由0是自然数引发的思考

1 / 4 由 0 是自然数引发的思考 由 0 是自然数引发的思考随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把 0 划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。思考之一：为什么要把 0 划归自然数。从历史上看，国内外数学界对于 0 是不是自然数历来有两种观点：一种认为 0 是自然数，另一种认为 0 不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括 0。目前，国外的数学界大部分都规定 0 是自然数。为了方便于国际 交流， 1993 年颁布的中华人民共和国国家标准（ GB3100-3102-93）量和单位（）第 311 页，规定自然数包括 0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用 0 表示。 0 也是自然数。思考之二：最小的一位数是 “1” 还是 “0” ？ 0 是最小的自然数，那么最小的一位数是 “1” 还是 “0” ？在 0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是 1。那么，现在 0 也成为自然数了，最小的一位数还是 1 吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是 1。因为， 0 表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如 3005 里 “0” 就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将2 / 4 “0” 划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于 “ 几位数 ” 是这样定义的 “ 只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数 ” 假设 0 也算作一位数的话，那么最小的两位数是 “10” 还是 “00” 呢？那么最小的三位数、四位数 又是多少呢？九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书第 98 页 “ 关于几位数 ” 是这样叙述的： “ 通常在自然 数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如， 2，含有一个数位的数，叫做一位数； 30 含有两个数位的数，叫做两位数； 405 含有三个数位的数，叫做三位数 但是要注意：一般不说 0 是几位数。所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是 9，最小一位数是 1；最大两位数是 99，最小两位数是 10；最大三位数是 999，最小三位数是100” 综上所述， “0” 虽然是最小的自然数，但仍然不能称为 “ 一位数 ” ，更不能称为最小的一位数。思考之三：自然数的计数单位还是 “1” 吗？大家都知道， 0 是自然数中最小的一个。 0 加 1 得 1， 1 加 1 得 2， 2 加 1 得 3， 这样继续下去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多 1。因此，任何一个自然数都是由若干个 1 合并而成，所以 1 是自然数的单位。 0 可以看成是由 0 个 1 组成的自然数。思考之四： 03 / 4 是其它非零自然数的倍数吗？九年义务教育六年制小学数学第十册中，关于 “ 数的整除 ” 及 “ 约数和倍数 ” 的定义并未做任何改变，教材第 54 页就有这样的叙述： “ 因为 0也能被 2 整除，所以 0 也是偶数 ” 。以此类推， 0 能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义， 0 是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是 0 的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是把 0 排除在外的。为此，九年义务教育六年制小学数学第十册 50 页明确指出：“ 为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括 0” 。这样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如： “ 一个自然数的最小倍数是它本身 ” 、 “ 自然数的约数的个数是有限的 ” 等，这样的结论必须纠正。思考之五： 0 是不是合数？过去，在教学中，关于自然数的组成，有两种情况 ：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合；二是所有的质数与所有的合数及 1 也组成自然数集合。现在 0 也成为了自然数集合的一员，因而有许多教师提出这样的问题： 0 是不是合数？前面已经谈过了，以后 “ 在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括 0” ，但作为一种学术研究，进行探讨也未尝不可。笔者以为， 0的约数有无数个，根据九年义务教育六年制小学数学第十册中关于合数的定义： “ 一个数，如果除了 1 和它本身还4 / 4 有别的约数，这样的数叫做合数。 ” 似乎应该把 0 划归为合数范围，但仔细一想 0 是个特殊的自然数，因为所有非零自然数都有 “ 本身 ” 这个约数，如， 1 是 1 的约数， 2 也是 2的约数 ，而 0 这个自然数恰恰少了 “ 本身 ” 这个约数，因此，也不能归为合数。试想：假设如果 0 是合数，那么它能用质因数相乘的形式表现出来吗？这就与 “ 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式 ” 产生了矛盾。所以，我主张把 0 划归为 “ 既不质数，也不是合数 ” 范围。当然了，这需要权威机构和专家们的认定。但我认为，目前在没有明确 0是不是合数的情况下，还是以回避为好。思考之六： “ 任何相邻的两个自然数是互质数 ” 对吗？ 0 没有成为自然数时，这一结论毫无疑问是正确的。现在 0 也是自然数，我们只要研究 “0 和 1” 这两个相邻的自然数是不是质数，就行了。根据九年义务教育六年制小学数学第十册中关于互质数的定义： “ 公约数只有