极限与探索性问题的解题技巧

1 / 4 极限与探索性问题的解题技巧 莲山课 件 m【命题趋向】 综观历届全国各套高考数学试题 ,我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点 : 1.数学归纳法 客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解 ,掌握数学归纳法的证题步骤 (特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用 ). 解答题大多以考查数学归纳法内容为主 ,并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识 ,在解题过程中通常用到等价转化 ,分类讨论等数学思想方法 ,是属于中高档难度的题目 数学归纳法是高考考查的重点内容之一 .类比与猜想 是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想 ,抽象与概括 ,从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法 .在由 n=k时命题成立 ,证明 n=k1 命题也成立时 ,要注意设法化去增加的项 ,通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧 ,这一点要高度注意 . 2.数列的极限 客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比2 / 4 数列所有项和等内容 ,对基本的计算技能要求比较高 ,直接运用四则运算法则求极限 . 解答题大多结合数列的计算求极限等 ,涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题 ,在解题过程中通常用到等价转化 ,分类讨论 等数学思想方法 ,是属于中高档难度的题目 . 数列与几何 :由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形 ,通常相关几何量构成等比数列 ,这是一类新题型 . 3.函数的极限 此部分为新增内容 ,本章内容在高考中以填空题和解答题为主 .应着重在概念的理解 ,通过考查函数在自变量的某一变化过程中 ,函数值的变化趋势 ,说出函数的极限 . 利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算 . 利用两个重要极限求函数的极限 . 函数的连续性是新教材新增加的内容之一 .它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 .在高考中 ,必将这一块 内容溶入到函数内容中去 ,因而一定成为高考的又一个热点 . 4.在一套高考试题中 ,极限一般分别有 1 个客观题或 1 个解答题 ,分值在 5 分 -12分之间 . 5.在高考试题中 ,极限题多以低档或中档题目为主 ,一般不会出现较难题 ,更不会出现难题 ,因而极限题是高考中的得分点 . 6.注意掌握以下思想方法 3 / 4 极限思想 :在变化中求不变 ,在运动中求静止的思想 ; 数形结合思想 ,如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等 . 此类题大多以解答题的形式出现 ,这类题主要考查学生的综合应用能力 ,分析问题和学生解决问题的能力 ,对运算能力要求较高 . 【考点透视】 1.理解数学归纳法的原理 ,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 . 2.了解数列极限和函数极限的概念 . 3.掌握极限的四则运算法则 ;会求某些数列与函数的极限 . 4.了解函数连续的意义 ,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 . 【例题解析】 考点 1 数列的极限 1.数列极限的定义 :一般地 ,如果当项数 n 无限增大时 ,无穷数列 an的项 an 无限地趋近于某个常数 a(即 |an-a|无限地接近于 0),那么就说数列 an以 a 为极限 . 注意 :a不一定是 an中的项 . 2. 几 个 常 用 的 极 限 :c=c(c 为常数 );=0;qn=0(|q|1). 3.数列极限的四则运算法则 :设数列 an、 bn, 4 / 4 当 an=a,bn=b 时 ,(anbn)=ab; 例 1.(XX 年湖南卷 )数列 满足 :,且对于任意的正整数 m,n都有 ,则 () 考查目的 本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式的应用 . 解答过程 由和得 故选 A. 例 2.(XX年安徽卷 )设常数 ,展开式中的系数为 ,则 _. 考查目的 本题考查利用二项式定理求出关键数 ,再求极限的能力 . 解答过程 ,由 ,所以 ,所以为 1. 例 3.(XX