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,第五章定积分第一节定积分的概念一、问题的提出二、定积分的定义三、存在定理四、几何意义五、小结思考题,实例1（求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2（求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,例1利用定义计算定积分,解,例2利用定义计算定积分,解,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,思考题解答,原式,练习题,练习题答案,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,第二节定积分的性质、中值定理一、基本内容二、小结思考题,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,补充：不论的相对位置如何,上式总成立.,例若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,解,令,于是,性质5的推论：,证,（1）,证,说明：可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,解,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,解,由积分中值定理知有,使,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,二、小结,思考题,思考题解答,例,练习题,练习题答案,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,补充：不论的相对位置如何,上式总成立.,例若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,解,令,于是,性质5的推论：,证,（1）,证,说明：可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,解,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,解,由积分中值定理知有,使,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,二、小结,思考题,思考题解答,例,练习题,练习题答案,第三节微积分基本公式一、问题的提出二、积分上限函数及其导数三、牛顿莱布尼茨公式发四、小结思考题,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,补充,证,例1求,解,分析：这是型不定式，应用洛必达法则.,证,证,令,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定理3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例4求,原式,例5设,求.,解,解,例6求,解,由图形可知,例7求,解,解面积,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四、小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,思考题,思考题解答,练习题,练习题答案,第四节定积分的换元积分法一、换元公式二、小结思考题,定理,一、换元公式,证,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,例1计算,解,令,例2计算,解,例3计算,解,原式,例4计算,解,令,原式,证,奇函数,例6计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,证,（1）设,（2）设,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,二、小结,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,练习题,练习题答案,第五节定积分的分部积分公式一、分部积分公式二、小结思考题,推导,一、分部积分公式,例1计算,解,令,则,例2计算,解,例3计算,解,例4设求,解,例5证明定积分公式,证,设,积分关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,定积分的分部积分公式,二、小结,（注意与不定积分分部积分法的区别）,思考题,思考题解答,练习题,练习题答案,第七节广义积分一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分三、小结思考题,一、无穷限的广义积分,例1计算广义积分,解,例2计算广义积分,解,证,证,二、无界函数的广义积分,定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.