微分几何学习辅导总结

1 / 19 微分几何学习辅导总结 1.求 I弧长和交角 .I?du2?sinh2udv2,求 u=v的弧长 .解： u=v?I?du2?sinh2udu2=du2=cosh2udu2,设曲线 u=v上两点 A,B? u1 u1u2 u2u1 ?sinhu2?sinhu1;ds2?du2?dv2,求 u+v=0与 u-v=0 的交角 . 解：由题意得 E=1,F=0,G=；由 u+v=0 与 u-v=0 得交点处 E=1,F=0,G=a2；由 u+v=0与 u-v=0得du/dv=-1=x,?u/?v?1?y?cos?Exy?Fxy?G/?1?a2/1?a2?arccos?1?a2/1?a2. 2.求曲率和挠率 .题 =?acosht,asinh t,at?解 :求 r1，r2， r3?r1，r1?r2r1?r2?=a3?k?r1?r2/r1?1/2acosh2t， ?=/2?k;cosh2?sinh2?1,cosh1?sinh,sinh1?cosh题 2 .r=a,3at2,a,.解： .?r1?2),r1?r2?2,r3?6a，0,6a?,=216a3?k?1/3a2,?=k;题 3.求圆柱螺线 r=? acos?,asin?,b?的 k,?;?,?,?.解： .?r1?r1?r2? absin?,?abcos?,a2?,r1?r2?k?a/, 3 2 / 19 ?=b/;切向量 ?=r/r? -asin?,acos?,b?2 2 1 1 1 ,?=/r1?r2? ? bsin?,?bcos?,a?1 , 主法 ?=r2-r1/r1?r1?r2?cos?,-sin?,0?. 3.题 1.求 r?cos?,?sin?,?,?0,的高斯曲率和平均曲率 .解：求 ru,r?E=ru? ru=?2+?2,F=ru?r?=0,G=r?r?2? 求 ruu,ru?,r?n?ru?r?/L=n? ruu=-?M=n?ru?0,N=n?r? /取 xOz平面上最初的曲线为 x=?得 z?u? L=-?M?0,N=?因为 F=M?0，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为 k1?L/E?/3/2,k2?N/G?1/?高斯曲率 k?k1k2?-?/?2;平均曲率为H=1/2=1+?2?/2?3/2. 题 2.求正螺面 3 / 19 r=ucosv,usinv,bv的 kN,K,H.解 :由题意得E=1,F=0,G=u2+b2;L=0,代入主曲率公式L?kNE,M?kNF;M?kNF,N?kNGT?0 解得 K1?b/u2+b2,K2? ?b/u2+b2;K?K1K2?b2/2,H? 1/2?0.题 3.确定抛物面 z=a在的主曲率 .解 :由题意得 p=2ax,q=2ay,r?2a,s?0,t?2a 在处p0=0,q0=0,r0?2a,s0?0,t0?2a； ?E=1+p2=1,F=pq=0,G=1+q2?1,L=r/?2a， M=s/， N=t/2a 代入主曲率公式得2a-kN,0;0,2a-kNT?0解得 K1?K2?2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率” 4.证明 k?0 的曲线是直线 ;?0的 曲线是平面曲线 .证：已知 k?r?0,因而 r=0，由此得到 r=a,再积分 r=as?b,其中 b 也是常向量，即得证 ;若 ?0,则 ?是固定向量 ,但是我们已知 ?=0，因而有 r?=0,积分后得 r?=a，所以曲线在一个平面上。 ? ? ? ? 5.题 1.证若曲面上有两族测地线的夹角为定角，则曲面是可展曲面 .证 :在每族测地线任取两条，围成曲面上的曲边四边形 .根据已知条件，曲边四边形的外角和为 2?.由高斯4 / 19 -波涅公式得 ?Kd?2?2?,?Kd?0.若在 曲面的某点 P0处， K?0,不妨设 G G K0,则在 P0邻近 K0,从而对于围绕 P0点的充分小的曲边四边形有 ?Kd?0得出矛盾， G K?0,即曲面为可展曲面 .若曲面 s的高斯曲率处处小于零，闭测地线 .证 :若存在所述闭测地线 C,它所围成的曲面部分为 G,由高斯 -波涅公式得 ?Kd? G ?k? ?G g ds?2?. i?1 k 因为 K?0,则 ?Kd?0,又后两项均为 0，得出矛盾，所以不存在所述闭测地线 . G 6.证明曲线 x?1?3t?3t2,y?2?2t?5t2,z?1?t2为平面曲线，并求出所在平面方程 .证：因为 r,r1， r2， r3=0?=0?5 / 19 平面曲线；令 t=0?r=?1， 2， 1?r1=?3， -20?,因为平面曲线平面方程即密切平面 ?R-r,r1， r2?=0，所以方程为2x+3y+19z-27=0k?0?直线 7.证明如果曲线 ?:r=r为一般螺线 ,?,?为 ?的切线向量和主法向量， R 为 ?的曲率半径 ,证明 ?:r?R?-?ds也是一般螺线 .证：将 r*=R?-?ds两边对 s求微商， ? ? ?=R?,所以 ?*=?;因为 ?是一般螺线，所以存在向量P:?P=c=常数 ? * * ?*?P=?P=?c=常数 .即得证 ?也是一般螺线 .?k/t?常数 ?一般螺线 ? 8.求切平面 :圆柱面 r=?Rcos?,Rsin?,z?.解 :求r?,rz?0即 Xcos?Ysin?R=0;证明曲面 r=?u,v,a3/?体积为常数 .证 :求 ru,rv?0 即a3/X?a3/Y?Z?3a3/=0?V=?3u?3v?=a?c 9.三线三面：法平面 ?r01?0；密切 ?R-r0， r01， r02?=0;从切 ?R-r0， r01?r02,r01?=0； 3 3 10.证明对于正螺面 r?ucosv,usinv,bv?，6 / 19 -?u?,-?v?, 处处有 EN?2FM?GL?0.证：由于r?ucosv,usinv,bv?;ru?cosv,sinv,0?; rv?usinv,ucosv,b?;ruu?0,0,0?;ruv?sinv,cosv,0?;rvv?ucosv,?usinv,0?; 22 所以 E?1,F?0,G?u?1/sinv,?bcosv,?0,M?b,N?0.故EN?2FM?GL?0. 11.求出抛物面 z?1/2在点 ,方向的法曲率。 解：因为 r?x,y,1/2?,所以 p?ax,q?a,s?0,t?b.在点有 p0=0，q0?0,r0?a,s0?0,t0?b,E?1,F?0,G?1,L?a,M?0,N?dx2?dy2,II?adx2?bdy2,故在点沿方向的法曲率为： k 1212 ?切线 R-r0=?r1;主法线 R-r0=?;副法线 ?R-r0?=?. dx2dx )?b/2?1dydy 高等数学学习辅导 第三章 导数与微分 导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点： 7 / 19 理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。 f在点 x?x0 处可导是指极限 ?x?0limf?f ?x 存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限 x?x0limf?f x?x0 函数 的斜率。 曲线 f在点 x?x0处的导数 f?的几何意义是曲线 y?f上点 )处切线 y?f在点 )处的切线方程为 y?f?f y?f在 x0 点可导，则在 x0 点连续。反之则不然，函数 y?f在 x0点连续，在 x0点函数 不一定可导。 了解微分的概念；知道一阶微分 形式不变性。 熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 导数的四则运算法则 复合函数求导法则 隐函数求导方法 对数求导方法 8 / 19 参数表示的函数的求导法 正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数 y?2 x，求 y?。 在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即 y?2 x 1?x2?2x?1x13?x?2x?x3212?12 再用导数的加法法则计算其导数，于是有 ?31?y?x2?x2?x2 22 这样计算不但简单而且不易出错。 又例如函数 y?x?1 x?2，求 y?。 显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得 1 lny? 两端求导得 11ln?ln 23 y?11 ?y23 9 / 19 整理后便可得 y? 若函数由参数方程 x?8 2x?26? ?x? ?y?x?1 的形式给出，则有导数公式 dy?dx? 能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。 熟练掌握微分运算法则 微分四则运算法则与导数四则运算法则类似 d?du?dv d?vdu?udv uvdu?udvd?vv2 一阶微分形式的不变性 ?dy?y?xdx?yu?uxdx?yudu 微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。 了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。 函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。要求函数的 n 阶10 / 19 导数就要先求函数的 n?1 阶导数。 1高等数学公式 平方关系： sin +cos =1 tan +1=sec cot +1=csc 积的关系： sin =tan *cos cos =cot *sin tan =sin *sec cot =cos *csc 2 sec =tan *csc csc =sec *cot 倒数关系： tan cot =1 sin csc =1 cos sec =1 直角三角形 ABC 中 , 角 A 的正弦值就等于角 A的对边比斜边 , 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边 , 11 / 19 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos=cos cos -sin sin cos=cos cos +sin sin sin=sin cos cos sin tan=/ tan=/ 三角和 n +Bcos =qishi os， tant=A/B 倍角公式： sin=2sin cos =2/ cos=cos -sin =2cos -1=1-2sin 3 tan=2tan /1-tan 三倍角公式： sin=3sin -4sin cos=4cos -3cos 半角公式： sin= /2) cos= /2) tan= /)=sin /=/sin 降幂公式 12 / 19 sin =)/2=versin/2 cos =)/2=covers/2 tan =)/) 万能公式： sin =2tan/1+tan cos =1-tan /1+tan tan =2tan/1-tan 积化和差公式： sin cos =sin+sin cos sin =sin-sin cos cos =cos+cos sin sin =-cos-cos 和差化积公式： sin +sin =2sin/2cos/2 sin -sin =2cos/2sin/2 cos +cos =2cos/2cos/2 cos -cos =-2sin/2sin/2 推导公式 tan +cot =2/sin2 tan -cot =-2cot2 1+cos2 =2cos 1-cos2 =2sin 13 / 19 4 1+sin = 其他： sin +sin+sin+sin+ +sin +2 */n=0 cos +cos+cos+cos+ +cos +2 */n=0 以及 sin +sin +sin =3/2 tanAtanBtan+tanA+tanB-tan=0 三角函数的角度换算 编辑本段 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin sin cos cos tan tan cot cot 公式二： 设为任意角， +的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin sin cos cos tan tan 14 / 19 cot cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin sin cos cos tan tan cot cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 -与的三角函数值之间的关系： sin sin cos cos tan tan cot cot 公式五： 5 读 书 报 告 微分几何 学院：数学与统计学院 15 / 19 姓名：蒋旭辉 学号： 0501090132 专业：数学与应用数学 微分几何之我想 刚开始接触微分几何学时，对它一点儿也不了解，总觉得它离我的学习和生活特别遥远。当我认认真真学习了它之后才发现：原来它一点儿也不难学，从某种意义上来讲，它还特别有趣。接下来我想先谈一谈微分几何的历史。 微分几何是一门历史悠久的学科，它的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。 1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这 一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。也可以这样说，微积分诞生时就同时诞生了微分几何，而且它对数学其他各分支学科的影响也越来越大。与此同时，这门学科本身不管从内容上还是从方法上也在不断更新。 十九世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于 1807 年出版了他的分析在几何学上的应用一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。 1827 年，高斯发表 了关于曲面的一般研究的著16 / 19 作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了 150 年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 1872 年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了埃尔朗根纲领，用变换群对已有的几何学进行了分类。 在埃尔朗根纲领发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于 1878年阿尔方的学位论文，后来 1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展， 1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。 编辑本段基本内容 微分几何学以光滑曲线作为研究 对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，17 / 19 则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨 论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。 在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可