北师大版九年级数学-反比例函数精华总结 (1).doc

反比例函数精华总结教案学习目标1、使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数。2、能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式和图像法的各自特点。3、能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题。4、再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画显示世界中变化规律的重要数学模型。5、使学生在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法。知识结构反比例函数基本概念定义解析式图象画法形状位置性质增减性反比例函数与一次函数K的几何意义反比例函数应用要点梳理要点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念1、反比例函数的定义一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成或y=kx-1（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k是常数，且k不为零；（2）中分母x的指数为1，如不是反比例函数。（3）自变量x的取值范围是一切实数.（4）自变量y的取值范围是一切实数。例：下列等式中，哪些是反比例函数（1） （2） （3）xy21 （4） （5）（6） （7）yx4分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k为常数，k0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式答案：（2）、（3）、（5）练习题：1、下列各式中，哪些表示y是x的反比例函数：2、下列各式中，哪些表示y是x的反比例函数：3、下列各式中，哪些表示y是x的反比例函数：2、反比例函数的意义： 其中x是自变量，且 其中y是函数，且 表达形式： 在表达形式中，x的次数是1；在表达形式，x的次数是1例：（1）函数是反比例函数，求m的值（2）函数是反比例函数，求m的值（3）已知反比例函数，当x=3时，对应的函数值是多少？解：（1）依题意得， 所以，解得 （2）依题意得， 由得；由得 所以，有 （3）依题意得， 由得；由得 所以，有 当时，是反比例函数，即.故当x=3时，举一反三：1. 若是反比例函数，求m的值2. 若是反比例函数，求m的值3. 若函数是反比例函数，求m的值4. 若函数是反比例函数，求k的值5. 若函数是反比例函数，求m的值6. 若函数是反比例函数，求k的值7. 若函数是反比例函数，求k的值8. 若函数y=（m+2）x|m|-3是反比例函数，求m的值9. 在反比例函数中，当x=20时，对应的函数值是多少10. 在反比例函数中，当x=2时，对应的函数值是多少要点2. 反比例函数解析式的确定。重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式1、 反比例函数关系式的确定方法： 待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。2、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：设所求的反比例函数为：（）； 根据已知条件，列出含k的方程；解出待定系数k的值； 把k值代入函数关系式中。3、待定系数法求反比例函数的解析式1例：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时y的值 解：（1）设，因为当x=2时y=6，所以有 解得 k=12 因此，y与x的函数关系式是 （2）把x=4代入，得 所以，当x=4时，y=3举一反三x-2M1yO第1题图：1、如图，某反比例函数的图像过点M（，1），则此反比例函数关系式为（ ）（A）（B）（C）（D）2、已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8，求（1）y和x的函数关系式；（2）当时，y的值3、已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=5，求（1）y与x的函数关系式；（2）当时，y的值4、已知y与x成反比例函数，当x=2时，y=3.（1）求y与x的函数关系式；（2）当时，求y的值5、已知y是x的反比例函数，当x=1时，y=3，求（1）y与x的函数关系式；（2）当x=2时，求y的值6、已知y与x成反比例函数，当x=3时，y=4，求（1）y与x的函数关系式；（2）当y=3时，求x的值待定系数法求反比例函数的解析式2例：已知y是x+1的反比例函数，当x=2时，y=6.（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时y的值解：（1）由已知条件设有解析式为 当x=2时，y=6. 有，解得y与x的函数关系式为（2）当x=4时，有举一反三：1. 如果y与x+2成反比例，且当x=3时，y=1，求y与x之间的函数关系式2. 如果y与x-2成反比例，且当x=3时，y=5，求y与x之间的函数关系式3. 如果y与x-6成反比例，且当x=8时，y=，求y与x之间的函数关系式4. 如果y+3与x成反比例，且当x=6时，y=1，求y与x之间的函数关系式5. 已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x之间的函数关系式为_6. y-1=可以看作_和_成反比例，k=_待定系数法求反比例函数的解析式3例：已知y是的反比例函数，当x=2时，y=6.（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时y的值解：（1）由已知条件设有解析式为当x=2时，y=6.有，解得y与x的函数关系式为（2）当x=4时，举一反三：1. 已知y是的反比例函数，当x=2时，y=6. 写出y与x的函数关系式2. 已知y是的反比例函数，当x=3时，y=18. 写出y与x的函数关系式3. 已知y是的反比例函数，当x=-1时，y=6. 写出y与x的函数关系式待定系数法求反比例函数的解析式4例：已知函数yy1y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x1时，y4；当x2时，y5（1）求y与x的函数关系式；（2）当x2时，求函数y的值分析：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、 y2与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。略解：设y1k1x（k10），（k20），则，代入数值求得k12，k22，则，当x2时，y5举一反三：1. 已知函数yy1y2，y1与x1成正比例，y2与x成反比例，且当x1时，y0；当x4时，y9，求当x1时y的值2. 已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x=2与x=3时，y的值都等于19，求y与x的函数关系式3. 已知y=y1-y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x=-1时y=-5，当x=1时，y=1，求y与x之间的函数关系式4. 已知函数，且为x的反比例函数，为x正比例函数，且和x=1时，y的值都是1.（1）求y关于x的函数关系式。 （2）求x=3时y的值。（3）当x为何值时，y的值是-1要点3. 反比例函数的图象重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来。（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。例：画出函数的图象（1），（2）（图略）举一反三：画出函数的图象：1、；2、；3、；4、要点诠释：画实际问题的函数图象时，应根据自变量的取值范围画图。要点4 反比例函数的性质的变形形式为（常数）所以：1、其图象的位置是：当时，x、y同号，图象在第一、三象限；当时，x、y异号，图象在第二、四象限。2、若点(m,n)在反比例函数的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。3、当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大；例1：（1）已知反比例函数，当x0时，函数图象在第_象限（2）已知反比例函数，其图象一个分支在第一象限，另一个分支在第_象限答案：（1）一；（2）三例2：（1）反比例函数其图象在第一、三象限内，则k的取值范围。（2）反比例函数其图象在第一、三象限内，则m的取值。解：（1）反比例函数其图象在第一、三象限内，即（2）反比例函数其图象在第一、三象限内，即，解得举一反三：1. 双曲线y=（k0），当k0时，它的两个分支分别在第_象限，当k0）在第一象限内的图象如图1所示，P为该图象上任一点，PQx轴，设POQ的面积为S，则S与k之间的关系是（ ） A B CS=k DSk例2设P是函数在第一象限的图像上任意一点，点P关于原点的对称点为P，过P作PA平行于y轴，过P作PA平行于x轴，PA与PA交于A点，则的面积（ ）A等于2 B等于4C等于8 D随P点的变化而变化考查目标四.利用图象，比较大小例1已知三点，都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是（ ）A BCD考查目标五.反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系例1如图，A、B是反比例函数y的图象上的两点。AC、BD都垂直于x轴，垂足分别为C、D。AB的延长线交x轴于点E。若C、D的坐标分别为（1，0）、（4，0），则BDE的面积与ACE的面积的比值是（ ） A B D例2如图，二次函数（m0位置第一、三象限第一、三象限增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小K0时，反比例函数和一次函数y=kx-k的图象大致为（ ） 3. 已知关于x的函数y=k（x+1）和y=-（k0）它们在同一坐标系中的大致图象是（ ） 4. 函数yaxa与（a0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） 5. 已知函数中，时，随的增大而增大，则的大致图象为（ ）AxyOBxyOCxyODxyO图52、反比例函数与一次函数交点 反比例函数与一次函数交点分两种情况：有两个，或者没有练习题：1. 在函数y=与函数y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D0个2. 已知正比例函数和反比例函授的图像都经过点（2，1），则、的值分别为（）A =，= B =2，= C =2，=2 D =，=23. 反比例函数与正比例函数图像的一个交点的横坐标为1，则反比例函数的图像大致为（ ）2 4 -4 -2 42 -2-42 4 -4 -2 42 -2-42 4 -4 -2 42 -2-42 4 -4 -2 42 -2-4 A B C D4. 已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数y=的图象都经过点（2，m），则一次函数的解析式是_5. 已知一次函数y=2x5的图象与反比例函数y=(k0)的图象交于第四象限的一点P（a,3a），则这个反比例函数的关系式为 。6. 若函数与的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是 7. 若一次函数y=x+b与反比例函数y=图象，在第二象限内有两个交点，则k_0，b_0，（用“”、“”、“”填空）3、求一次函数和反比例函数的关系式.例：如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M、N两点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式。（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。解：（1）将点N（1，4）代入，得k=4反比例函数的解析式为 又M边在上 m=2 由M、N都在直线，由两点式可知：，解得 一次函数的解析式为（2）由图象可知 当，反比例函数的值大于一次函数的值举一反三：1. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点。（1）求反比例函数与一次函数的表达式（2）根据图象求出一次函数大于反比例函数的值时x的取值范围。2. 如图所示,已知一次函数y=kx+b(k0)的图象与x轴、y 轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y= (m0)的图象在第一象限交于C点,CDx轴, 垂足为D,若OA=OB=OD=1.求(1)点A,B,D坐标；（2）一次函数与反比例函数的解析式。3. 如图，反比例函数的图象与直线的交点为，过点作轴的平行线与过点作轴的平行线相交于点。求（1）点A、B的坐标； （2）的面积。4. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求的面积5. 已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是2 ， 求（1）一次函数的解析式；（2）AOB的面积第2题图AOBC第3题图第5题图第1题图OyxBA第4题图4、实际问题与反比例函数用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。（1）由题意列关系式例：某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？分析：（1）题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得，（2）当v8m3时代入P得P120千帕；（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先求出气压P144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于立方米举一反三：1京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为 2完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 3一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V10时，1.43，（1）求与V的函数关系式；（2）求当V2时氧气的密度4.小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？5学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天（1）则y与x之间有怎样的函数关系？（2）画函数图象（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？（2）利用图象列关系式例：为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，员工才能回到办公室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数y是x的正比例函数，设，将点（8，6）代人解析式，求得，自变量0x8；药物燃烧后，由图象看出y是x的反比例函数，设，用待定系数法求得（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量y1.6代入，求出x30，根据反比例函数的图象与性质知药含量y随时间x的增大而减小，求得时间至少要30分钟（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y3时，代入中，得x4，即当药物燃烧4分钟时，药含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y3时，代入，得x16，持续时间为1641210，因此消毒有效举一反三：1某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（ ）A （x0） B （x0） C y300x（x0） D y300x（x0）2已知甲、乙两地相距s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y（升）与汽车的行驶速度v（千米/时）的函数图象大致是（ ） 3一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为a米3/分，且排水时间为510分钟（1）试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围；（2）请画出函数图象（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？4某学校接受3600册的捐赠图书，分给x名学生，平均每名学生分得的图书册数为y册。（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果学生为720名，平均每人分得图书多少册？ 5某空调厂的装配车间计划组装9 000台空调,（1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台/天）与生产的时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？（2）原计划用两个月时间（每月以30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？6小明家离学校，小明步行上学需，那么小明步行速度可以表示为；水平地面上重的物体，与地面的接触面积为，那么该物体对地面压强可以表示为；，函数关系式还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举1例7有一容量为180升的太阳能热水器，设其工作时间为y（分），每分钟的排水量为x（升）。 （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）若热水器可连续工作的最长时间为1小时，求自变量x的取值范围； （3）若每分钟排放热水4升，则热水器不断工作的时间为多少？课堂检测（一）xOy第2题图一、选择题（每小题3分，计18分）1、下列函数是反比例函数的是( )A、y= B、y= C、y=x2+2x D、y=4x+82、如图，这是函数（ ）的大致图像。A、y=-5x B、y=2x+8 C、y= D、y=3、如图，函数与在同一坐标系中，图象只能是下图中的（ ）4、已知反比例函数的图象上有两点A（）、B（），且，则的值是（ ） A、正数 B、负数 C、非负数 D、不能确定5、在电压一定时，通过用电器的电流与用电器的电阻之间成（ ）A