[资料]谱分析

6. 谱分析6.0 内容简介 时间序列分析可分为两类, 一是时域分析, 二是频域分析. 前者侧重分析序列的相关结构, 后者侧重分析序列的频率特性, 所以常用谱分析一词. 一般的谱分析只与序列的自协方差函数有关, 不反映非线性结构特征(正态序列例外). 近年来, 由于对非线性时间序列分析倍加关注, 时域分析得到迅速发展. 相对而言, 频域分析的新进展次之, 虽然, 为了反映非线性结构, 也出现了高阶谱概念, 但是仅限于少量文章. 在谱分析中, 谱估计和隐(潜)周期分析应用最广泛. 为了介绍它们, 需要介绍自协方差函数的谱表示和周期图概念. 在理论研究中, 还要引入平稳序列的谱表示概念. 在本章中,对此概念只作直观解释, 其它概念将诸一介绍.6.1 总体谱(自协方差函数的谱表示) 在第3章中已经看到, 一个平稳序列的自协方差函数, 是它的重要表征, 对于正态平稳序列情况, 它又是全部概率结构的表征(在此章限定均值为零). 人们要问, 有无其它方法表达平稳序列的自协方差函数g0,g1,g2,. 有, 这就是所谓的谱表示.令Yt为一个平稳序列, g-1,g0,g1,为其自协方差函数. 暂记 Sy(w)=(1/2p)j=-gje-ijw. (6.1.2)定理6.1: (De Moivre)如果 j=-|gj|, (3.3.19)则有gk=-ppSy(w)eikwdw. (6.1.15)gk=-ppSy(w)cos(kw)dw. (6.1.16)证明: 显然.* Sy(w)被称为Yt的总体谱 (或gk 的谱密度函数).* (6.1.15)式就称为自协方差函数的谱表示.利用gk=g-k(对称性), 不仅有(6.1.16)式, 还有Sy(w)=(1/2p)j=-gje-ijw =(1/2p)g0+j=1gje-ijw+j=-1gje-ijw =(1/2p)g0+j=1gje-ijw+j=1gjeijw =(1/2p)g0+j=1gj(e-ijw+eijw) (e-ijw+eijw)=2cos(jw) =(1/2p)g0+2j=1gj cos(jw). (6.1.6)* 当(3.3.19)式不成立时, 还有类似的谱表示吗? 有!命题6.0 (依据赫尔格洛兹定理)存在单调增(左连续)的函数F(w), 使得gk=-ppeikwdF(w). (6.1.15)几点说明: 这里的F(w)很像随机变量的分布函数, 只是未要求F(p)-F(-p)=1. 另一点, (6.1.15)是(6.1.15)的特殊情况, 因为可取dF(w)=Sy(w)dw. 最后一点, 虽然(6.1.15)式中出现了积分符号dF(w), 与(6.1.15)式中的积分符号不同, 但是, 在求随机变量的各阶矩时, 已被使用过, 不属新概念.*几种常见的平稳序列的谱:1. 白噪声et. 利用它的gk=0(k0)和(6.1.2)式, 立刻可知:Se(w)=g0/2p=s2/2p. (6.1.9)2. 线性序列Yt, 即 Yt=j=0yjet-j, j=0|yj | (6.1.7)为推算方便, 记yj=0, 对j0.首先讨论一种简单情况: 即 l=2pk/T, k是1,2,T*中的某一个. T*为如下定义的正整数: 当T为偶数, T*=(T/2)-1;当T为奇数, T*=(T-1)/2 . 当原假设成立时a=b=0, 则有4pIY(l)=(2/T)t=1Tyte-itl2 =(2/T)t=1Tete-itl2 (依a=b=0) =(2/T)t=1Tete-2itkp/T2 (依l=2pk/T) =(2/T)t=1Tetcos(2ptk/T)2 +t=1Tetsin(2ptk/T)2 =t=1Tet(2/T)1/2cos(2ptk/T)2 +t=1Tet(2/T)1/2sin(2ptk/T)2 =x2k + z2k , (6.5.3)其中 (注:此式与(6.2.15)式相应,只差一因子(1/T) xk=t=1Tet(2/T)1/2cos(2ptk/T)=t=1Tutet,zk=t=1Tet(2/T)1/2sin(2ptk/T)=t=1Tvtet.显然 xk 和 zk 都是零均值的正态变量, 而且不难验证: t=1Tut 2=t=1T(2/T)1/2cos(2ptk/T)2=1, t=1Tvt 2=t=1T(2/T)1/2sin(2ptk/T)2=1,t=1Tutvt=t=1T(2/T)1/2cos(2ptk/T)(2/T)1/2sin(2ptk/T)=0.这表明: xk N(0, s2), zkN(0, s2), Exkzk=0, 从而 xk和zk相互独立, 于是有 (x2k + z2k)/s2 c22. (2自由度c2分布)对于给定的显著性水平a(比如=0.05), 由c2分布表查出临界值ca, 即P(x2k + z2k)/s2 ca)=a. (6.5.4)当用T个数据实际算出的(x2k + z2k)/s2之值大于临界值ca时,就拒绝原假设H0. 大家已注意到, 在上面的诸式中出现的s2是et的方差, 是未知参数. 所以, 在实际应用时, 要通过对(6.5.2)式用回归方法求得s2的估计值, 将此估计值代替(6.5.4)中的s2. 大家还会问: (6.5.4)式是在原假设H0成立时可用的公式; 当H0不成立时呢? 换句话说, 当H1成立, 即, a和b至少有一个不为零时又如何呢? 请对比以下结果:* 当H0真时, (x2k + z2k)/s2 c22 , 当T时;而且, (x2k + z2k)/s2 log(T), 当T时;* 当H1真时, (x2k + z2k)/s2 T1/2, 当T时.现在讨论一般情况, 即, 不存在k使得 l2pk/T. 此时更要依靠对(6.5.2)的回归分析了. 首先将(6.5.2)写成如下回归模型:Yt=c1(1/T)1/2+a(T/2)1/2(2/T)1/2sin(lt)+b(T/2)1/2(2/T)1/2cos(lt)+et, t=1,2,T,Yt=c1(1/T)1/2+c2(2/T)1/2sin(lt)+c3(2/T)1/2cos(lt)+et, t=1,2,T,Yt=c1X1t+c2X1t+c3X3t+et, t=1,2,T, (6.5.5)其中回归系数真值是:c=(c1,c2,c3)t=(0, a(T/2)1/2, b(T/2)1/2)t,回归自变元有三个, 它们是: X1t=(1/T)1/2, t=1,2,T,X2t=(2/T)1/2sin(lt), t=1,2,T,X3t=(2/T)1/2sin(lt), t=1,2,T.用熟知的回归分析步骤, 求出回归残差平方和: ST= t=1T Yt-c1*X1t-c2*X1t-c3*X3t2,其中c1*,c2*,c3*分别为 c1, c2, c3 的最小二乘估计, 由于e1, e2, , eT是独立同分布的, 且etN(0, s2).依回归分析理论知,ST/s2= t=1T Yt-c1*X1t-c2*X1t-c3*X3t2/s2 c