数学毕业论文格式

1 / 24 数学毕业论文格式 3拟写 2 篇论文题目 要求： 选题的当，内容明确； 查阅文献，认真思考。 4用 Word 软件输入并打印出一篇 3500 字左右的小论文。 要求： 选题与毕业论文题目内容相同，搜集资料，独立完成。 数学中函数、变量等要用斜体；作者的英文名、数字、括号用正体； 标点符号要用“，” 和“” 。 论文格式要规范 论文由标题、署名、摘要、关键词、引言、正文、结论、参考文 献等几部分组成。 附件 论文的标题、署名、摘要、关键词部分格式 1）标题； 2）署名，写明班级、学号、姓名； 3）摘要，摘要内容，摘要与摘要内容之间空 1 个汉字字符，不用标点符号； 4）关键词，关键词与关键词之间空 1 个汉字字符，2 / 24 不用标点符号； 论文的正文层次格式 1 xxxx xxxx xxxx xxxxxxx 图表要求：图、表内容使用 5 号宋体。 图：图序一律 采用阿拉伯数字分章编写，例如，第 2章第 3 个图的图序为“图”，图题应简明，图序与图题间空 1个汉字字符，居中排于图的下方。 表：表序一律采用阿拉伯数字分章编写，例如，第 2章第 3 个表的表序为 “表”，表序与表题间空 1 个汉字字符，居中排于表的上方。 参考文献的著录格式如下： 期刊 序号 主要责任者 . 文献题名 J. 期刊名称，出版年，卷号：起止页码 . 1曹海东 . 唐宋诗词释词二则 J. 语言研究，XX，： 110 111. 2范祚军，马进 . 金融交易协调可靠性与金融体系脆弱性缓解 J. 中国人民大学学报， XX，： 55 60. 专著、论文集、学位论文、报告 3 / 24 序号 主要责任者 . 文献题名 文献类型标识 . 出版地：出版者，出版年 . 3刘国钧，陈绍业 . 图书馆目录 M. 北京：高等教育出版社， 1957. 4辛希孟 . 信息技术与信息服务国际研讨会论文集： A 集 C. 北京 :中国社会科学出版社， 1994. 5张筑生 . 微分半动力系统的不变集 D. 北京：北 京大学数学系数学研究所， 1983. 大学数学专业本科毕业生，论文格式 本科毕业论文格式要求： 1、论文格式严格套用所提供模板格式； 2、封面论文提交时间格式严格按照“二 OO 五年五月”； 3、正文： 模板中红色字迹表示所在空行格式 总题目黑体三号加粗，副标题四号宋体 姓名小四号楷体 作者有关信息内容小四号宋体 摘要小四号黑体加粗，中间空一字；摘要具体内容小四号楷体，倍行距 关键词 小四号黑体加粗，具体内容小四号楷体 英文题目及摘要等用 Times New Roman 字体，其他4 / 24 同中文 正文中数字序号全部用阿拉伯数字，如： ?等 论文一级标题：四号黑体加粗；二级以下标题类全部小四号黑体加粗；文中有定理等类似的全部用小四号黑体加粗，定理等内容具体部分全部小四号宋体，除此以外正文其他内容全部用小四号宋体，行距倍 文中出现的所有数学字母、符号全部在 word 自带的公式编辑器里编写，避免软件不兼容造成的错误；非数学字母的英文字母用 Times New Roman 字体 参考文献用项目编号编写，格式参考模板 致谢另起一页，置于论文最后；“致谢”两字四号黑体加粗，居中间隔二字；内容小四号楷体；行距倍 页码下方居中；页边距上下各，左，右 其他未尽事宜请与办公室联系解决。 数学与信息科学学院 2016-3-2 分类号 O15 陕西师范大学学士学位论文 m?n 矩阵的广义迹 作 者 单 位 数学与信息科学学院 指 导 老 师 作 者 姓 名 王 秀 英 专 业、班 级 数学与应用数学专业 02 级 1 班 5 / 24 提 交 时 间 二 OO 六年五月 m?n 矩阵的广义迹 王秀英 指导教师曹怀信教授 摘 要 : 本文首先讨论了 n?n 矩阵迹的若干重要性质，包括 :可加性、齐次性、转置不变性、交换不变性等 ,并且证明了矩阵迹的唯一性然后 ,利用分块矩阵的思想及辗转相除法 ,引入了一般 m?n 矩阵的广义迹的 概念 , 它是方阵迹的一个自然推广 ,研究了这种广义迹的一系列重要性质最后 ,给出了具体实例说明了一般矩阵广义迹的概念与计算方法 ,并对各条性质给予了验证 关键词 : 矩阵 ; 广义迹 ; 分块矩阵 ; 带余除法 Generalized traces of m?n matrices WANG Xiu-ying Advisor: Professor CAO Huai-xin 6 / 24 Abstract: In this paper, a series of important properties of the usual trace of n?nmatrices are given, including: additivity, homogeneousness,transpose-invariance, commutative invariance, and the uniqueness of the usual trace is also proved. Next, by using block-decomposition of an m?n matrix and the division algorithm, the concept of generalized trace of a matrix is introduced Some important properties of this generalized trace are given. Finally, some examples are given in order to illustrate the concept, computation and properties of the generalized trace. Key words: matrix; generalized trace; block-matrix; division algorithm 矩阵迹的概念是一个古老而基础的概念，它是 n 阶矩阵的一个重要的数量特征在普通高校的高等代数教科书中 ,只是给出了一个 n 行 n 列的矩阵算子迹 ?i?1aii,其中A?Mn?n,aii 为方阵 A 对角线上的元素 )的定义及其某些重要的性质，参见文献 1-3,文献 10,11,13文献 4得到了关于实矩阵迹不等式的几个充要条件，并把所得结果推广到了复矩阵情形文献 7 / 24 5-7中 ,研究了 Hilbert 空间上的算子迹，给出了算子迹的一系列重要性质特别地 ,文献 5给出 了迹类算子的若干不等式 ,并证明了 Hilbert 空间中的 Bellman 不等式tr?trk 对 k?2n 及任二正的迹类算子 A 与 B 成立同时还证明了当 k?2n时 ,对任一迹类算子 A,不等式 tr?trk也成立文献 6将 Jan R. nMagnus 关于矩阵迹的一个命题推广到Hilbert 空间上算子迹的相应命题 ,由此得到一个证明算子迹的 H?lder 不等式的方法 ,同时得到关于算子迹的 H?lder不等式的几个等价命题并最后给出了算子迹的 Minkowski 不等式的一个证明文献 8,9中，定义了在 C*-代数 Mn 上的矩阵迹是一 个满足以下条件的正线性映射 ?:Mn?A： ?A?Mn,?u?U)?, ?)2, 给出了矩阵算子迹的一些基本性质并证明了 :如果 A 是可交换的 C*-代数，则映射 ?是 Mn 上的矩阵迹当且仅当 A 中存在一个元素 ?使得 ?tr), 其中 tr?i?1aii本文的目的是将矩阵算子迹的概念推广到一般地 m?n 矩阵上，给出一般矩阵广义算子迹的概念 ,并证明矩阵广义迹的一系列重要性质 n 1预备知识 矩阵的迹及其性质 在本文中 ，假定 Mm?n 为数域 F 上全体 m?n 矩阵之集 ,8 / 24 则关于矩阵的运算 , Mm?n 为数域 F 上向量空间， N 表示所有自然数之集， A?)表示矩阵 A 的转置矩阵 定义 ?1?设 A?Mn?n,则称 A的所有主对角线元素之和为 A 的迹 ,记为 trA，即 trA?aii i?1n 矩阵迹有下列基本性质 : 定理 设 A,B?Mn?n, 则 trA?aii?i,其中 ?i 为 A 的特征值 ; i?1i?1nn tr?trA?trB; tr?ktrA， k?N; trA?trA; tr?tr; 若 A 和 B 为两个相似的方阵 ,则 trA?trB,即相似矩阵有相同的迹 证明 设 ?a11?a21A?a?n1a12a22?an2?a1n?a2n?, ?ann? 则按照 2中的定理知 : A 的特征方程是 ?I?A?0. 在 ?1?0?a11?a1n?a11?a1n?I?A? ?0?1?a?an1?ann?n1?ann? 9 / 24 的展开式中 ,有一项是主对角线上元素的连乘积 ?a11?a22?ann?展开式中其余各项 ,至多包含n?2 个主对角线上的元素 ,它对 ?的次数最多是 n?2因此 ,特征多项式中含 ?的 n 次与 n?1 次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现 ,它们是 ?E?n?a11?a22?ann?n?1在特征多项式中令 ?0,即得常数项 :?nA 因此 ,如果只写出特征多项式得前两项与常数项 ,就有 ?E?A?n?a11?a22?ann?n?1?1?nA 由根与系数的关系可知 ,A 的全体特征值的和 ?i?aii?tr i?1i?1nn 设 三次样条插值函数的性质及其应用 数学与应用数学孔艳艳指导教师刘树冬 摘要：插值理论是数值微积分、函数逼近、微分方程数值解等数值分析的基础，而分段多项式插值由于具有良好的稳定性更便于应用，特别是三次样条函数的理论与应用。三次样条插值函数的求解方法主要有三转角方程或三弯矩方程等基本方法。在研究长江三峡水位与库 容的关系基础上，鉴于用最优控制理论计算长江三峡经济效益极大值要求状态变量要二阶可导，故根据三次样条函数具有一阶、二阶导数收敛性质而提出用三次样条插值方法去计算水位与库10 / 24 容的关系。 关键词：三次样条插值 原理 收敛性 长江三峡 水位与库容 The quality and application of the cubic spline interpolation function Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics Kongyanyan TutorLiushudong Abstract: Interpolation theory is the basis of numerical analysis on numerical calculus, approximation of function, differential equations and so on, while piecewise polynomial interpolation can facilitate the applications better due to the good stability, especially the theory and application of cubic spline function. The main methods of cubic spline function are basic methods as three corner equation and three moment equation etc. Based on the study of the relationship between the water level and the storage capacity of Three Gorges, in view of using the optimal control theory to calculate the maximum economic benefit of Three Gorges on the Yangtze River and requesting the state variables to second-order derivative, according to the first-order and 11 / 24 second-order derivative convergence property of the cubic spline function, this thesis proposes using cubic spline interpolation method to calculate the relationship between water level and storage capacity. Keywords: cubic spline interpolation; principle; convergence property; Three Gorges; water level and storage capacity 引言 许多实际问题都要用函数 y?f 来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的。虽然 f 在某个区间 a,b上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出 a,b上一系列点 xi 的函数值 yi?f，这只是一张函数表。有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如三角函数表，对数表，平方根和立方根表等。为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此，我们希望根据给定的函数表构造一个既能反映函数 f 的特性，又便于计算的简单函数 P，用 P 近似 f。通常选一类较简单的 函数如代数多项式或分段代数多项式作为 P，并使 P?f对于 i?0,1,?,n 成立，这样确定的 P 就是我们希望得到的插值函数。例如在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点。加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线其他点12 / 24 的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。 定义 1:设函数 y?f 在区间 a,b上有定义，且已知在点 a?x0?x1?xn?b 上的值 y0,y1,?yn，若存在一简单函数 P，使 P?yi 成立，就称 P 为 f 的插值函数。 点 x0,x1,?,xn 称为插值节点，包含插值节点的区间a,b称为插值区间，求插值 P 的方法称为插值法。若 P 是次数不超过 n 的代数多项式，即 P?a0?a1x?anxn，其中 ai为实数，就称 P 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若 P 为分段多项式，就称之为分段插值；若 P 为三角多项式，就称之为三角插值。 1 三次样条函数 对于像高速飞机的机翼，船体的放样等的型值线，往往要求有二阶光滑度，即有二 阶连续导数。早期的工程师制图时，把富有弹 性的细长木条用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面讨论最常用的三次样条函数。 定义 2: 设函数 f 是区间 a,b上的二次连续可微分13 / 24 函数，且在区间 a,b上给定一个划分， a?x0?x1?xn?b，如果 S 满足条件：在每个小区间 xi?1,xi上 S 是不超过三次多项式； S?f；在开区间上 S 有连续的二阶导数。则称 S 为区间 a,b对应于划分的 三次样条函数。 设三次样条函数 S 在每个子区间 xi?1,xi上有表达式 S?Si?aix?bix?cix?di,x?i?1,2,?,n. 3 2 其中 ai,bi,ci,di 为待定常数，插值条件为： S?f ； 内节点处连续及光滑性条件： S?S,S?S,S?Si?1,2,?,n?1; 对于待定系数 ai,bi,ci,di 即 4n 个未知 系数，而插值条件为 4n?2 个，还缺两个，因此须给出两个条件称为边界条件，有以下三类： 已知两端点的一阶导数 S?f?m0,S?f?mn 14 / 24 如此的边界条件称为固定边界条件。 已知两端点二阶导数： S?f?M0,S?f?M n 其特殊情况是： S?S?0 称为自然边界条件。适合自然边界的样条称为自然样条。 为周期边界条件： 15 / 24 S?S,S?S,S?S 此时确定的样条函数 S 称为周期样条函数。 2 三次样条插值函数的求解 三转角方程 现在构造满足条件及加上相应条件的三次样条函数S 的表达式。若假定 S 在节点 xj 处的值为 S?mj, 再由式则由分段三次 Hermite 插 值得 n S? ?y? j j?0 j 16 / 24 ?mj?j 其中 mj 是未知的，它可利用式 S?S 及边界条件来确定。为了求出 mj，下面考虑 S 在 xj,xj?1上的表达式 S? hj?2 hj 2 3 2 yj? 2 hj?2 hj mj?1 3 2 yj?1 ? 17 / 24 hj 2 mj? hj 2 这里 hj?xj?1?xj 对 S 求二阶导数得 S? 6x?2xj?4xj?1 hj 3 2 mj? 6x?4xj?2xj?1 hj 2 mj?1 ? 6 18 / 24 hj 于是 S? 4hj mj? 2hj mj?1? 6hj 2 同理可得 S在区间 xj?1,xj上的表达式 S? 6x?2xj?1?4xj hj?1 3 2 mj?1? 6x?4xj?1?2xj hj?1 19 / 24 2 mj ? 6 hj?1 及 S? 2hj?1 mj?1? 4hj?1 mj? 6hj?