从一道投行面试题到Arc Sine Law.doc

人们常说，上帝是公平的，其实这也是我一直以来做人的信仰。然而当我与友人谈论这个问题的时候，却几乎没有人这么想。事实上，我们不难在身边找到一些朋友，他们似乎一路走来鸿运当头顺风顺水；当然也会有一些人，他们的人生似乎总是跌跌撞撞运气欠佳。 如果你把这个问题交给数学家，他会怎么想呢？他会首先问你，“你怎么定义公平呢？”。下面我来做一个最简单的模型。假设今天你碰到了一件事情，结果比你想象中的要好，我们说遇到了一件“好事”；反之，如果碰到了一件结果比预期要坏的事情，就说遇到了一件“坏事”。根据我们的常识，如果每个人一生中，“好事”和“坏事”的数量一样多，那么上帝就是公平的。可是你也许会问，我每天遇到那么多事情，“好事”和“坏事”的数量真的会一样多吗？ 我现在用随机过程的简单随机游走（simple random walk）的观点来描述这件事情。假定现在有一个随机过程S，它在零时刻的值是0。并且在某一个大于零的时刻n，它会以二分之一的概率等于前一时刻的值加1，且以二分之一的概率等于前一时刻的值减1。就相当于一个人，他很想知道自己是不是一个幸运儿，于是某一天突发奇想给自己设定了一个计数器，如果他碰到了一件好事，他就加上1；如果他碰到了一件坏事，他就减去1。易知如果这个计数器回到了零点，那么他碰到的好事和坏事就一样多，也就是“运气守恒”。 这使我想起几个月前，我在某投行电面的时候，遇到的一道面试题：一个起始点是0的简单随机游走，它在某个固定时刻n（n0）之前回到零点的概率是多少？ 这个问题其实不是特别困难，我们需要对终点时刻的过程点Sn进行讨论。因为奇数时刻n，Sn不可能等于0，所以我们不妨假定n是一个偶数。另外不妨假定S1=1，Sn=X。如果X是一个非正数，由过程每一步只能移动1，我们知道该过程肯定经过了零点。如果X是一个正数，那就不一定了。这时候我们可以用对称原理（reflection principle）解出来，即如果该过程经过了零点，每一条样本轨道（sample path）都可以等概率地把零点之前的线段翻转成从S1=-1出发，到Sn=X的轨道。可以验证他们是一一对应的，于是我们能简单地把所有从S1=1到Sn=X并经过零点的路径数算出来，将之除以所有的路径数，我们就能得到经过零点的概率。 最后我们算出所有Sn=X的概率，并用全概率公式算一下再化简，就能得到原问题的答案。巧的是，假定n是偶数，起始点是0的简单随机游走不回到0的概率，居然跟它在n时刻等于0的概率是一样的！该结果可以在Durrett的Probability: Theory and Examples第四版第四章里找到，这里就不在赘述了。 我们用一下著名的Stirling公式近似一下那个结果就可以发现，简单随机游走不回到0的概率，是跟根号n分之一同阶的。也就是说，如果一个年轻人，人生一开始不怎么走运，那么他在某一个时刻n，还是有正比于根号n分之一的概率，从来没有恢复到“运气守恒”状态的。这个数收敛到0的速度不算特别快，所以我们还是经常能看到有些年轻朋友，好像一路走来整体来说都不算特别顺利。 当然如果你觉得我们强大的概率学家们只能做出这些结果，那真是太小看他们的数学才华了。事实上，我们不仅能算出一个人会回到“运气守恒”状态的概率，我们还能算出一个人在时间点n之前，处于“运气好”（也就是S0）的时间，占所有时间的比值的分布。而这个“运气好时间比值”，居然是跟最后一次回到零的时间点除以n的比值是同分布的；最强大的是，当n很大的时候，他们收敛到Arc Sine分布！这就是传说中牛叉闪闪的Arc Sine Law了。 下面我们来看一下这个Arc Sine分布长什么样。 我们可以看到，它是对称的，而且在0和1附近达到峰值。也是说，即使上帝真的是公平的，人每次遇到好事和坏事的几率都是一样的二分之一，人生最有可能的情况，居然是大部分的时间都处于“总体运气偏好”或“总体运气偏差”的状态。或者用一个交易员作比喻，即使他的策略完全不赚不赔，他也很有可能发现自己在交易的时候，要么大部分时间是赚钱的，要么大部分时间是赔钱的。所以当我们看到有些人好像一辈子走好运的时候，也会释然了，这只不过是Arc Sine Law在作怪。 好在概率论