可微性

第十七章多元函数微分学,17.1可微性17.2复合函数微分法17.3方向导数与梯度17.4泰勒公式与极值问题,机动目录上页下页返回结束,17.1可微性,一.可微性与全微分,复习,如果函数的增量可以表示为,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,说明：,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,二.偏导数,1.偏导数的定义、记法,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如在处,机动目录上页下页返回结束,2、偏导数的几何意义,如图,机动目录上页下页返回结束,3.求偏导数,求多元函数的偏导数并不是新问题，实际上是一元函数求导数，即,机动目录上页下页返回结束,解,法1,法2,机动目录上页下页返回结束,证,原结论成立,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,解：,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,机动目录上页下页返回结束,三.可微条件,由一元函数微分学中增量与微分的关系知,问题,机动目录上页下页返回结束,1.必要条件,机动目录上页下页返回结束,说明：,(3).推广到三元函数.,机动目录上页下页返回结束,(4).定理1给出了计算可微函数全微分的方法.,(5).可微与偏导数存在的关系,机动目录上页下页返回结束,(6).综合上述讨论，得讨论可微性的一个方法,三、讨论,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,证,2.充分条件,此时,称函数f连续可微,机动目录上页下页返回结束,（依偏导数的连续性）,机动目录上页下页返回结束,同理,利用偏导存在即可,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,说明：,(1).此定理用于判定函数可微性，进而,计算微分，会更方便。,(2).偏导数连续,可微。,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,解,所求全微分,机动目录上页下页返回结束,解,机动目录上页下页返回结束,解,所求全微分,机动目录上页下页返回结束,四.中值定理,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,五.连续、偏导数存在及可微之间的关系,定理1,定理2,定义1说明,机动目录上页下页返回结束,六.可微性的几何意义与应用,1.可微性的几何意义,机动目录上页下页返回结束,定义3(切平面的定义.),机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,证法：由可微、切平面的定义与距离公式可证。,(证略),机动目录上页下页返回结束,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在P处的切平面方程为,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,2.切平面的求法,机动目录上页下页返回结束,解,切平面方程为,法线方程为,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,也可写成,3.作近似计算