注意全等三角形的构造方法

1 / 4 注意全等三角形的构造方法 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 注意全等三角形的构造方法 搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考 1截长补短法 例 1如图（ 1）已知：正方形 ABcD 中， BAc 的平分线交Bc于 E， 求证： AB+BE=Ac 解法（一）（补短法或补全法）延长 AB至 F 使 AF=Ac， 由已知 AEFAE c， F=AcE=45º ， BF=BE ， AB+BE=AB+BF=AF=Ac 解法（二）（截长法或分割法）在 Ac上截取 AG=AB，由已知 ABEAGE ，EG=BE,AGE=ABE,AcE=45º,cG=EG, AB+BE=AG+cG=Ac 2平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt,有时可作出斜边的中线 例 2 ABc 中， BAc=60 ， c=40AP 平分 BAc 交 Bc2 / 4 于 P， BQ平分 ABc 交 Ac于 Q，求证： AB+BP=BQ+AQ 证明：如图（ 1），过 o 作 oDBc 交 AB于 D， ADo=ABc =180 60 40=80 ，又 AQo=c+QBc=80 ， ADo=AQo ，又 DAo=QAo ， oA=Ao， ADoAQo ， oD=oQ ， AD=AQ，又 oDBP ， PBo=DoB ，又 PBo=DBo ， DBo=DoB ， BD=oD ， AB+BP=AD+DB+BP =AQ+oQ+Bo=AQ+BQ 说明： 本题也可以在 AB截取 AD=AQ，连 oD， 构造全等三角形，即 “ 截长补短法 ” 本题利用 “ 平行法 ” 解法也较多，举例如下： 如图（ 2），过 o 作 oDBc 交 Ac于 D， 则 ADoABo 来解决 如图（ 3），过 o 作 DEBc 交 AB于 D， 交 Ac于 E，则 ADoAQo ， ABoAEo 来解决 如图（ 4），过 P 作 PDBQ 交 AB的延长线于 D， 则 APDAPc 来解决 如图（ 5），过 P 作 PDBQ 交 Ac于 D， 则 ABPADP 来解决 （本题作平行线的方法还很多，感兴趣 的同学自己研究） 3 / 4 3旋转法 对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。 例 3已知：如图（ 6）， P 为 ABc 内一点，且 PA=3， PB=4，Pc=5， 求 APB 的度数 分析：直接求 APB 的度数，不易求，由 PA=3， PB=4， Pc=5， 联想到构造直角三角形 略解：将 BAP 绕 A 点逆时针方向旋转 60 至 AcD ，连接PD， 则 BAPADc ， Dc=BP=4 ， AP=AD ， PAD=60 ， 又 Pc=5 ， PD+Dc=Pc 图（ 6） PDc 为Rt, PDc=90ºAPB=ADc=ADP+PDc=60+90º=150º 4倍长中线法 题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 例 4如图（ 7） AD 是 ABc 的中线， BE 交 Ac 于 E，交 AD于 F，且 AE=BE 求证： Ac=BF 证明：延长 AD 至 H 使 DH=AD，连 BH， BD=cD ， 4 / 4 BDH=ADc ， DH=DA， BDHcDA ， BH=cA ， H=DAc ，又 AE=EF ， DAc=AFE ， AFE=BFD ， AFE= 图（ 7） BFD=DAc=H ， BF=BH ， Ac=BF 5翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形 例 5如图（ 8）已知：在 ABc 中， A=45º,ADBc ，若 BD=3， Dc=2， 求： ABc 的面积 解：以 AB为轴将 ABD 翻转 180º，得到与它全等 的 ABE ，以 Ac为轴将 ADc 翻转 180º，得到 与它全等的 AFc ， EB、 Fc延长线交于 G，易证 四边形 A