新七年级数学下册第4章三角形4.3探索三角形全等的条件课件北师大版.pptx

第四章三角形,新初中数学（北师大版）七年级下册,知识点一判定三角形全等的条件边边边,例1如图4-3-1,AB=DC,AF=DE,BE=CF,B,E,F,C在同一直线上,试说明:ABFDCE.,图4-3-1,分析要说明ABFDCE,需要得出这两个三角形的三对对应边相等,题目提供的条件中“AB=DC,AF=DE”恰好是对应边相等,我们只需再得到BF=CE即可,这个可由“BE=CF”运用等式性质,两边同时加上EF获得.,解析BE=CF,BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在ABF和DCE中,ABFDCE(SSS).,知识点二判定三角形全等的条件角边角、角角边,例2(2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,A=D,ACDF.试说明:BE=CF.图4-3-2,分析由ACDF可得ACB=F,又A=D,AB=DE,可以利用AAS得到ABCDEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减去EC即可得BE=CF.,解析ACDF,ACB=F,在ABC和DEF中,ABCDEF(AAS),BC=EF,BC-CE=EF-CE,即BE=CF.,知识点三判定三角形全等的条件边角边,例3(2017四川南充中考)如图4-3-3,DEAB,CFAB,垂足分别是点E、F,DE=CF,AE=BF,试说明:ACBD.图4-3-3,分析欲得出ACBD,只要得出A=B,从而只要得出DEBCFA即可.,解析DEAB,CFAB,DEB=AFC=90,AE=BF,AF=BE.在DEB和CFA中,DEBCFA(SAS),B=A,ACDB.,知识点四全等三角形判定方法的灵活运用判定两个三角形全等时,如果给出的条件不全面,则需要根据已知的条件结合相应的判定方法进行分析,先找出所缺的条件再说明全等.具体思路如下:,例4如图4-3-4,在ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.添加一个条件,使得BDFCDE,并说明理由.你添加的条件是(不添加辅助线).,图4-3-4,分析由中点知BD=CD,又由对顶角相等知BDF=CDE,故可添加一个条件用“SAS”或“AAS”或“ASA”判定两三角形全等.,解析可添加的条件是DE=DF(或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB).理由:(以DE=DF为例)D是BC的中点,BD=CD.在BDF和CDE中,BDFCDE(SAS).,知识点五三角形的稳定性只要三角形三条边的长确定了,这个三角形的大小和形状就确定了,这就是三角形的稳定性.三角形的稳定性在实际生活中应用很广,无论什么构件,只要做成三角形形状,放于任何地方都不变形.,例5木匠师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图4-3-5,要使这个木架不变形,他至少要再钉上根木条.()图4-3-5A.0B.1C.2D.3,解析连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性.,答案B,题型一利用三角形全等说明两直线的位置关系例1如图4-3-6,ABC是等边三角形,D是AB上一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E,A在直线CD的同侧,连接AE.试说明:AEBC.图4-3-6,分析根据等边三角形的三边相等,三个角相等,推出AC=BC,CE=CD,B=BCA=ECD=60,进而得出ACE=BCD,从而根据“SAS”得出ACEBCD,可得EAC=B=60=BCA,进而得出AEBC.,解析因为ABC和DEC是等边三角形,所以AC=BC,CE=CD,B=BCA=ECD=60.所以ACE=BCD.在ACE和BCD中,所以ACEBCD(SAS),所以EAC=B=60=BCA.所以AEBC.,点拨要得出两直线平行,一般将问题转化为两角(同位角、内错角或同旁内角)的关系,可利用三角形全等来完成.,题型二利用三角形全等解决线段的和(差)问题例2如图4-3-7,在ABC中,AB=AC,BAC=90,分别过点B,C向过点A的直线作垂线,垂足分别为点E,F.图4-3-7(1)如图4-3-7,过点A的直线与斜边BC不相交时,试说明:EF=BE+CF;(2)如图4-3-7,过点A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变.若BE=10,CF=3,求EF的长.,分析(1)首先根据已知条件得出ABECAF,然后利用对应边相等就可以得出EF=BE+CF.(2)与(1)同理可知ABECAF仍成立,再根据对应边相等求出EF的长.,解析(1)因为BEEF,CFEF,所以BEA=AFC=90.因为BAC=BEA=90,所以EAB+FAC=90,EBA+EAB=90.所以EBA=FAC.在ABE和CAF中,所以ABECAF(AAS).所以AE=CF,BE=AF.所以EF=BE+CF.,(2)与(1)同理可得到ABECAF.所以AE=CF=3,AF=BE=10.所以EF=AF-AE=10-3=7.,点拨解决线段的和(差)问题,通常把各线段转化到同一条直线上,可用全等三角形进行转化.,易错点错用“SAS”例如图4-3-8,DAC=CBD,CAB=DBA,AD=BC,试说明:ABDBAC.图4-3-8,错解在ABD和BAC中,因为所以ABDBAC(SAS).,错因分析CAB和DBA并不是AD与AB和BC与AB的夹角.,正解因为DAC=CBD,CAB=DBA,所以DAC+CAB=CBD+DBA,即DAB=ABC.在ABD和BAC中,因为所以ABDBAC(SAS).,知识点一判定三角形全等的条件边边边1.如图4-3-1,在ABC和FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定ABC和FED全等,下面的4个条件中:AE=FB;AB=FE;AE=BE;BF=BE,可利用的是()图4-3-1,A.或B.或C.或D.或,答案A由题意可得,要用“SSS”进行ABC和FED全等的判定,只需AB=FE,若添加AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故可以;显然可以;若添加AE=BE或BF=BE,均不能得出AB=FE,故不可以,故选A.,2.如图4-3-2,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定ABCCDA,则添加的条件是.图4-3-2,答案AB=CD,3.如图4-3-3,AB=AE,AC=AD,BD=CE,试说明:ABCAED.图4-3-3,解析因为BD=CE,所以BD-CD=CE-CD,即BC=ED.在ABC和AED中,所以ABCAED.,知识点二判定三角形全等的条件角边角、角角边4.如图4-3-4,小红同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()A.带去B.带去C.带去D.带和去,图4-3-4,答案C中有完整的B,C和BC边,由“ASA”可配出完全一样的玻璃.,5.已知在ABC和A1B1C1中,AB=A1B1,A=A1,要使ABCA1B1C1,还需添加一个条件,这个条件可以是.,答案C=C1或B=B1,6.如图4-3-5,在ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CFBE.请你添加一个条件,使BDECDF.(不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母)图4-3-5(1)你添加的条件是;(2)试说明:BDECDF.,解析(1)BD=DC(或点D是线段BC的中点或ED=FD或CF=BE).(2)以BD=DC为例进行说明:因为CFBE,所以EBD=FCD.又因为BD=DC,EDB=FDC,所以BDECDF.,知识点三判定三角形全等的条件边角边7.如图4-3-6,ABCD,AB=CD,BE=DF,则图中的全等三角形有()图4-3-6A.3对B.4对C.5对D.6对,答案AABCD,ABD=CDB.由“SAS”可判定ABDCDB,ABECDF,进而可证得AEDCFB.,8.(2018广东中山期末)如图4-3-7,点E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,B=C.试说明:A=D.图4-3-7,解析BE=FC,BE+EF=FC+EF,即BF=EC,在ABF和DCE中,ABFDCE(SAS),A=D.,知识点四全等三角形判定方法的灵活运用9.已知ABC的六个元素,则图4-3-8中的甲、乙、丙三个三角形和图4-3-8中的ABC全等的是()图4-3-8A.甲、乙B.丙C.乙、丙D.乙,答案C由SAS可判定乙三角形与ABC全等,由AAS可判定丙三角形与ABC全等.,10.(2016江苏连云港灌云西片月考)如图4-3-9,已知:点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知条件得出ABED?如果能,请说明理由;如果不能,请从下列四个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使ABED成立,并说明理由.供选择的四个条件:AB=DE;A=D=90;ACB=DFE;A=D.,图4-3-9,解析不能;选择条件AB=DE(还可选择条件或,但不能选择条件).理由:FB=CE,FB+FC=CE+FC,即BC=EF,在ABC和DEF中,ABCDEF(SSS),B=E,ABED.,知识点五三角形的稳定性11.下面图形中具有稳定性的是(),答案A三角形具有稳定性.故选A.,12.如图4-3-10是一个由四根木条钉成的框架,拉动其中两根木条后,它的形状将会改变,若想固定其形状,下列有四种加固木条的方法,不能固定形状的是钉在两点上的木条.()图4-3-10A.A,FB.B,EC.C,AD.E,F,答案D,1.如图,已知AB=AC,BD=DC,那么下列结论中不正确的是()A.ABDACDB.ADB=90C.BAD是B的一半D.AD平分BAC,答案C由“SSS”可判定ABDACD,ADB=ADC=90,BAD=CAD.A、B、D选项均正确.,2.如图,在ABC和ADE中,AB=AD;AC=AE;BC=DE;C=E;B=ADE.下列四个选项分别以其中三个为条件,剩下两个为结论,则错误的是()A.若成立,则成立B.若成立,则成立C.若成立,则成立D.若成立,则成立,答案DSSA不能判定三角形全等.,3.教室的门松动了,老师用一根木条斜着钉上去,门就不松动了,这是什么道理?,解析因为教室的门是四边形,四边形具有不稳定性,易松动.斜钉一根木条就变成了三角形,而三角形具有稳定性,所以门就不再松动了.,4.如图,AB=CD,ABCD,CE=AF.试说明:E=F.,解析CE=AF,AE=CF.ABCD,DCA=CAB.在ABE与CDF中,ABECDF(SAS),E=F.,1.(2015湖北宜昌中考)两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图4-3-11,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:ACBD;AO=CO=AC;ABDCBD.其中正确的结论有()图4-3-11A.0个B.1个C.2个D.3个,答案D在ABD与CBD中,ABDCBD(SSS),ADB=CDB,在AOD与COD中,AODCOD(SAS),AOD=COD=90,AO=OC,ACDB,AO=CO=AC.综上,正确,故选D.,2.(2015四川宜宾中考)如图4-3-12,AC=DC,BC=EC,ACD=BCE.试说明:A=D.图4-3-12,解析ACD=BCE,ACD+ACE=BCE+ACE,即DCE=ACB.在ACB和DCE中,ACBDCE,A=D.,3.如图4-3-13,已知A,D,E三点共线,C,B,F三点共线,AB=CD,AD=CB,DE=BF,那么BE与DF之间有什么数量关系?请说明理由.图4-3-13,解析BE=DF.理由如下:如图,连接BD.在ABD和CDB中,所以ABDCDB(SSS).所以A=C.因为AD=CB,DE=BF,所以AD+DE=CB+BF,即AE=CF,在ABE和CDF中,所以ABECDF(SAS),所以BE=DF.,1.(2016河北唐山乐亭期中)如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BCCDDA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为时,ABP和DCE全等.()A.1B.1或3C.1或7D.3或7,答案CAB=CD,DCE=90,若ABP=DCE=90,BP=CE=2,则根据SAS可证得ABPDCE,此时BP=2t=2,所以t=1;若BAP=DCE=90,AP=CE=2,则根据SAS可证得BAPDCE,此时AP=16-2t=2,解得t=7.综上,当t的值为1或7时,ABP和DCE全等.故选C.,2.如图,已知点D是ABC的边AB上一点,ABFC,DF交AC于点E,DE=EF.试说明:ADECFE.,解析解法一:ABFC,F=ADE.在ADE和CFE中,有ADECFE(ASA).解法二:ABFC,A=ECF,在ADE和CFE中,有ADECFE(AAS).,3.如图,在ABC与ABD中,BC=BD,点E为BC的中点,点F为BD的中点,连接AE,AF,AE=AF.试说明:C=D.,解析点E、点F分别为BC、BD的中点,BE=BC,BF=BD,又BC=BD,BE=BF.在ABE和ABF中,ABEABF(SSS),ABE=ABF(全等三角形的对应角相等).在ABC和ABD中,ABCABD(SAS),C=D(全等三角形的对应角相等).,一、选择题1.(2018甘肃临泽二中月考,6,)如图4-3-14所示,在下列条件中,不能判断ABDBAC的条件是()图4-3-14A.D=C,BAD=ABCB.BAD=ABC,ABD=BACC.BD=AC,BAD=ABCD.AD=BC,BD=AC,答案C对于C,BAD与ABC不是BD和AB与AC和AB的夹角,所以不能判断ABDBAC.,二、填空题2.(2018广东佛山顺德江义初中期中,11,)如图4-3-15所示,建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部是三角形结构,这是因为三角形具有.图4-3-15,答案稳定性,3.(2018江苏无锡宜兴月考,14,)如图4-3-16,DAB=EAC=65,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于点O,AB和CD相交于P,AC和BE相交于F,则DOE的度数是.图4-3-16,答案115,解析DAB=EAC=65,DAB+BAC=BAC+EAC,DAC=EAB.在ADC和ABE中,ADCABE(SAS),E=ACD,又AFE=OFC,EAF=COF=65,DOE=180-COF=115.,三、解答题4.(2018广东河源正德中学段考,22,)如图4-3-17,已知AB=AC,B=C,试说明:BD=CE.图4-3-17,解析在ABD和ACE中,B=C,A=A,AB=AC,ABDACE(ASA),BD=CE(全等三角形的对应边相等).,5.(2017陕西西安七十中月考,21,)如图4-3-18,AB=AC,AD=AE,BE=CD,试说明:ABDACE.图4-3-18,解析BE=CD,BE+ED=CD+ED,即BD=CE.又AB=AC,AD=AE,ABDACE(SSS).,1.(2018四川成都成华月考,11,)如图,A、B、C、D四点在一条直线上,AB=CD,ECAD于C,FBAD于B,若要使ACEDBF,则还需补充条件.(写出一种即可),答案A=D(或E=F或CE=BF或AE=DF等),解析A、B、C、D四点在一条直线上,AB=CD,AC=BD.又ECAD于C,FBAD于B,ACE=DBF=90,当根据ASA判定ACEDBF时,需要添加A=D.当根据AAS判定ACEDBF时,需要添加E=F.当根据SAS判定ACEDBF时,需要添加CE=BF.当根据HL判定RtACERtDBF时,需要添加AE=DF.故答案是A=D(或E=F或CE=BF或AE=DF等).,2.(2018江苏扬州广陵月考,15,)如图,RtABC中,BAC=90,AB=AC,分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE,垂足分别为D、E,若BD=3,CE=2,则DE=.,答案5,解析BAC=90,BAD+CAE=90,BDDE,BDA=90,BAD+DBA=90,DBA=CAE.CEDE,E=90.在BDA和AEC中,BDAAEC(AAS),DA=CE=2,DB=AE=3,ED=5.,3.(2018江苏泰州高港月考,20,)长方形具有四个内角均为直角,并且两组对边分别平行且相等的特征.如图,把一张长方形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF.(1)如果DEF=110,求BAF的度数;(2)判断ABF和AGE是否全等,请说明理由.,解析(1)四边形ABCD是长方形,ADBC,AB=CD,CFE=180-DEF=70,由折叠知AFE=CFE=70,AFB=180-AFE-CFE=40,B=90,BAF=90-AFB=50.(2)ABFAGE.理由如下:由折叠知AG=CD,G=D=90,DEF=GEF.B=G.AB=CD,AB=AG.,AEF=180-DEF,AEG=GEF-AEF=2DEF-180,又AFB=180-2CFE=180-2(180-DEF)=2DEF-180,AFB=AEG.在ABF和AGE中,ABFAGE(AAS).,一、选择题1.(2018河北中考,1,)下列图形具有稳定性的是(),答案A三角形具有稳定性.故选A.,2.(2018江苏南京中考,5,)如图4-3-19,ABCD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()图4-3-19A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c,答案DABCD,CEAD,BFAD,AFB=CED=90,A+D=90,C+D=90,A=C,又AB=CD,ABFCDE,AF=CE=a,BF=DE=b.EF=c,AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故选D.,3.(2018贵州安顺中考,5,)如图4-3-20,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD()图4-3-20A.B=CB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD,答案D已知AB=AC,A为公共角,选项A,添加B=C,利用ASA即可说明ABEACD;选项B,添加AD=AE,利用SAS即可说明ABEACD;选项C,添加BD=CE,易得AD=AE,然后利用SAS即可说明ABEACD;选项D,添加BE=CD,因为SSA不能判定两三角形全等.故选D.,二、解答题4.(2018四川泸州中考,18,)如图4-3-21,EF=BC,DF=AC,DA=EB.试说明:F=C.图4-3-21,解析DA=BE,DE=AB,在ABC和DEF中,ABCDEF(SSS),C=F.,5.(2018陕西中考,18,)如图4-3-22,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,试说明:AG=DH.图4-3-22,解析ABCD,A=D.ECBF,BHA=CGD.在ABH和DCG中,ABHDCG(AAS),AH=DG,AH=AG+GH,DG=DH+GH,AG=DH.,1.(2018山东菏泽中考,17,)如图,ABCD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并说明理由.,解析DF=AE.理由:ABCD,C=B.CE=BF,CE-EF=BF-FE,CF=BE.又CD=AB,DCFABE(SAS),DF=AE.,2.(2018四川南充中考,18,)如图,已知AB=AD,AC=AE,BAE=DAC.试说明:C=E.,解析BAE=DAC,BAE-CAE=DAC-CAE,即BAC=DAE,在ABC和ADE中,ABCADE(SAS),C=E.,3.(2018浙江温州中考,18节选,)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,ADEC,AED=B.试说明:AEDEBC.,解析ADEC,A=BEC.E是AB的中点,AE=EB.AED=B,AEDEBC(ASA).,1.如图4-3-23,已知AB=AC,D为BAC的平分线上一点.连接BD,CD,全等三角形的对数是;如图4-3-23,已知AB=AC,D,E为BAC的平分线上的两点.连接BD,CD,BE,CE,全等三角形的对数是多少?如图4-3-23,已知AB=AC,D,E,F为BAC的平分线上的三点,连接BD,CD,BE,CE,BF,CF,全等三角形的对数是多少?依此规律,第n个图形中全等三角形的对数是多少?,图4-3-23,解析题图中,AD是BAC的平分线,BAD=CAD.在ABD与ACD中,ABDACD(SAS).题图中有1对全等三角形.同理,题图中,ABEACE,BE=EC,ABDACD,BD=CD.在BDE和CDE中,BDECDE(SSS),题图中有3对全等三角形.同理,题图中有6对全等三角形.由此发现:第n个图形中全等三角形的对数是.,2.(2018山西期中)问题情境:如图4-3-24,在直角三角形ABC中,BAC=90,ADBC于点D,可知:BAD=C;特例探究:如图4-3-24,MAN=90,射线AE在这个角的内部,点B、C分别在MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CFAE于点F,BDAE于点D.试说明:ABDCAF;归纳证明:如图4-3-24,点B、C分别在MAN的边AM、AN上,点E,F在MAN内部的射线AD上,1、2分别是ABE、CAF的外角.已知AB=AC,1=2=BAC.试说明:ABECAF;拓展应用:如图4-3-24,在ABC中,AB=AC,ABBC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,1=2=BAC.若ABC的面积为15,则ACF与BDE的面积之和为.,图4-3-24,解析特例探究:理由:CFAE,BDAE,BDA=AFC=90,ABD+BAD=90,又MAN=90,BAD+CAF=90,ABD=CAF.在ABD和CAF中,ABDCAF(AAS).归纳证明:,理由:1=2=BAC,1=BAE+