成人教育高升专数学公式.pdf

第一讲 一、第一章 1、集合的运算 交集 并集 补集 R 实数集（包括如下 Q、N、Z） Cu Q 有理数集（包括如下 N、Z、分数；另外无理数集为3、5和等） 公共 所有 剩下 Z 整数集（1、2、3、4、） 且 或 非 N 自然数集（0、1、2、3、4） 元素和集合 关系 aA 读作“a 属于 A” a A 读作“a 不属于 A” 1、子集 A B 读作“A 包含于 B” 或 B A 读作“B 包含 A” 2、集合相等 A B 且B A A=B 读作“A 等于 B” 3、真子集 AB 或 BA 集合 A 为集合 B 的真子集 常见数集的关系 NZ，ZQ，QR 4、交集 AB 读作“A 交 B” 集合 A 与集合 B 的交集 即：AB 交集的性质 =x|xA 且 xB AA=A； A=； AB=BA 5、并集 AB 读作“A 并 B” 集合 A 与集合 B 的并集 即：AB 交集的性质 =x|xA 且 xB AA=A； A=A； AB=BA 6、全集与补集 （1） 、U 全集 （2） 、CUA 补集，全集 U，且集合 AU，则由 U 中所有不属 于 A 的元素组成的集合叫 做 U 中子集 A 的补集， 即：CA 当 U 明确时，简记 作 CA （读作 “A 补 ”） x|xU 且 xA 如 U=R=实数，Q=有理数， ， 则 Q 的补集为 CQ=无理数 无 理数集 二、第一章 2、简单逻辑 如果p 例：x5 是x3 的 充分 那么q x3 是x5 的 条件 必要 p q “小范围”即：x5， “大范围”即：x3 条件 p 是 q 的充分条件 “小范围”是“大范围”的充分条件，如果大于 5，肯定大于 3 q 是 p 的必要条件 “大范围”是“小范围”的必要条件，如果要大于 5，必须先大于 3 p q “小范围”“大范围” p 是 q 的充（分且必）要条件 三、第二章 不等式 1、性质特值法、全面考虑 2、解不等式 例:ab0 则1 a 0b 则 1 a 1 b；a5+x 即：x-3 4 x|x- 3 4 b、一元二次不等式组 x35+ 解：x5 x 3 4 即：x|-5axa 或 x-a；|x|a-ax0 时或0 2、=0，完全平方型 3、0 时有两个相异的实根，即：x1 和 x2= b 2a ；3、0 时解两根为：x小和 x大，x小x大，解集为 x x小和 x x大 0 时解两根为：x小和 x大，解集为 x小0 且 a0) 称 N 为以 a 为底 b 的对数 2x=3，即：x = log23 N = logab 其中 N 为对数 a 为底数 b 为真数 关键会指、对数间的互化 (2)性质（三条） 真数0（副数没有对数） 、logaa = 1、loga1 = 0 (3)运算性质（降级作用） logaMN = logaM + logaN loga M N = logaM logaN logabN= Nlogab( 考点) log3 1 27 = log31 log327 = 3 log28 = log223= 3log22 = 3 第二讲（函数第一课） 第四章 函数 平面直角坐标系 函数：非空数集：A，B 取xA yB；x Uy 对应法则；y=()解析式 性质： (1)、定义域：X 的取值范围 Y=X+20 0 X 100 (2)、值域：Y 的取值范围 20 Y100 (3)、单调性：递增或递减 (4)、奇偶性：关于圆点对称是奇，关于关于圆点对称是奇，关于 Y Y 轴对称是偶轴对称是偶 (5)、周期性 定义域的求法： (1)、分母、分母 0； (2)、偶次根下式、偶次根下式0 (3)、对数真数、对数真数0 第三讲（函数第二课） 第四章 五种常见的函数 (1)一次函数 y=kx+b 恒过(0,b) x 定义域 R; y 值域 R k 斜率 当 b=0 时是奇函数 当 k=0 时是偶函数 当 y=0 时既奇既偶 （一般是非奇非偶） b0 时 k0 k0 (0,b) (0,b) b0 k0 时递减 k0 递减 k0 顶点 y max= 4acb 2 4a 最大 max 对称轴 a0 且 a1) 例：当 x0 时 0y1 则：a 的范围0a1 例：y=2x当 x0 则：y 的范围0y1 01 时 y0 则：a 的范围 01 比较大小 log0.3aU 小于 log0.3b log3aU 大于 log0.3b x1,y0 (1,0) a1 0x1,y0 01,y0 00 (x)单调递增 (x)0x1 (x) 2、模： 长度：|A -B-|、|a-零向量： | 0 - 单位向量：| =0，方向任意， a -|=1 3、相等向量、反向量 大小相同，方向相同、大小相同，方向相反 向量的夹角 *4、共线向量 方向相同（=0o）或相反（=180o）两个向量 a/b 5、 向量运算 加法、减法、数乘 三角形法则 a+b=c a-b=a+(-b) 例：|a -|=3，|b-|=4，角,b-=120o a -b- 得=34(- 1 2)=-6 =34cos120 o ,由cos120 o= - 1 2 *6、向量数量积运算 内积运算 a - b-=|a-|b- 性质：性质： |cos 0 a - a-=|a-|2 a- b- a - b-=0 *7、向量的坐标运算 向量坐标运算 A(x1,y1) 、B(x2,y2) 向量向量A -B-的坐标 的坐标=( x2- x1, y2- y1) a - b- =( x1- x2, y1 y2) a -=( x, y) a - b-= x 1 x2+y1 y2 a -/b-时 时= = a - b-时 时a - b- 两点距离公式两点距离公式 = x1 x2+y1 y2=0 模模d=|A -B- 中点坐标中点坐标 |=( )+ ( ) x= + 、y= + 例：ABC，A(1,2) B(3,4) C(5,6)则：A -C- A-B- 解： =? A -C-=(5-1,6-2)=(4,4) A -B-=(3-1,4-2)=(2,2) A -C-A-B- 例：(1) =42+42=16 a -=(1,y)、 b- 若 =(3,6) a -/b-时：y= 2 若 解： 1 3= y 6，得y= 2 a -b- (2)ABC，A(1,2) B(3,4) C(x,4) 则：y= - 1 2 解：13+6y=0 若：A -C- A-B- 解： ，侧：x=? A -C-=(x-1,4-2)=(x-1,2) B -C-=(x-3,4-4)=(x-3,0) A -C- B-C- 解方程得：x=1 或 3 = (x-1)(x-3) +20=0 第十二章 直线 1、 倾斜角 （0o180o） 2、斜率k=y2y1 x2x1 (x1x2) k= tan 90o 3、方程 (1)点斜式(求直线方程) y-y0=k(x-x0) 经过点 P（x0,y0） ，斜率为 k 的直线方程 (2)斜截式（研究直线性质） y=kx+b 斜率为 k，在 y 轴上截距为 b 的直线方程 (3)两点式 yy1 y2y1 = xx1 x2x1 (y y 2 2y y1 1,x,x2 2x x1 1) ) 斜率为 k，在 y 轴上截距为 b 的直线方程 (4)一般方程 Ax+By+C=0 (A2+B20)、y= - x - 直线方程的一般形式 (5)截距式 x a + y b = 1 (a(a0,b0,b0 0) ) 在 x 轴上截距为 a，在 y 轴上截距为 b 的直 线方程 两直线的位置关系 平行、相交、重合 平行：平行：l l1 1/l l2 2 k k1 1=k=k2 2 ( (且截距且截距 b b1 1b b2 2) ) 重合：重合： k k1 1=k=k2 2 ( (且截距且截距 b b1 1= =b b2 2) ) 垂直：垂直：l l1 1l l2 2 k k1 1 k k2 2 = =1 1 平行A1 A2 = B1 B2 C1 C2，重合 A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 A1A2+B1B2=0 点到直线的距离 点点 P(xP(x0 0,y,y0 0) )到直接到直接 Ax+By+C=0Ax+By+C=0 的距离的距离 D D 为为 d=|+| + 第九讲 第十三章 圆锥曲线 第一节、 圆 定义：平面内与定点距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是半径 标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 、x2+y2=r2一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆点：圆点：(a,b)=( , )， ，r= + 切线方程过点 P(x0，y0 )、x0 x+y0y= r2 关键参数: a、b、r 或 D、E、F 第二节、椭圆 第三节、双曲线 第四节、抛物线 定义 平面内与两个定点 F1,F2的距离的和 等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹 叫做椭圆 F1，F2是焦点，|F1F2|是焦距 平面内与两个定点 F1,F2的距离的差 的绝对值是常数（小于| F1F2|）的点 的轨迹叫做双曲线 F1，F2是焦点，|F1F2|是焦距 平面内与一个定点 F 和一条直线 l 的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线 F 是定点，定直线 l 叫做抛物线的准线 图形 B2 M(x,y) c c A1 F1 O F2 A2 B1 M(x,y) F1 O F2 l M K O F 一般方程 (x + c)2 y2+(x + c)2 y2 =2a (x + c)2 y2 -(x + c)2 y2 =2a 标准方程 渐近线 |F1F2|=2c |MF1|+|MF2|=2a + =1,ab0,焦点在 焦点在 x 轴上轴上 + =1,ab0,焦点在 焦点在 y 轴上轴上 b2 =a2-c2 c= |F1F2|=2c |MF1|-|MF2|=2a =1,ab0,焦点在 焦点在 x 轴上轴上 =1,ab0,焦点在 焦点在 y 轴上轴上 b2 = c2 -a2 c=+ 在 X 轴： y=b ax 在 y 轴： y=a bx X 轴与直线l 交于点 K 设|KF|=P (P0) 焦点坐标为（P 2，0） y2=2px 离心率 e= = = 0e1 e=1 准线 焦点在 x 轴上：x=a 2 c 焦点在 y 轴上：y=a 2 c 焦点在 x 轴上：x=a 2 c 焦点在 y 轴上：y=a 2 c 切线方程 当 a=b 时 x2-y2= a2 和 y2-x2= a2 渐近线： y=x,焦点坐标：c=2a y2=2px 时，x= - P 2，焦点：F（ P 2，0） y2=-2px 时，x= P 2，焦点：F（- P 2，0） x2=2px 时，y= - P 2，焦点：F（0， P 2） x2=-2px 时，y= P 2，焦点：F（0，- P 2） 顶点 A1(-a,0)，A2 (a,0) B1(0,-b)，B2 (0,b) 长轴的长为 2a， 短轴的长为 2b A1(-a,0)，A2 (a,0) B1(0,-b)，B2 (0,b) 实轴的长为 2a，虚轴的长为 2b 令 y=0，得 x=0, 抛物线的顶点是坐标原点 关键参数 a和和b及指明焦点在哪个坐及指明焦点在哪个坐 标轴上标轴上 a 和和 b 及指明焦点在哪个坐及指明焦点在哪个坐 标轴上标轴上 确定其参数和开口方向确定其参数和开口方向 第十讲 第十四章 排列与组合 一、两个原理 (1)、加法原理（分类计算原理） (2)、乘法原理（分步计算原理） abc 选两人站排 ab bc ac ca bc cb 共计六种。 二、排列与排列数 排列：具体排法 列数：个数 Pn m 或Anm （有次序，如：火车票，青岛至济南，济南至青岛） 公式： Pn m=n(n-1)(n-m+1) Pn m=n! 09 排列 3 位数 10 10 10 101010=1000 个排列数 P6 4=6543=360 P8 4=8763=336 三、组合和组合数 Cn m Cn m = Pn m Pn n 即：Pn m = Cn m Pn n (没有次序，如：多人互相握手，不需要重复进行) 20 个人打电话拜年，需要打多少个电话？ 即：C20 2 = P20 2 P2 2 = 2019 21 =190 个 正六边形，由任意三个顶点连线，构成的三角 形个数是多少个？ C6 3 = P6 3 P3 3= 543 321=20 个 例题 例 1、 09 能够组成多少个被 5 整除无重复数 字的三位数 解：分两类，分别为末位为 0 和 5 1-8 1-9 1-8 0-9(8) 不含 5 0 5 8 9= 72 8 8= 64 74+64=136 个 即：P9 2 + P9 2-8=136 个 例 2、5 人站排 求排法的个数 (1)站一排P5 5=54321=120 个 (2)站二排前 2 后 3，解：P5 5=120 个 (3)甲不在中间,解P4 1P 4 4=44321=96 个 (4)甲乙相邻（可以甲乙也可以乙甲） 解：2P4 4=24321=48 个 (5)甲乙不相邻（相当于插空）# * # *# * # 解：P3 3 P4 2=32143=72 个 第十五章 概率初步 1、