitudeCoordinateTransformationHomogeneousTransformationTransformationofObjectGeneralRotationTransformation,30,Ch.2MathematicalFoundations,31,31,2.4TransformationandInverseOneofObject物体的变换及逆变换,Descriptionofpositionofanobject我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在空间的位置和方向。例如，下图所示物体可由坐标系内固定该物体的六个点来表示。,2.4TransformationofObjects,32,32,2.4TransformationandInverseTransformationofObject物体的变换及逆变换,Descriptionofpositionofanobject如果首先让物体绕z轴旋转90，接着绕y轴旋转90，再沿x轴方向平移4个单位，则该变换可描述为：,2.4TransformationofObjects,33,33,2.4TransformationandInverseTransformationofObject物体的变换及逆变换,Descriptionofpositionofanobject上述楔形物体的六个点变换如下：,2.4TransformationofObjects,34,34,CompoundTransformation给定坐标系A，B和C，若已知B相对A的描述为，C相对B的描述为，则,2.4TransformationandInverseTransformationofObject,定义复合变换：,2.4TransformationofObjects,35,35,InverseTransformation从坐标系B相对A的描述，求得坐标系A相对B的描述，是齐次变换求逆问题。对于给定的，求解，等价于给定和计算和。,2.4TransformationandInverseTransformationofObject,2.4TransformationofObjects,36,36,InverseTransformation对于给定的，求解，等价于给定和计算和。,2.4TransformationandInverseTransformationofObject,2.4TransformationofObjects,37,37,Givenatransformationmatrix:Find,例2.6（Example2.6）,2.3HomogeneousTransformation,Solution:,38,38,TransformEquations,2.4TransformationandInverseTransformationofObject,2.4TransformationofObjects,39,Contents,RepresentationofPositionandAttitudeCoordinateTransformationHomogeneousTransformationTransformationofObjectGeneralRotationTransformation,39,Ch.2MathematicalFoundations,40,40,设想f为坐标系C的z轴上的单位矢量,2.5GeneralRotationTransformation,2.5GeneralRotationTransformation通用旋转变换,绕矢量f旋转等价于绕坐标系C的z轴旋转,41,41,如果已知以参考坐标描述的坐标系T，那么能够求得以坐标系C描述的另一坐标系S，因为T绕f旋转等价于绕坐标系C的z轴旋转：,2.5GeneralRotationTransformati