江苏高三数学历次模拟试题圆锥曲线汇编

1 / 33 江苏高三数学历次模拟试题圆锥曲线汇编 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 目录（基础复习部分） 第九章圆锥曲线 2 第 51课椭圆 2 第 52课双曲线 7 第 53课抛物线 8 第 54课直线与圆锥曲线（）（位置关系、弦长） 9 第 55课直线与圆锥曲线（）（定值、存在性问题） 16 第 56课综合应用（最值、范围） 27 第九章圆锥曲线 第 51课椭圆 （苏北四市期末）已知椭圆，点，依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点若直线与直线的交点恰在椭圆的右准线上，则椭 圆的离心率为 （扬州期末）如图， A， B， c 是椭圆 m：上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点， Bc 过椭圆 m 的中心，且满足 AcBc ，Bc=2Ac （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）若 y 轴被 ABc 的外接圆所截得弦长为 9，求椭圆方程 2 / 33 （ 1）因为过椭圆的中心，所以 又，所以是以角为直角的等腰直角三角形， 3 分 则， 所以，则，所以，； 7 分 （ 2）的外接圆圆心为中点，半径为， 则的外接圆为 10 分 令，或，所以，得， 所以所求的椭圆方程为 15 分 （南京 盐城模拟一）在平面直角坐标系中，椭圆的右准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为 2 的直线经过点，且点到直线的距离为 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另一点， 当，三点共线时，试确定直线的斜率 解：（ 1）直线的方程为，即， 右焦点到直线的距离为， 又椭圆右准线为，即，所以， 将此代入上式解得，椭圆的方程为； 6 分 （ 2）由（ 1）知，直线的方程为， 8 分 联立方程组解得或（舍），即， 12 分 直线的斜率 14 分 3 / 33 方法二：由（ 1）知，直线的方程为由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组解得代入椭圆方程解得或又由题意知，得或，所以 方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组得， 所以，当，三点共线时，有， 即，解得或又由题意知，得或，所以 （苏锡常镇一）在平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆 c：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点 A 作直线轴，点 m 为直线上的动点，点 B 为椭圆右顶点，直线 Bm交椭圆 c 于 P （ 1）求椭圆 c 的方程； （ 2）求证：； （ 3）试问是否为定值 ？若是定值， 请求出该定值；若不是定值，请说明理由 解：（ 1） 椭圆 c：的离心率为， ，则，又椭圆 c 过点， 2 分 ， 则椭圆 c 的方程 4 分 （ 2）设直线 Bm的斜率为 k，则直线 Bm的方程为，设， 将代入椭圆 c 的方程中并化简得： 4 / 33 ， 6 分 解之得， ，从而 分 令，得， ， 9 分 又， 11 分 ， 13 分 （ 3） = 为定值4 16 分 已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为， . （ 1）若时，求的值； （ 2）若，证明直线过定点 . （南通调研二）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，右焦点为 .为椭圆上一点，且 . 5 / 33 （ 1）若，求的值； （ 2）若，求椭圆的离心率； （ 3）求证：以为圆心，为半径的圆与椭圆的 右准线相切 . 解：（ 1）因为，所以，即， 由得，即 ,3 分 又， 所以，解得或 (舍去 ) 5 分 （ 2）当时 ,， 由得，即，故， 8 分 所以，解得（负值已舍） 10 分 （ 3）依题意，椭圆右焦点到直线的距离为，且， 由得， ,即 , 由 得， 解得或 (舍去 ).13 分 所以 ， 所以以为圆心，为半径的圆与右准线相切 .16 分 （注：第（ 2）小问中，得到椭圆右焦点到直线的距离为，得 1 分；直接使用焦半 径公式扣 1 分） 6 / 33 第 52课双曲线 已知双曲线的离心率为 ，则实数 a 的值为 8 已知双曲线 x2a2 y2b2 1(a 0， b 0)的渐近线方程为 y 3x ，则该双曲线的离心率为 2 双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率 答案：； 提示：双曲线唯一的重要性质：焦点到渐近线的距离等于；则有： 平时强调的重点内容啊！ 双曲线的离心率为 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 .103 （南京盐城模拟一）若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 . 答案： （苏北三市调研三）已知双曲线 的离心率为 2，它的一个焦点是抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为 . （扬州期末）已知双曲线：，的一条渐近线与直线 l： 0 垂直，且的一个焦点到 l 的距离为 2，则的标准方程为7 / 33 . （淮安宿迁摸底）在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是 (泰州二模 )已知双曲线的渐近线方程为，则 （南京三模）在平面直角坐标系 xoy中，过双曲线 c： x2y23 1 的右焦点 F 作 x 轴的垂线 l，则 l 与双曲线 c 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 43 （苏锡常镇二模）已知双曲线的 离心率等于 2，它的焦点到渐近线的距离等于 1，则该双曲线的方程为 3x2 -y2=1 （金海南三校联考）在平面直角坐标系 xoy中，若双曲线 c：的离心率为，则双曲线 c 的渐近线方程为 .y 3x （镇江期末）若双曲线，的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是 . 第 53课抛物线 （南通调研一）在平面直角坐标系中，以直线为渐近线，且经过抛物线焦点的双曲线的方程是 .x2 y24=1 （苏州期末）以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为 2 的双曲线标准方程为 . （南京盐城二模）在平面直 角坐标系 xoy中，已知抛物线 c：的焦点为 F，定点，若射线 FA与抛物线 c 相交于点 m，与抛物线 c 的准线相交于点 N，则 Fm： mN=。 13 （南通调研三）在平面直角坐标系 xoy 中，点 F 为抛物线8 / 33 x28y 的焦点，则 F 到双曲线的渐近线的距离为 【答案】 （盐城三模）若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为 .1 （南师附中四校联考）以双曲线的中心为顶点，右准线为准线的抛物线方程为 . 第 54课直线与圆锥曲线（）（位置关系、弦长） 给定椭圆 c： x2a2 y2b2 1(a b 0)，称圆 c1： x2 y2 a2 b2 为椭圆 c 的 “ 伴随圆 ” 已知椭圆 c 的离心率为32，且经过点 (0， 1) （ 1）求实数 a， b 的值； （ 2）若过点 P(0， m)(m 0)的直线 l 与椭圆 c 有且只有一个公共点，且 l 被椭圆 c 的伴随圆 c1 所截得的弦长为 22，求实数 m 的值 解：（ 1）记椭圆 c 的半焦距为 c 由题意，得 b 1， ca 32， c2 a2 b2， 解得 a 2， b 1 4分 （ 2）由（ 1）知，椭圆 c 的方程为 x24 y2 1，圆 c1的方程为 x2 y2 5 显然直 线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y kx m ，即 kx y m 9 / 33 0 6 分 因为直线 l 与椭圆 c 有且只有一个公共点， 故方程组 y kx m， x24 y2 1（ *）有且只有一组解 由（ *）得 (1 4k2)x2 8kmx 4m2 4 0 从而 (8km)2 4(1 4k2)(4m2 4) 0 化 简 ， 得 m2 1 4k2 10 分 因为直线 l 被圆 x2 y2 5 所截得的弦长为 22， 所以圆心到直线 l 的距离 d 5 2 3 即 |m|k2 1 3 14 分 由 ，解得 k2 2， m2 9 因为 m 0，所以 m 3 16分 （南通调研一）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，且是边长为 2 的等边三角形 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，记，的面积分别为，若，求直线的斜率 （南师附中四校联考）在平面直角坐标系 xoy中，椭圆 c：的离心率为，右焦点 F（ 1,0），点 P 在椭圆 c 上，且在第一10 / 33 象限内，直线 PQ 与圆 o：相切 于点 m. （ 1）求椭圆 c 的方程； （ 2）求 PmPF 的取值范围； （ 3）若 oPoQ ，求点 Q 的纵坐标 t 的值 . （ 1） 2 分 c=1 ， a=2， ， 椭圆方程为 4 分 （ 2）设，则 Pm=， 6 分 PF=8 分 PmPF= ， ， |Pm|PF| 的取值范围是（ 0,1） .10分 （ 3）法一： 当 Pmx 轴时， P， Q 或， 由解得 12 分 当 Pm不垂直于 x 轴时，设， PQ方程为，即 PQ 与圆 o 相切， ， 13 分 又，所以由得 14 分 =12， 16 分 法二：设，则直线 oQ：， ， 11 / 33 oPoQ ， oPoQ=omPQ 12 分 ， 14 分 ， ， ， 16 分 （前黄姜堰四校联考）已知曲线：，曲线： .曲线的左顶点恰为曲线的左焦点 . (1)求的值； (2)若曲线上一点的坐标为，过点作直线交曲线于两点 .直线交曲线于两点 .若为中点， 求直线的方程； 求四边形的面积 . 解 ： （ 1 ）由可得 .3 分 （ 2） ( 方法一 )由（ 1）可得曲线 . 由条件可知的斜率必存在，可设直线方程为： ,. 联立方程， 可得（ *） 6 分 是的中点， . ,解得 . 直 线 方 程为： .8 分 12 / 33 ( 方法二 )设 ,由的中点为 ,可得 . 由，两式相减可得， 6 分 , 直线方程为： .8 分 的斜率为，直线的方程为： . 联立方程，可得或 . .11 分 分别到直线的距离为 由（ *）可得，或 ,13 分 四边形的面积 15 分 （金海南三校联考）在平面直角坐标系 xoy中，设椭圆 c：的左焦点为 F，左准线为 l， P 为椭圆上任意一点，直线oQFP ，垂足为 Q，直线 oQ与 l 交于点 A. (1)若 b=1，且 bc，直线 l 的方程为 x= 求椭圆 c的方程； 是否存在点 P，使得？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； (2)设直线 FP圆 o： x2 y2=a2 交于 m、 N 两点，求证：直线Am， AN均与圆 o 相切 . 解：（ 1）（ i）由题意， b 1， a2c 52，又 a2 b2 c2， 13 / 33 所以 2c2 5c 2 0，解得 c 2，或 c 12(舍去 ) 故 a2 5 所 求 椭 圆 的 方 程 为 x25 y2 1 3 分 （ ii）设 P(m， n)，则 m25 n2 1，即 n2 1 m25 当 m 2，或 n 0 时，均不符合题意； 当 m 2， n0 时，直线 FP的斜率为 nm 2， 直线 FP的方程为 y nm 2(x 2) 故直线 Ao的方 程为 y m 2nx， Q 点 的 纵 坐 标 yQ 2n(m 2)(m 2)2 n2 5 分 所以 FPFQ |nyP| |(m 2)2 n22(m 2)| |(m 2)2 1 m252(m 2)| |4m2 20m 2510(m 2)| 令 FPFQ 110，得 4m2 21m 27 0 ，或 4m2 19m 230 7 分 由 4m2 21m 27 0，解得 m 3， m 94，又 5m5 ，所以方程 无解 由于 192 4423 0，所以方程 无解， 故不存在点 P 使 FPFQ 110 10 分 （ 3）设 m(x0， y0)， A( a2c， t)，则 Fm (x0 c， y0)，14 / 33 oA ( a2c， t) 因为 oAFm ，所以 FmoA 0，即 (x0 c)( a2c) ty0 0， 由题意 y00 ，所以 t x0 cy0a2c 所以 A( a2c ， x0 cy0a2c) 12 分 因为 Am (x0 a2c， y0 x0 cy0a2c)， om (x0， y0)， 所以 Amom (x0 a2c)x0 (y0 x0 cy0a2c)y0 x02 y02 a2cx0 x0 cy0a2cy0 x02 y02 a2cx0 a2cx0 a2 x02 y02 a2 因为 m(x0， y0)在圆 o 上，所以 Amom 0 15 分 即 Amom ，所以直线 Am与圆 o 相切 同 理 可 证 直 线 AN 与圆 o 相切 16 分 第 55课直线与圆锥曲线（）（定值、存在性问题） 15 / 33 （前黄姜堰四校联考）已知椭圆，点为其长轴的等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，则 10 条直线的斜率乘积为 . 如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点若直线斜率为时， （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论 18.解：（ 1）设 直线斜率为时， ， ， 3 分 ， ， 椭圆的标准方程为 6 分 （ 2）以为直径的圆过定点 设，则，且，即 ， 直线方程为， 直线方程为， 9 分 以为直径的圆为， 即 12 分 ， ， 令，解得， 16 / 33 以为直径的圆过定点 16 分 （苏州期末）如图，已知椭圆，点 B 是其下顶点，过点 B 的直线交椭圆 c 于另一点 A（ A 点在轴下方），且线段 AB 的中点 E 在直线上 （ 1）求直线 AB的方程； （ 2）若点 P 为椭圆 c 上异 于 A， B 的动点，且直线 AP， BP分别交直线于点 m， N，证明： omoN为定值 解：（ 1）设点 E（ m， m），由 B（ 0， 2）得 A（ 2m， 2m+2） 代入椭圆方程得，即， 解得或（舍） 3 分 所以 A（，），故直线 AB的方程为 6 分 （ 2）设，则，即 设，由 A， P， m 三点共线，即， ， 又点 m 在直线上，解得 m 点的横坐标， 9 分 设，由 B， P， N 三点共线，即， ， 点 N 在直线上，解得 N 点的横坐标 12 分 所以 omoN=2 16 分 （淮安宿迁摸底）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 :,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭17 / 33 圆于点， . （ 1）若直线，互相垂直，求圆的方程； （ 2）若直线，的斜率存在，并记为，求证：； （ 3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由 （ 1）由圆的方程知，圆的半径的半径， 因为直线，互相垂直，且和圆相切， 所以，即， 1 分 又点在椭圆上，所以， 2分 联立 ，解得 3 分 所以所求圆的方程为 4 分 （ 2）因为直线：，：，与圆相切， 所以 ,化简得 6 分 同理， 7 分 所以是方程的两个不相等的实数根， 8 分 因为点在椭圆 c 上，所以，即， 所以，即 10 分 （ 3 ） 是 定 值 ， 定 值 为36， 11 分 18 / 33 理由如下： 法 一 ： 是 定 值 ， 定 值 为36， 11 分当直线不落在坐标轴上时 ,设 , 联立解得 12 分 所以， 同理，得，由， 所以 13 分 15 分 (ii)当直线落在坐标轴上时 ,显然有， 综上： 16 分 法二： (i)当直线不落在坐标轴上时 ,设 , 因为，所以 ,即， 因为在椭圆 c 上，所以，即， 所以， 整理得，所以， 所以 14 分 (ii)当直线落在坐标轴上时 ,显然有， 综上： 16 分 （南京盐城二模）如图，在平面直角坐标系 xoy中，椭圆 E：x2a2 y2b2 1(a b 0)的离心率为 22，直线 l： y 12x与19 / 33 椭圆 E 相交于 A， B 两点， AB 25 c， D 是椭圆 E 上异于 A，B 的任意两点，且直线 Ac， BD 相交于点 m，直线 AD， Bc 相交于点 N （ 1）求 a， b 的值； （ 2）求证：直线 mN的斜率为定值 解：（ 1）因为 e ca 22，所以 c2 12a2，即 a2 b2 12a2，所以 a2 2b2 2 分 故椭圆方程为 x22b2 y2b2 1 由题意，不妨设点 A 在第一象限，点 B 在第三象限 由 y 12x， x22b2 y2b2 1，解得 A(233b， 33b) 又 AB 25，所以 oA 5，即 43b2 13b2 5，解得 b2 3 故 a 6， b 3 5 分 （ 2）方法一：由（ 1）知，椭圆 E 的方程为 x26 y23 1，从而 A(2， 1)， B( 2， 1) 当 cA， cB， DA， DB斜率都存在时，设直线 cA， DA的斜率分别为 k1， k2， c(x0， y0)，显然 k1k2 从而 k1kcB y0 1x0 2y0 1x0 2 y02 1x02 4 3(1 x026) 1x02 4 2 x022x02 412 所以 kcB 12k1 8 分 同理 kDB 12k2 20 / 33 于是直线 AD的方程为 y 1 k2(x 2)，直线 Bc的方程为 y 1 12k1(x 2) 由 y 1 12k1(x 2)， y 1 k2(x 2)，解得 x 4k1k2 4k1 22k1k2 1， y 2k1k2 4k2 12k1k2 1 从而点 N 的坐标为 (4k1k2 4k1 22k1k2 1， 2k1k2 4k2 12k1k2 1) 用 k2代 k1， k1 代 k2得点 m 的坐标为 (4k1k2 4k2 22k1k2 1， 2k1k2 4k1 12k1k2 1) 11 分 所以 kmN 2k1k2 4k2 12k1k2 1 2k1k2 4k112k1k2 14k1k2 4k1 22k1k2 1 4k1k2 4k2 22k1k2 1 4(k1 k2)4(k2 k1) 1 即直线 mN的斜率为定值 1 14 分 当 cA， cB， DA， DB中，有直 线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线 cA的斜率不存在，从而 c(2， 1) 仍然设 DA的斜率为 k2，由 知 kDB 12k2 此时 cA： x 2， DB： y 1 12k2(x 2)，它们交点 m(2， 1 2k2) Bc： y 1， AD： y 1 k2(x 2)，它们交点 N(2 2k2， 1)， 从而 kmN 1 也成立 21 / 33 由 可知，直线 mN的斜率为定值 1 16 分 方法二：由（ 1）知，椭圆 E 的方程为 x26 y23 1，从而A(2， 1)， B( 2， 1) 当 cA， cB， DA， DB斜率都存在时，设直线 cA， DA的斜率分别为 k1， k2 显然 k1k2 直线 Ac的方程 y 1 k1(x 2)，即 y k1x (1 2k1) 由 y k1x (1 2k1)， x26 y23 1 得 (1 2k12)x2 4k1(1 2k1)x 2(4k12 4k1 2) 0 设点 c 的坐标为 (x1， y1)，则 2x1 2(4k12 4k12)1 2k12，从而 x1 4k12 4k1 22k12 1 所以 c(4k12 4k1 22k12 1， 2k12 4k1 12k12 1) 又 B( 2， 1)， 所以 kBc 2k12 4k1 12k12 1 14k12 4k1 22k121 2 12k1 8 分 所以直线 Bc的方程为 y 1 12k1(x 2) 又直线 AD的方程为 y 1 k2(x 2) 由 y 1 12k1(x 2)， y 1 k2(x 2)，解得 x 4k1k2 4k1 22k1k2 1， y 2k1k2 4k2 12k1k2 1 从而点 N 的坐标为 (4k1k2 4k1 22k1k2 1， 2k1k2 4k2 12k1k2 1) 用 k2代 k1， k1 代 k2得点 m 的坐标为 (4k1k2 4k2 22k1k222 / 33 1， 2k1k2 4k1 12k1k2 1) 11 分 所以 kmN 2k1k2 4k2 12k1k2 1 2k1k2 4k112k1k2 14k1k2 4k1 22k1k2 1 4k1k2 4k2 22k1k2 1 4(k1 k2)4(k2 k1) 1 即直线 mN的斜率为定值 1 14 分 当 cA， cB， DA， DB中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在 ， 故不妨设直线 cA的斜率不存在，从而 c(2， 1) 仍然设 DA的斜率为 k2，则由 知 kDB 12k2 此时 cA： x 2， DB： y 1 12k2(x 2)，它们交点 m(2， 1 2k2) Bc： y 1， AD： y 1 k2(x 2)，它们交点 N(2 2k2， 1)， 从而 kmN 1 也成立 由 可知，直线 mN 的斜率为定值 1 16分 （南京三模）在平面直角坐标系 xoy中，设中心在坐标原点的椭圆 c 的左、右焦点分别为 F1、 F2，右准线 l： x m 1与 x 轴的交点为 B， BF2 m （ 1）已知点 (62， 1)在椭圆 c 上，求实数 m 的值； （ 2）已知定点 A( 2， 0) 23 / 33 若椭圆 c 上存在点 T，使得 TATF1 2，求椭圆 c 的离心率的取值范围； 当 m 1 时，记 m 为椭圆 c 上的动点，直线 Am， Bm分别与椭圆 c 交于另一点 P， Q， 若 Am AP ， Bm BQ ，求证： 为定值 解：（ 1）设椭圆 c 的方程为 x2a2 y2b2 1(a b 0) 由题意，得 a2c m 1， (m 1) c m，解得 a2 m 1， b2 m， c 1 所以椭圆方程为 x2m 1 y2m 1 因为椭圆 c 过点 (62， 1)，所以 32(m 1) 1m 1， 解得 m 2 或 m 12(舍去） 所以 m 2 4 分 （ 2） 设点 T(x， y) 由 TATF1 2，得 (x 2)2 y2 2(x 1)2 y2，即 x2 y2 2 6 分 由 x2 y2 2， x2m 1 y2m 1，得 y2 m2 m 因此 0m2 mm ，解得 1m2 所以椭圆 c 的离心率 e 1m 133 ，22 10 分 （方法一） 设 m(x0， y0)， P(x1， y1)， Q(x2， y2) 24 / 33 则 Am (x0 2， y0)， AP (x1 2， y1) 由 Am AP ，得 x0 2 (x1 2)， y0 y1 从而 x0 x1 2( 1) ， y0 y1 12 分 因为 x022 y02 1，所以 x1 2( 1)22 (y1)2 1 即 2(x122 y12) 2( 1)x12( 1)2 1 0 因为 x122 y12 1，代入得 2( 1)x132 4 1 0 由题意知， 1 ， 故 x1 3 12，所以 x0 32 同理可得 x0 32 14分 因此 32 32， 所以 6 16 分 （方法二）设 m(x0， y0)， P(x1， y1)， Q(x2， y2) 直线 Am的方程为 y y0x0 2(x 2) 将 y y0x0 2(x 2)代入 x22 y2 1，得 (12(x0 2)2y20)x2 4y20x 4y20 (x0 2)2 0(*) 25 / 33 因为 x022 y02 1，所以（ *）可化为 (2x0 3)x2 4y20x 3x20 4x0 0 因为 x0x1 3x20 4x02x0 3，所以 x1 3x0 42x03 同理 x2 3x0 42x0 3 14 分 因为 Am AP ， Bm BQ ， 所以 x0 2x1 2 x0 2x1 2 x0 2 3x0 42x0 3 2 x0 23x0 42x0 3 2 (x0 2)(2x0 3)x0 2 (x0 2)(2x0 3) x0 2 6 即 为定值 6 16 分 （盐城三模）如图 ,在平面直角坐 标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点 .当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为 . （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积； （ 3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由 . 解：（ 1）由，设，则， 所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，26 / 33 即，代入椭圆方程，解得，于是，即， 所 以 椭 圆 的 方 程为 5 分 （ 2）将代入，解得，因点在第一象限，从而， 由点的坐标为，所以，直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程，解得， 又过原点，于是，所以直线的方程为， 所以点到直线的距离， 10 分 （ 3）假设存在点，使得为定值，设， 当直线与轴重合时，有， 当直线与轴垂直时， 由，解得， 所 以 若 存 在 点 ， 此 时 ， 为 定 值2.12 分 根据对称性，只需考虑直线过点，设， 又设直线的方程为，与椭圆联立方程组， 化简得，所以， 又， 所以， 将上述 关系代入，化简可得 . 综 上 所 述 ， 存 在 点 ， 使 得 为 定 值27 / 33 216 分 第 56课综合应用（最值、范围） 1已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同则 此双曲线的渐近线方程为 （苏锡常镇二模）已知为椭圆上的动点，为圆的一条直径，则的最大值为 15 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？ 若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由 18解：（ 1）由题设，得解得从而， 所以椭圆的标准方程为 4 分 （ 2）令，则，或者， 当，时，；当，时， 所以，满足题意的定直线只能是 6 分 下面证明点恒在直线上 设，由于垂直于轴，所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线上 8 分 由得， 28 / 33 ， ， 10 分 ， 13 分 式代入上式，得，所以 15 分 点恒在直线上，从而直线、直线与直线三线 恒过同一点， 所 以 存 在 一 条 定 直 线 ： 使 得 点 恒 在 直 线上 16 分 （镇江期末）已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设，的中点分别为， （ 1）求椭圆的方程； （ 2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标； （ 3）若弦，的斜率均存在，求面积的最大值 解：（ 1）由题意，则， 3 分 椭圆的方程为 4 分 （ 2）