正余弦定理的应用举例

1 / 12 正余弦定理的应用举例 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 正、余弦定理的应用举例（ 1） 知识梳理 一、解斜三角形应用题的一般步骤： （ 1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （ 2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型 （ 3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （ 4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 二测量的主要内容是求角和距离，教学中要注 意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题 . 三解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决 . 典例剖析 题型一距离问题 2 / 12 例 1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里， 问乙船每小时航行多少海里？ 解：如图，连结，由已知， ， ，又，是等边三角形， ，由已知， 在中，由余弦定理， 因此，乙船的速度的大小为（海里 /小时）答：乙船每小时航行海里 题型二高度问题 例 2、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE方向前进 30m，至点 c 处测得顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 10m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4，求的大小和建筑物AE的高。 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在 AcD中， Ac=Bc=30， AD=Dc=10， ADc=180-4， =。 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30=15，在 RtADE中， AE=ADsin60=15 3 / 12 答：所求角为 15，建筑物高度为 15m 解法二：（设方程来求解）设 DE=x， AE=h 在 RtAcE中 ,(10+x)+h=30 在 RtADE 中 ,x+h=(10) 两式相减，得 x=5,h=15 在 RtAcE中 ,tan2= 2=30,=15 答：所求角为 15，建筑物高度为 15m 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE=x，由题意，得 BAc=， cAD=2， Ac=Bc=30m,AD=cD=10m 在 RtAcE中， sin2=- 在 RtADE中， sin4=,- 得 cos2=,2=30,=15， AE=ADsin60=15 答：所求角为 15，建筑物高度为 15m 评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图形中体现出来。 备选题角度问题 例 3如图 1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救 .求舰艇的航向 和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到） . 解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，又， . 由余弦定理，得 4 / 12 ， 即 . 化简，得 ， 解得（负值舍去） . 由正弦定理，得 ， 所以，方位角为 . 答舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮 . 评析：本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用 .解本题的关键是根据实际，找出等量关系，在画示意图时，要注意方向角的画法。 点击双基 一 .选择题： 1在 ABc 中，下列各式正确的是（） csinB (A B) a2 b2 2abcos(A B) 解：根据正弦定理得 ,又 sinc=sin(A+B),asin(A B) csinA 答案： c 2海上有 A、 B 两个小岛相距 10nmile，从 A 岛望 B 岛和 c岛成 60 的视角，从 B 岛望 A 岛和 c 岛成 75 角的视角，5 / 12 则 B、 c 间的距离是（） 解：根据题意知： AB=10， A=60,B=75 则 c=45, a=56 答案： D 3在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30 、 60 ，则塔高为（） A.米 B.米米米 解：如图，设塔高 AB为 h， RtcDB 中， cD 200， BcD 90 -60 30 在 ABc 中， ABc BcD 30 ， AcB 60 -30 30 BAc 120 （ m） 答案： A 4某人以时速 akm向东行走，此时正刮着时速 akm 的南风，那么此人感到的风向为，风速为 . 答案：东南 2a 6 / 12 5某船开始看见灯塔在南偏东 30 方向，后来船沿南偏东60 的方向航行 30nmile 后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 . 解： 103 课后作业 1已知三角形的三边长分别为 a、 b、 a2 ab b2，则这个三角形的最大角是（） 解：根据三角形中大边对大角，可知 a2 ab b2 所对的角为最大角，设为，则 cos=-,120 答案： B 2如下图，为了测量隧道 AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据 A.、 a、 bB.、 、 a 、 b、 D. 、 、 解：根据正弦定理和余弦定理知，测量 a、 b、 ，利用余弦定理 可求 AB的长度。 答案： c 3.海上有 A、 B、 c 三个小岛，已知 A、 B 之间相距 8nmile，7 / 12 A、 c之间相距 5nmile，在 A岛测得 B岛和 c岛的视角为 60 ，则 B 岛与 c 岛相距的 nmile数为 () 解：根据题意知： AB=8， Ac=5,A=60, 根据余弦定理有Bc=8=49， Bc=7 答案： A 4在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE 方向前进 30m至点 c 处测得顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 10m至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4，则等于 ( ) A 15B 10 c 5D 20 解：如图， Bc cA， cD DA， 设 AE h，则 2cos2， cos2 2 30 ， 15 答案： A 5.某人朝正东方向走 xkm后，向左转 150 ，然后朝新方向走 3km，结果他离出发点正好是 km，那么 x 的值为 () 或 解：如图，设出发点为 A，则由已知可得 8 / 12 AB x 千米， Bc 3 千米 ABc 180 -150 30 Ac， ， ， cAB 60 或 cAB 120 当 cAB 60 时， AcB 180 -30 -60 90 x 2 千米 当 cAB 120 ， Ac B 180 -120 -30 30 x Ac千米 答案： c 6.已知一塔高 80m，分别在塔底和塔顶测得一山的山顶的仰角分别是 60 和 30 ，则山高为 () 解： D 7.如图 ,建造一幢宽为 ,房顶横截面为等腰三角形的住房 ,则ABc=, 则等于 ()时 ,可使雨水从房顶最快流下 . 任意角 解：根据题意知 s=AB=，加速度 a=gsin. 由 s=得 t=,=45时 t 最小 答案： B 8.一艘船以 4km/h的速度沿着与水流方向成 120的方向航行 ,9 / 12 已知河水流速为 2km/h,则经过 ,该船的实际 航程为 () 解：船的实际速度是 v=2,则经过 ,该船的实际航程为 2=6 答案： B 二填空题 9一蜘蛛沿东北方向爬行 xcm 捕捉到一只小虫，然后向右转 105 ，爬行 10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转 135爬行回它的出发点，那么 x _ 解：如图， ABc 180 -105 75 BcA 180 -135 45 ， Bc 10cm A 180 -75 -45 60 10坡度为 45 的斜坡长为 100m，现在要把坡度 改为 30 ，则坡底要伸长 _ 解：如图， DB 100m BDA 45 ， BcA 30 设 cD x (x DA)tan30 DAtan45 10 / 12 又 DA BDcos45 100 x -DA 50(-1) 50()(m) 答案： 50()m 11如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在 同一水平面内的两个测点与测得 BcD 15 ， BDc 30 ， cD 30米，并 在点测得塔顶的 仰角为 60, 则 Bc=米 ,塔高 AB=米。 解：在， 在中， 答案：， 三解答题 12.如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10海里 c 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1）？ 11 / 12 解：连接 Bc, 由 余 弦 定 理 得 Bc2=202+102 22010cos120=700. 于是 ,Bc=10。 ， sinAcB= ， AcB 90 ， AcB=41 。 乙船应朝北偏东 41 方向沿直线前往 B 处救援。 13如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口 .如果轮船始终匀速前进，求船速 . 解：设，船的速度为，则， . 在中， . 在中， . 在中， ， 船的速度 . 14.如图， A,B,c,D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测