经济数学模型.ppt

课程名称：经济数学模型学分：2教师：毛瑞华电话：(028)85413996E-mail:maoruihuaruihuamao(123456)QQ：459519390,2.参考书1.宏观经济数量分析方法与模型,刘起运主编,高教2.经济数学模型,洪毅等编著华南理工大学3.经济学中的分析方法,高山晟(美)著,刘振亚译,中国人大4.经济数学方法与模型，安吉尔.德.拉.弗恩特著,朱保华钱晓明译上海财大5.经济学的结构-数量分析方法,EugeneSilberberg,WingSuen著,高峰等译,清华,第一部分,经济数学模型的概念及建模方法,1.1数学模型和模型的建立,一、模型和数学模型,1.模型：人们为了深刻地认识和理解原型问题而对其所作的一种抽象和升华，其目的是通过对模型的分析、研究加深对原型问题的理解和认识。,2.数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象进行的一个近似的描述，以便于人们更加深入地认识所研究的对象。,对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条件，将实际问题中的一些指标进行量化；,(2)给出描述问题的数学提法；,(3)利用数学理论和方法或计算机进行分析,得出结论；,(4)利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.,3.需要解决几个问题：,4.数学模型建模的步骤,模型准备,模型假设,模型建立,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模型改进,二、建立数学模型的一个实例,1、问题的提出：,设市场上有n种资产Si(i=1,2,n)可供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这n种资产进行了评估，估计出在这一时期内购买资产Si的平均收益率为ri,且预测出购买资产Si的风险损失为qi。,考虑到投资越分散，总的风险越小。公司决定在运用这批资金购买若干资产时，总体风险用在资产Si中所投资产的最大风险来度量。购买资产Si的需要支付交易费，其费率为pi,并且当购买额不超过ui时,交易费按购买额ui计算。设同期银行存款利率是r0=5%,且存取款时既无交易费也无风险。,2.对问题的定位：最优化问题,需要确定购买资产Si的具体投资额xi,即建立投资组合，实现两个目标：,(1)净收益最大化；,(2)整体风险最小化；,3.建模准备：,(1)决策变量：资产Si(i=0,1,n)的投入量xi,i=0,1,n,其中S0表示将资产存入银行。,(2)投资收益：购买资产Si(i=0,1,2,n)的收益率为ri,因此投资xi的收益率为rixi,除去交易费用ci(xi)，则投资xi的净收益为Ri=rixi-ci(xi)。从而，总投资的总收益为R(x)=Ri(xi)。,用数学符号和公式表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件,(3)投资风险：,购买资产Si(i=0,1,2,n)的风险损失为qi,因此投资xi的收益率为qixi,其总体风险用Si的风险，即Qi(xi)=qixi最大的一个来度量。,从而总投资的风险损失为Q(x)=maxQi(xi)。,(4)约束条件：,b.记x=(x0,x1,x2,xn)T,1=(1,1,1,1)T,c=(c0,c1,c2,cn)T,r=(r0,r1,r2,rn)T,总净收益R(x),整体风险Q(x)和总资金F(x)各为,4.两目标优化模型,5.单目标优化模型,求解模型,令,求解模型,令,模型3给定投资者对风险-收益的相对偏好参数0，求解模型,6.简化交易费用下的模型,(1)交易费用函数为,由于固定费用piui的存在在，使得前面的模型是非线性模型，很难求解模型。,表示投资于Si的资金比例。,在实际计算中，常假设M=1，则,当M很大而ui相对较小时，可略去piui的作用，即ci(xi)=pixi,则资金约束条件变为：,(3)简化交易费用下的模型：,LP1：,LP2：,LP3：,1.2优化模型的求解方法,(1)多元函数的无(有)条件极值；,(2)*线性(或非线性)规划方法；,1.2.1多元函数的极值,(一)多元函数的极值设n元函数f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数，记,将函数f(x1,x2,xn)在点=(a1,a2,an)T处展开，有,其中R是余项,包含(xi-ai)的3次以上的项。,当xi在ai附近变化时，R是高阶无穷小。若=(a1,a2,an)T是极大值点时，有,因此，有,由于f(a1,a2,an)是极大值,当X在a附近变化时，省略高阶无穷小R，则有,记,则(1.6)变为,由于yi=xiai在0附近变化时(1.7)式均成立，所以YTHY0对所有Y均成立，即H是负定矩阵，或者说H是正定矩阵。,注：矩阵H的正定性的判断方法,(1)矩阵对应的二次型大于0；,(2)矩阵H的顺序主子式全大于0；,(3)矩阵H的特征值全大于0。,(二)多元函数极值的判断,定理1.1设n元函数f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1,a2,an)T处邻域内有定义，|H|0，则函数f(x1,x2,xn)在点X=(a1,a2,an)T处达到极大值的充分必要条件是,且,是负定矩阵(海森矩阵)。,定理1.2设n元函数f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1,a2,an)T处邻域内有定义，|H|0，则函数f(x1,x2,xn)在点X=(a1,a2,an)T处达到极小值的充分必要条件是,1.2.3二次多项式函数的极值,函数f(x1,x2,xn)是二次多项式时，设矩阵AT=A，记,注：当B=0，且C=0时，f(X)即是线性代数中的二次型。,推论1.1设函数f(X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式，且AT=A。则函数f(X)在点X=(a1,a2,an)T处达到极大值的充分必要条件是,且矩阵A是负定矩阵。,推论1.2设函数f(X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式，且AT=A。则函数f(X)在点X=(a1,a2,an)T处达到极小值的充分必要条件是,且矩阵A是正定矩阵。,1.2.2多元函数条件极值Lagrangemultiplier,在一定的约束条件下求解问题的最优化解。设n元函数u=f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数，且有m个约束条件：,(一)约束条件问题,(1)函数u=f(x1,x2,xn)的自变量的变化范围受到限制，必须满足m个约束条件。(2)要求在这m个约束条件下求解函数u=f(x1,x2,xn)的极大值或极小值函数u的条件极值。,说明：,(二)Lagrangemultiplier函数,引入m个拉格朗日乘数1,2,m,构造新的函数拉格朗日乘子函数：,(三)条件极值存在的必要条件,(四)应用实例(一),一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1和v2,光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播,试确定光线的路径。,O,Q,空气,水,解：设点A到水面的垂直距离为AO=h1,点B到水面的垂直距离为BQ=h2,x轴沿水面过点O、Q,OQ=l。根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从A点到B点应该经过折射点P,其路径为折线APB，所需时间为：,下面确定在x何值时，T(x)在0,l上取得最小值。当x0,l时，由于,又T(x)在0,l上连续，T(x)在x(0,l)上有唯一的零点x0，且x0是T(x)在(0,l)内唯一的,极小值点。,设x0满足T(x)=0,即,与1联系,与2联系,因此，,即当点P满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。,记,(四)应用实例(二),设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电视机的销售价格为p,销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量x与销售价格p之间有如下关系：,其中M为市场最大需求量，a是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：,其中c0是只生产一台电视机的成本，k是规模系数。根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格p,才能使该厂获得最大利润？,分析：在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格，才能获得最大利润。,解：设厂家获得的利润为u,每台电视机的生产成本为c,销售价格为p,销售量为x,则利润函数为u=(p-c)x(3)问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。构造拉格朗日函数,令,由(8)(9)，可得,由(8)(6)，可得,由(7)，可得,由(10)(11)(12)及(5)，可得,最优销售价格为,说明：在最优销售价格p*的表达式中含有待定的规模参数k、价格系数a。为了确定电视机的最优销售价格，必须预先给出这些参数。,复习：微积分的相关内容,1.多元函数的偏导数的求法；2.多元函数的无条件极值的求法；3.多元函数的条件极值的求法；,1.2优化模型的求解方法,(1)一元函数的无(有)条件极值；,(2)多元函数的无(有)条件极值；,(3)*线性(或非线性)规划方法；,定理1(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(1)一元函数的极值与最大(小)值,定理2(极值第二判别法),二阶导数,且,则在点取极大值;,则在点取极小值.,证:(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求在内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,特别:,当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大值,则也是最大值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大值点或最小值点.,(小),例1.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20,ACAB,要在AB线上选定一点D向工厂修一,已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为,问D点应如何选取?,使货物从B运到工厂C的运费最省,km,条公路,(k为某一常数),解:设,则,令,得,又,所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.,总运费,从而为最小点,例2.一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1和v2,光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播,试确定光线的路径。,O,Q,空气,水,解：设点A到水面的垂直距离为AO=h1,点B到水面的垂直距离为BQ=h2,x轴沿水面过点O、Q,OQ=l。根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从A点到B点应该经过折射点P,其路径为折线APB，所需时间为：,下面确定在x何值时，T(x)在0,l上取得最小值。当x0,l时，由于,又T(x)在0,l上连续，T(x)在x(0,l)上有唯一的零点x0，且x0是T(x)在(0,l)内唯一的极小值点。,设x0满足T(x)=0,即,与1联系,与2联系,因此，,即当点P满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。,记,(二)多元函数的极值设n元函数f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数，记,将函数f(x1,x2,xn)在点=(a1,a2,an)T处展开，有,其中R是余项,包含(xi-ai)的3次以上的项。,当xi在ai附近变化时，R是高阶无穷小。若=(a1,a2,an)T是极大值点时，有,因此，有,由于f(a1,a2,an)是极大值,当X在a附近变化时，省略高阶无穷小R，则有,记,则(1.6)变为,由于yi=xiai在0附近变化时(1.7)式均成立，所以YTHY0对所有Y均成立，即H是负定矩阵，或者说H是正定矩阵。,矩阵H的正定性的判断方法,(1)矩阵对应的二次型大于0；,(2)矩阵H的顺序主子式全大于0；,(3)矩阵H的特征值全大于0。,多元函数极值的判断,定理1.1设n元函数f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1,a2,an)T处邻域内有定义，|H|0,则函数f(x1,x2,xn)在点X=(a1,a2,an)T处达到极大值的充分必要条件是,且,是负定矩阵(海森矩阵)。,矩阵H的正定性的判断方法,(1)矩阵对应的二次型大于0；,(2)矩阵H的顺序主子式全大于0；,(3)矩阵H的特征值全大于0。,定理1.2设n元函数f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数,且在点X=(a1,a2,an)T处邻域内有定义,|H|0,则函数f(x1,x2,xn)在点X=(a1,a2,an)T处达到极小值的充分必要条件是,1.2.3二次多项式函数的极值,函数f(x1,x2,xn)是二次多项式时，设矩阵AT=A，记,注：当B=0，且C=0时，f(X)即是线性代数中的二次型。,推论1.1设函数f(X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式，且AT=A。则函数f(X)在点X=(a1,a2,an)T处达到极大值的充分必要条件是,且矩阵A是负定矩阵。,推论1.2设函数f(X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式,且AT=A。则函数f(X)在点X=(a1,a2,an)T处达到极小值的充分必要条件是,且矩阵A是正定矩阵。,多元函数条件极值Lagrangemultiplier,在一定的约束条件下求解问题的最优化解。设n元函数u=f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数，且有m个约束条件：,(一)约束条件问题,(1)函数u=f(x1,x2,xn)的自变量的变化范围受到限制，必须满足m个约束条件。(2)要求在这m个约束条件下求解函数u=f(x1,x2,xn)的极大值或极小值函数u的条件极值。,说明：,(二)Lag