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矩阵论电子教程,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,矩阵的分解,第四章,定理2:设，那么可唯一地分解为其中：，为正线上三角阵,定理1：是次酉阵当且仅当的列（行）为标准正交向量组。,定义1:设,若则称为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次酉阵的集合记为：,证明：先证明分解的存在性。将矩阵按列分块得到由于，所以是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正交向量组,由前面学的定理有：,记:,则于是:,下面证明分解是唯一的,假设:,那么有:,注意到仍是酉矩阵，而是一个正线上三角矩阵，因此有:,于是:,从而,推论1:设，那么可唯一地分解为其中：，为正线下三角阵,例1求下列矩阵的正交三角分解,解答:容易判断出即是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，,将的三个列向量正交化与单位化先得到一个正交向量组:,再将其单位化，得到一组标准正交向量组,这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成,将上面的式子矩阵化，即为,解答:首先判断出,由定理可知必存在以及三阶正线上三角矩阵使得,练习:求下列矩阵的正交三角分解,重复例题的步骤,即得结果,Good,Bye,
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