分数的发展.doc

_一分数发展简史人类早在文化发展的初期，由于进行测量和均分，就曾使用分数。在各民族的最早古文献中，都有关于分数的记载；各民族还有各不相同的分数制度。 埃及人：只对分子是1的分数进行运算，他们编制了把分子不是1的分数化成分子是1的分数的和的表，例如：221 114 142 215 110 130 213 18 152 1104 在巴比伦：由于创造了六十进制的计数制度，所以他们就利用分母是60、602、603等的分数，巴比伦人还编制了用六十进位的分数来表示分子是1的分数的表，例如： 154 160 6602 40603 希腊人：学会了埃及的分数算法和巴比伦的六十进位制算法，加、减、乘、除都很困难，数字计算没有能够很好发展。根据先有的材料，我国古代数学书“九章算术”（约公元一世纪左右）里面，已有完整的分数四则运算的法则，这在世界来说也是最早的。“九章算术”把分数加法叫做“合分”，法则是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”，即：ba dc bcadac 。这里的“实”是被除数，也就是分子，“法”是除数，也就是分母；“实如法而一”是被除数依除数均分为几份而取它的一份。如果同分母分数相加，则有法则“其母同者直相从之“，即 ba ca bca 。“九章算术”把分数减法叫做“减分”，法则是“母互乘子，以多减少，余为实，母相乘为法，实如法而一”。即： ba dc bcadac 。“九章算术”把分数乘法叫做“乘分”，法则是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”。即： ba dc bdac “九章算术”把分数除法叫做“经分”，法则是“法分母乘实（为实），实分母乘法（为法），实如法而一”。即：ba dc bcad 这些法则和我们现在所用几乎完全一样。“九章算术”里约分法则是“可半者半之，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”，这就是说：分子、分母都是偶数的时候，应该用2除；如果不是偶数，那么用辗转相减的方法，从较大数减去较小的数，最后得到一个余数和减数相等，这就是所求的最大公约数，这种辗转向减求最大公约数的方法和欧几里得的辗转相除法，理论上是一致的。阿拉伯人接受了印度的分数记法，但是在分子、分母中间添上一条横线，并且把带分数的整数部分写在分数的前面，例如三又七分之二写成3 27 。阿拉伯人的分数算法在十三世纪初传到了意大利，在十五世纪中开始在欧洲各国通行，现在已经在全世界通用了。算筹是中国古代的计算工具，真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间。算数书成书于西汉初年，是传世的中国最早的数学专著，它是1984年由考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中发现的。周髀算经编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”。 九章算术在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，九章算术在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大体相同。注重实际应用是九章算术的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。 九章算术标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成。 中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物。 赵爽学术成就体现于对周髀算经的阐释。在勾股圆方图注中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三国时期魏人刘徽则注释了九章算术，其著作九章算术注不仅对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值“3927/1250（3.1416）”。他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。另外，海岛算经也是刘徽编撰的一部数学论著。 南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有孙子算经、夏侯阳算经、张丘建算经等算学著作问世。 祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽九章算术注的基础上前进了一步。根据史料记载，其著作缀术（已失传）取得如下成就：圆周率精确到小数点后第六位，得到3.14159263.1415927，并求得的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。 隋唐时期的主要成就在于建立中国数学教育制度，这大概主要与国子监设立算学馆及科举制度有关。在当时的算学馆算经十书成为专用教材对学生讲授。算经十书收集了周髀算经、九章算术、海岛算经等10部数学著作。所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。 公元600年，隋代刘焯在制订皇极历时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其大衍历中将其发展为不等间距二次内插公式。 从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。中国古代数学以宋、元数学为最高境界。在世界范围内宋、元数学也几乎是与阿拉伯数学一道居于领先集团的。 贾宪在黄帝九章算法细草中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。遗憾的是贾宪的黄帝九章算法细草书稿已佚。 秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在数书九章中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。 李冶于1248年发表测圆海镜，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，在数学史上具有里程碑意义。尤其难得的是，在此书的序言中，李冶公开批判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技”、“玩物”等长期存在的士风谬论。 公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在详解九章算法中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在乘除通变本末中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订授时历时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。 公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著四元玉鉴，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。 14世纪中、后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古代数学便开始呈现全面衰退之势。 明代珠算开始普及于中国。1592年程大位编撰的直指算法统宗是一部集珠算理论之大成的著作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。 由于演算天文历法的需要，自16世纪末开始，来华的西方传教士便将西方一些数学知识传入中国。数学家徐光启向意大利传教士利马窦学习西方数学知识，而且他们还合译了几何原本的前6卷（1607年完成）。徐光启应用西方的逻辑推理方法论证了中国的勾股测望术，因此而撰写了测量异同和勾股义两篇著作。邓玉函编译的大测2卷、割圆八线表6卷和罗雅谷的测量全义10卷是介绍西方三角学的著作。 此外在数学方面鲜有较大成就取得，中国古代数学自此便衰落了。 数学知识的原始积累 数学知识伴随着人类文明的产生而起源，并率先在几个文明古国开始了漫长的原始积累过程，人类的祖先为我们留下了珍贵的、可供研究的原始资料，最著名的古埃及象形文字纸草书和巴比伦楔形文字泥板书，较为集中地反映了古埃及数学和巴比的水平，它们被视为人类早期数学知识积累的代表。 古埃及纸草书，是用尼罗河流域沼泽地水生植物的茎皮压制、粘连成纸草卷，用天然涂料液书写而成的。有两份纸草书直接书写着数学内容。一份叫做“莫斯科纸草”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草”，现藏莫斯科美术博物馆。另一份叫做“莱因特纸草”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有：“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被格兰人莱因特购得，后为博物馆收藏。这两份草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法、整数四则运算、单位分数的独特用法、试位法、求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活初中中的应用问题。 古巴比伦泥板书，是用截面呈三角形的利器作笔，在将干未干的胶泥板上刻写而成的，由于字体为楔形笔划，故称之为楔形文字泥板，从19世纪前期至今，相继出土了这种泥板有50万块之多。它们分别属于公元前2100年苏美尔文化末期，公元前1790年至公元前1600年间汉莫拉比时代和公元前600年至公元300年间新巴比伦帝国及随后的波斯、塞流西得时代。其中，大约有300至400块是数学泥板，数学泥板中又以数表居多，据信这些数学表是用来运算和解题的。这些古老的泥板，现在散藏于世界各地许多博物馆，并且被一一编号，成为我们研究巴比伦数学最可靠的资料。巴比伦数学从整体上讲比古埃及数学高明，古巴比伦人采用60进位制记数法，并计算出倒数表、平方表、立方表、平方根表和立方根表，其中2的平方根近似为1.414213.。巴比伦的代数有相当水平，他们用语言文字叙述方程问题及其解法，常用特殊的“长”、“宽”、“面积”等字眼表示未知量，除求解二次、三次方程的问题之外，也有一些数论性质的问题。巴比伦的几何似乎没有古埃及的几何那么重要，只是收罗了一些计算简单图形的面积、体积的法则，也许他们只是在解决实际问题时才搞点几何。此外，巴比伦数学中有很明显的商业、农业和天文的应用背景。 我们可以说，在人类早期数学知识积累过程中，由于计数物件的需要，产生了自然数，随着记数法的产生和发展，逐渐形成了运算，导致算术的产生；由于计量实物的需要，产生了简单的几何，随着农业、建筑业、手工业及天文观测的发展，逐渐积累了有关这些的基本性质和相互关系的经验知识，于是几何学萌芽了；由于商业计算、工程计算、天文的需要，在算术计算技巧的基础上，逐渐积累起代数学基本知识。但是，在这个阶段上，直到公元前6世纪，无论如何也找不到我们今天所谓的“理性的数学”，而只是一种初级的“经验的数学”。 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。 在几何学方面史记夏本记中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现勾三股四弦五这个勾股定理西方称毕氏定理的特例。战国时期，齐国人著的考工记汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有墨经中关於某些几何名词的定义和命题，例如：圆，一中同长也、平，同高也等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。庄子记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如至大无外谓之大一，至小无内谓之小一、一尺之棰，日取其半，万世不竭等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其他数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。 此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的易经已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。 汉唐初创时期 这一时期包括从秦汉到隋唐1000多年间的数学发展，所经历的朝代依次为秦、汉、魏、晋、南北朝、隋、唐。 秦汉是中国古代数学体系的形成时期。为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。 西汉末年公元前一世纪编纂的天文学著作周髀算经在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。 九章算术是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书於东汉初年公元前一世纪。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属於方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关於勾股测量的计算等。在代数方面，方程章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关於线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就九章算术的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。 魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对周髀算经做了详尽的注释。刘徽注释九章算术，不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，且在论述过程中多有创新，更撰写海岛算经，应用重差术解决有关测量的问题。刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。 南北朝时期的社会长期处於战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。孙子算经、夏侯阳算经、张丘建算经就是这个时期的作品。孙子算经给出物不知数问题，导致求解一次同余组问题；张丘建算经的百鸡问题引出三个未知数的不定方程组问题。 祖冲之、祖日桓父子的工作在这一时期最具代表性，他们在九章算术刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有突出的贡献。其著作缀术已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926 3.1415927，并求得的约率为22/7，密率为355/113；(2)得到祖 日桓定理幂势既同，则积不容异并得到球体积公式；(3)发展了二次与三次方程的解法。 唐朝在数学教育方面有长足的发展。656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释算经十书包括周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、张丘建算经、夏侯阳算经、缉古算经、五曹算经、五经算术和缀术，作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。 宋元全盛时期 唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪宋、元两代，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的黄帝九章算法细草11世纪中叶，刘益的议古根源12世纪中叶，秦九韶的数书九章1247，李冶的测圆海镜1248和益古演段1259，杨辉的详解九章算法1261、日用算法1262和杨辉算法1274-1275，朱世杰的算学启蒙1299和四元玉鉴1303等等。 高次方程数值解法； 天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题； 大衍求一术，即一次同余式组的解法，现在称为中国剩余定理； 招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和。 另外，其他成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图幻方的研究、小数十进分数具体的应用、珠算的出现等等。 这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。 西学输入时期 这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共500多年。数学除珠算外出现全面衰弱的局面，当中涉及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题，不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。十六世纪末，西方初等数学开始传入中国，使中国数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。鸦片战争后，近代高等数学开始传入中国，中国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。直到十九世纪末，中国的近代数学研究才真正开始。 明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至程大位的直指算法统宗1592问世，珠算理论已成系统，标志著从筹算到珠算转变的完成。但由於珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。 隋及唐初，印度数学和天文学知识曾传入中国，但影响较细。到了十六世纪末，西方传教士开始到中国活动，和中国学者合译了许多西方数学专著。其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的几何原本前6卷1607，其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推崇。徐光启本人撰写的测量异同和勾股义便应用了几何原本的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。此外，几何原本课本中绝大部份的名词都是首创，且沿用至今。在输入的西方数学中仅次於几何的是三角学。在此之前，三角学只有零星的知识，而此后获得迅速发展。介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的大测2卷，1631、割圆八线表6卷和罗雅谷的测量全义10卷，1631。在徐光启主持编译的崇祯历书137卷，1629-1633中，介绍了有关圆椎曲线的数学知识。 入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他坚信中国传统数学必有精理，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的高潮是有积极影响的。与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人。 清康熙帝爱好科学研究，他御定的数理精蕴53卷，1723，是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。 在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有谈天三友之称的焦循、汪莱及李锐作出不少重要的工作。李善兰在垛积比类约1859中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为李善兰恒等式。这些工作较宋元时期的数学进了一步。阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记畴人传46卷1795-1810，开数学史研究之先河。 1840年鸦战争后，闭关锁国政策被迫中止。同文馆内添设算学，上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二次翻译引进的高潮。主要译者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的几何原本后9卷1857，使中国有了完整的几何原本中译本；代数学13卷1859；代微积拾级18卷1859。李善兰与英国传教士艾约瑟合译圆锥曲线说3卷，华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译代数术25卷1872，微积溯源8卷1874，决疑数学10卷1880等。在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今仍在应用。 1898年建立京师大学堂，同文馆并入。1905年废除科举，建立西方式学校教育，使用的课本也与西方其他各国相仿。 近现代数学发展时期 这一时期是从20世纪初至今的一段时间，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。 中国近现代数学开始於清末民初的留学活动。较早出国学习数学的有1903年留日的冯祖荀，1908年留美的郑之蕃，1910年留美的胡明复和赵元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何鲁，1913年留日的陈建功和留比利时的熊庆来1915年转留法，1919年留日的苏步青等人。他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展做出重要贡献。其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。1920年姜立夫在天津南开大学创建数学系，1921年和1926年熊庆来分别在东南大学今南京大学和清华大学建立数学系，不久武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学陆续设立了数学系，到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系。1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部，开始招收研究生，陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。三十年代出国学习数学的还有江泽涵1927、陈省身1934、华罗庚1936、许宝騄1936等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量。同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗素1920，美国的伯克霍夫1934、奥斯古德1934、维纳1935，法国的阿达马1936等人。1935年中国数学会成立大会在上海召开，共有33名代表出席。 但 赵爽是三国时期吴人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的数学家之一，其学术成就体现于对周髀算经的阐释。在勾股圆方图注中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三国时期魏人刘徽则注释了九章算术，其著作九章算术注不仅对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值“3927/1250（3.1416）”。他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。在研究多面体体积过程中