点到直线的距离

1 / 7 点到直线的距离 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 点到直线的距离 （一）教学目标 1知识与技能 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式 . 2过程和方法 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 . 3情感和价值 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题 . （二）教学重点、难点 教学重点：点到直线的距离公式 . 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用 . （三）教学方法 学导式 教学环节教学内容师生互动设计意图 复习引入前面 几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法 .这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点 P到直线 l的距离 .用 PoWERPoINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，2 / 7 且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学 .要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？设置情境导入新课 概念形成 1点到直线距离公式 点 P(x0， y0)到直线 l： Ax+By+c=0 的距离为 推导过程 方案一： 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ，垂足为 Q，由 PQl 可知，直线 PQ的斜率为 (A0) ，根据点斜式写出直线 PQ 的方程，并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标：由此根据两点距离公式求出 |PQ|，得到点 P 到直线 l 的距离为 d. 此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法 .（ 1）教师提出问题 已知 P(x0， y0)，直线 l： Ax+By+c=0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢？ 学生自由讨论 （ 2）数形结合，分析问题，提出解决方 案 . 把点到直线 l 的距离转化为点 P 到 l 的垂线段的长，即点到点的距离 . 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题 .寻找最佳方案，3 / 7 附方案二 . 方案二：设 A0 ， B0 ，这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交，过点P 作 x 轴的平行线，交 l 于点 R(x1， y0)；作 y 轴的平行线，交 l 于点 S(x0， y2)， 由 得 所以 由三角形面积公式可知 d|RS|=|PR|PS|. 所以 可证明，当 A=0时仍适用 . 这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高 .通过 这种转化，培养学生 “ 化归 ” 的思想方法 . 应用举例例 1 求点 P=( 1， 2)到直线 3x=2的距离 . 解： 例 2 已知点 A(1， 3)， B(3， 1)， c( 1， 0)，求三角形 ABc的面积 .学生分析求解，老师板书 例 2 解：设 AB边上的高为 h，则 4 / 7 AB边上的高 h 就是点 c 到 AB的距离 . AB边所在直线方程为 即 x+y 4=0. 点 c 到 x+y 4=0的距离为 h ， 因此， 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性 . 概念深化 2两平行线间的距离 d 已知 l1： Ax+By+c1=0 l2： Ax+By+c2=0 证明：设 P0(x0， y0)是直线 Ax+By+c2=0上任一点，则点 P0到直线 Ax+By+c1=0 的距离为 . 又 Ax0+By0+c2=0 即 Ax0+By0= c2， 教师提问： 能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？ 学生交流后回答 . 再写出推理过程进一步培养学生化归转化的思想 . 应用举例例 3 求两平行线 5 / 7 l1： 2x+3y 8=0 l2： 2x+3y 10=0 的距离 . 解法一：在直线 l1上取一点 P(4,0)，因为 l1l2 ，所以 P到 l2的距离等于 l1与 l2的距离，于是 解法二：直接由公式 课堂练习：已知一直线被两平行线 3x+4y 7=0与 3x+4y+8=0所截线段长为 3，且该直线过点 (2， 3)，求该直线方程 .在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书 .开拓学生思维，培养学生解题能力 . 归纳总结小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 .老师和学生共同总结 交流 完善培养学生归纳、概括能力，构建知 识网络 . 课后作业布置作业 见习案的第三课时独立完成巩固深化 备选例题 例 1 求过点 m( 2， 1)且与 A( 1， 2)， B(3， 0)两点距离相等的直线的方程 . 解法一：当直线斜率不存在时，直线为 x= 2，它到 A、 B两点距离不相等 . 6 / 7 所以可设直线方程为： y 1=k(x+2)即 kx y+2k+1=0. 由， 解得 k=0或 . 故所求的直线方程为 y 1=0或 x+2y=0. 解法二：由平面几何知识： lAB 或 l 过 AB的中点 . 若 lAB 且，则 l 的方程为 x+2y=0. 若 l 过 AB的中点 N(1， 1)则 直线的方程为 y=1. 所以所求直线方程为 y 1=0或 x+2y=0. 例 2（ 1）求直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0， 1)对称的直线方程 . （ 2）两平行直线 3x+4y 1=0与 6x+8y+3=0 关于直线 l 对称，求 l 的方程 . 【解析】（ 1）当所求直线与直线 2x+11y+16=0 平行时，可设直线方程为 2x+11y+c=0 由 P 点到两直线的距离相等，即 ，所以 c= 38. 所求直线的方程为 2x+11y 38=0. （ 2）依题可知直线 l 的方程为： 6x+8y+c=0. 则它到直线 6x+8y 2=0的距离， 到直线 6x+8y+3=0 的距离为 所以 d1=d2即，所以 . 即 l 的方程为： . 7 / 7 例 3 等腰直角三角形 ABc 的直角顶点 c 和顶点 B 都在直线2x+3y 6=0上，顶点 A 的坐标是 (1， 2).求边 AB、 Ac所在直线方程 . 【解析】已知 Bc的斜率为，因为 BcAc 所以直线 Ac的斜率为，从而方程 即 3x 2y 7=0 又点 A(1， 2)到直线 Bc： 2x+3y 6=0的距离为， 且