2019年六年级奥数系列讲座：立体图形（含答案解析）.doc

2019年六年级奥数系列讲座：立体图形（含答案解析） 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于33=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米 2如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?【分析与解】 原来正方体的表面积为5 56=150 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(32)2=12，12150=0.08=8即表面积减少了百分之八 3如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【分析与解】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积 现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1l=1(平方米)，所以表面积增加了921=18(平方米)原来正方体的表面积为61=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)4图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?【分析与解】原正方体的表面积是446=96(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形 从而，它的表面积是96+46=120平方厘米 5图11-5是一个边长为2厘米的正方体在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】 因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面 所以，最后得到的立体图形的表面积是：226+1l4+4+4=29.25(平方厘米)6有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米【分析与解】 放在中水池里的碎石的体积为330.06：0.54立方米； 放在小水池里的碎石的体积为220.04=0.16立方米； 则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为66=36平方米的大水池中，则使大水池的水面升高0.736=米=厘米=厘米 7如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米?【分析与解】 容器的底面积是(13-4)(9-4)=45(平方厘米)，高为2 厘米，所以容器得体积为：452=90(立方厘米) 8今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体问剩下的体积是多少立方厘米?【分析与解】 本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21：15：12=7：5：4，为了叙述方便，我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体. 易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体的棱长为12厘米、9厘米、6厘米 所以剩下的体积应为：211512-()=1107(立方厘米) 9如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【分析与解】 圆锥的体积是，圆柱的体积是所以，圆锥体积与圆柱体积的比是. 10张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【分析与解】底面周长是3，半径是，所以今年粮囤底面积是，高是2 同理，去年粮囤底面积是，高是1因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍 11一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中求这时容器的水深是多少厘米?【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：（厘米）；它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形 底面积为，水的体积保持不变为 所以有水深为(厘米)，小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出于是厘米即为所求的水深 12如图ll-8，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体问这个物体的表面积是多少平方米?(取314)【分析与解】 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即 即这个物体的表面积是32.97平方米 13某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?【分析与解】 长方体中，高+宽=+(365-5)=180，高+长=(405-5)=200，长+宽=(485-5)=240，-得 长-宽=20，+得 长=130，则宽=110，代入得高=70，所以长方体得体积为：7011030=1001000(立方厘米)=1.001(立方米)14有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的，乙的棱长是丙的棱长的如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要这3种木块一共多少块?【分析与解】设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3显然，大正方体棱长不可能是4，否则无法放下乙和丙各一个 于是，大正方体的棱长至少是5事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少)；甲种木块需用：555-1333-7222=42(块)因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50(块)15有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个? 【分析与解】一面染红的长方体，显然应将45的长方体染红，这时产生20个一面染成红色的小正方体，个数最多 二面染红的长方体，显然应将两个45的长方体染红，这时产生40个一面染成红色的小正方体，个数最多 三面染红的长方体，显然应将45，45，43的面染红，于是产生4(5+5+3-4)=36个一面染成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个 四面染红的长方体，显然应将45，45，43，43的面染红，产生4(5+5+3+3-24)=32个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32个 五面染红的长方体，应只留一个35的面不染，这时就产生(3-2)(5-2)+(4-1)(5+5+3+3-24)=27个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于27 六面染红的长方体，产生2(3-2)(5-2)+(5-2)(4-2)+(4-2)(3-2)=22个一面染成红色的小正方体 于是最多得到：22+27+32+36+40+20=177个一面染成红色的小正方体附送：第五讲2019年六年级奥数讲义应用题真题模考1. (年一零一培训学校六年级计算机素质培训班结业检测题一试第题)某同学在家看一本足球杂志，第一天看了全书的，第二天看了页，第三天看的页数是前两天看的总数的。这是还剩下全书的没有看，全书共有多少页？【分析】 前三天看了全书的，把前两天看的看作一个整体，为份，那么第三天看的为份，所以前两天看的占全书的。全书共有：（页）2. (学年度一零一计算机综合素质培训学校第一学期期末测试第题)有三堆数量相同的棋子，第一堆的黑子与第二堆的白子一样多，第三堆的黑子占全部的黑子，所有的白子占总数的几分之几？【分析】 可以采用假设法。根据题意，可假设三堆棋子数目具体为：第一堆一枚黑子一枚白子，第二堆一枚黑子一枚白子，第三堆一枚黑子一枚白子。很明显可以看出，白子占总数的二分之一。3. (年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷第题)六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和歌唱小组，有的同学还同时参加了两个小组。若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的，是参加歌唱小组的，这个班只参加体育小组与只参加歌唱小组的人数之比是多少？【分析】 抓不变性，利用参加两个小组的人数是不变的来解题。首先，所以设两个小组都参加的人数为份，那么参加体育小组的为份，参加歌唱小组的为份。只参加体育小组的占份，只参加歌唱小组的占份，它们之比为4. (年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷卷第题)一年定期的存款，年息为，到期取款时，需扣除利息的作为利息税上缴国家。假如某人存入一年的定期储蓄元，到期扣税后共可取出多少元？【分析】 （元）5. (年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷卷第题)某商品原售价元，“五一”节商家搞促销，先将原售价暗地提高，然后再公开“八折”出售。请回答该商品售价与原售价相比，是降低了还是提高了，降低或提高了百分之几？(折即)【分析】 现售价为： 提高了6. (年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷卷第题)王川研究生毕业后在一家公司工作，月工资为元。按规定其中元是免税的，超出部分要交纳个人所得税。计算方法：不超过元的部分按缴税，超过元不超过元的部分按缴税，超过元的部分按缴税。请你计算一下，王川缴税后的工资收入是多少元？【分析】 王川缴税后的工资收入为：（元）。7. (学年度北京一零一中综合素质测试(数学)第题)离开了书摊，爷孙二人来到了一个卖鲜蘑菇的小摊前，爷爷想看一看“小灵通”灵不灵，于是提出了这样的问题：“千克刚采下的鲜蘑菇含水量为，稍微晾晒后，含水量下降到，那么这千克的蘑菇现在还有多少千克呢？”小灵通想了想一边用小棍在地上划着，突然高兴地蹦起来对爷爷说，我知道是 千克。小朋友，你想出来了吗？请把结果填在横线上。【分析】 晾晒前：干蘑菇的质量为：（千克）晾晒后：蘑菇的质量为：（千克）8. (年一零一培训学校六年级计算机素质培训班结业检测题二试第题) 把浓度是的酒精毫升，稀释成浓度为的酒精，需加入多少毫升蒸馏水？【分析】 （毫升）9. (年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷第题)将克的白糖放入空杯中，倒入克白开水，充分搅拌后，喝去一半糖水。又加入克白开水，若使杯中的糖水喝原来一样甜，需加入多少克白糖？【分析】 喝去一半糖水，白糖和水的比值不变。所以需要加糖：（克）10. 把金放在水里称，其重量减轻，把银放在水里称，其重量减轻。现有一块金银合金重克，放在水里称共减轻了克，问这块合金含金、银各多少克?【分析】 设合金含金克，则银有克。依题意，列方程得： 解得： ，所以金有克，银有克。考点拓展【例1】 (年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷第题)果园收获一批苹果，按质量分为三等，最好的苹果为一等每千克售价元；其次是二等苹果每千克售价元；最次的是三等苹果每千克售价元。这三种苹果的数量比为。若将这三种苹果混在一起出售，每千克定价多少元比较适宜？【分析】 设三种苹果的数量分别为千克，千克，千克。三种苹果混在一起出售，每千克定价应为：(元)。【例2】 (年一零一中学入学摸底考试第题)某公司有的职员参加新产品的开发工作，后来又有名职工主动参加，这样参加新产品开发的职工人数是其余人数的，原来有多少职工参加开发工作？【分析】 名职工主动参加后，参加新产品开发的职工占总人数的。所以原来的总人数为： ，原来参加开发工作的人数为：（人）。【例3】 (年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷卷第题)某商店一天内卖出两辆不同牌子的小汽车，每辆均售价为万元，其中一种汽车按成本计算赢利为，另一种亏本，这个商店卖这两辆是赔钱还是赚钱？钱数是多少？【分析】 第一种汽车成本为：, 第二种汽车成本为：,总成本为,总售价为, 亏了（万元）【例4】 (年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷卷第题)小明到家具店买张床和个柜子，商家有两种优惠方案。方案：床按原价，柜子可半价收费；方案：床、柜都按原价的收费。请你分析哪种方案更优惠？【分析】 不妨设一张床售价为元，一张柜子也为元。方案一：方案二：。所以方案二更优惠。【例5】 (年北京一零一培训学校六年级结业考试题第题)某地区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过度的部分，按每度元收费；超过度而不超过20度的部分，按每度元收费；超过度的部分按每度元收费。某月甲用户比乙用户多交电费元，乙用户比丙用户多交元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？(用电都按整度数收费)【分析】 经分类判断：甲，乙，丙用电，分属于三个不同的层次。甲用电超过度，乙用电超过度，低于度，丙用电小于度。设甲（为超过的部分） 乙（为超过，小于的部分） 根据题意：解不定方程后得到: ,。 所以乙要交（元） 甲，乙，丙一共要交 （元）【例6】 (北京市一零一中学计算机培训班六年级学年一学期第四次随堂测试