相似三角形的应用举例

1 / 6 相似三角形的应用举例 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 相似三角形的应用 目的：利用相似三角形的性质解决实际问题 中考基础知识 通过证明三角形相似 线段成比例 备考例题指导 例 1如图， P 是 ABc 的 Bc边上的一个动点，且四边形 ADPE是平行四边形 （ 1）求证： DBPEPc ； （ 2）当 P 点在什么位置时， SADPE=SABc ，说明理由 分析： （ 1）证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有 ADPE 平行线角相等，命 题得证 （ 2）设 =x，则 =1-x， ADPEDPAc ， EPAB ， BDPBAccPEcBA = （） 2=（ 1-x） 2， =（） 2=x2 =x2+ （ 1-x） 2 SADPE=SABc ，即 = x2+ （ 1-x） 2=（转化为含 x 的方程） 2 / 6 x=， = 即 P 应为 Bc之中点 例 2已知 ABc 中， AcB=90 ，过点 c 作 cDAB 于 D，且 AD=m， BD=n， Ac2： Bc2=2： 1，又关于 x 的方程 x2-2（ n-1）x+m2-12=0 的两个实数根的差的平方小于 192，求 m， n 为整数时， 一次函数 y=mx+n的解析式 分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m， n 的方程或不等式， 求出 m， n 再写出一次函数 抓条件： Ac2： Bc2=2： 1 做文章（转化到 m， n 上） 双直角图形有相似形比例式（方程） AcB=90 ， cDABRtBcDRtBAc Bc2=BDBA，同理有 Ac2=ADAB， =m=2n 抓条件： x1+x2=8（ n-1）， x1x2=4（ m2-12） 由（ x1-x2） 2192 配方（ x1+x2） 2-4x1x2192 64（ n-1） 2-16（ m2-12） 192， 4n2-m2-8n+4 又由 0 得 4（ n-1） 2-4 （ m2-12） 0 ， 代入上式得 n2 由 n， n2 得 n2 3 / 6 n 为整数， n=1 ， 2 m=2 ， 4 y=2x+1 ，或 y=4x+2 遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑 0 备考巩固练习 1如图，在 ABc 中， A 、 B 、 c 的对边分别是 a、 b、c 关于 x 的一元二次方程 x2-2b（ a+） x+（ a+b） 2=0 的两根之和与两根之积相等， D 为 AB 上一点， DEAc 交 Bc 于 E，EFAB ，垂足是 F （ 1）求证： ABc 是直角三角形； （ 2）若 BF=6， FD=4， cE=cD，求 cE的长 2某生活小区的居民筹集资金 1600 元，计划在一块上、下底分别为 10m， 20m的梯形空地上 ,种植花木如图 1 （ 1）他们在 AmD 和 Bmc 地带上种植太阳花，单价为 8 元/m2，当 AmD 地带种满花后，共花了 160 元，请计算种满Bmc 地带所需的费用 （ 2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为 12元 /m2和 10元 /m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？（ 3）若梯形 ABcD为等腰梯形，面积不变（如图 2），请你设计一个花坛图案， 即在梯形内找到一点 P，使得 APDBPc 且 SAPD=SBPc ，并说出你的理4 / 6 由 3（ 1）如图 1，在梯形 ABcD中， ABcD ， AB=b， cD=a，E 为 AD 边上的任意一点， EFAB ，且 EF 交于点 F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实： 当 =1时，有 EF=； 当 =2时，有 EF=； 当 =3时，有 EF=当=k时，参照上述研究结论， 请你猜想用 k 表示 DE 的一般结论，并给出证明； （ 2）现有一块直角梯形田地 ABcD（如图 2所示），其中 ABcD ，ADAB ， AB=310m， Dc=120cm， AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案 答案 : 1（ 1）由 x1+x2=x1x2 得 2b（ a+） =（ a+b） 2 2ab+c2=a2+b2+2ab ABc 是直角三角形 c2=a2+b2 （ 2）易证 EFDEDB ， EF2=DFDB=40 设 cE=x，则 cD=x， DE= （ x） 2-x2=40x=4 2（ 1） 四边形 ABcD是梯形（见图） 5 / 6 ADBc ， mAD=mcB ， mDA=mBc ， AmDcmB ， = （） 2= 种植 AmD 地带花带 160元 =2 （ m2） SomB=80 （ m2） Bmc 地带的花费为 808=640 （元） （ 2）设 AmD 的高为 h1， Bmc 的高为 h2，梯形 ABcD的高为 h SAmD=10h2=20 h1=4 =h2=8 S 梯形 ABcD=（ AD+Bc） h=3012=180 SAmB+SDmc=180 -20-80=80（ m2） 160+160+8012=1760 （元） 又： 160+640+8010=1600 （元） 应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金 （ 3）点 P 在 AD、 Bc的中垂线上（如图）， 此时， PA=PD， PB=Pc AB=Dc APBDPc 设 APD 的高为 x，则 BPc 高为（ 12-x）， SAPD=10x=5x ， SBPc=20 （ 12-x） =10（ 12-x） 当 SAPD=SBPc 即 5x=10（ 12-x） =8 6 / 6 当点 P 在 AD、 Bc 的中垂线上且与 AD 的距离为 8cm 时，SAPD=SBPc 3解：（ 1）猜想得： EF= 证明：过点 E 作 Bc的平行线交 AB 于 G，交 cD的延长线于 H ABcD ， AGEDHE ， 又 EFABcD ， cH=EF=GB ， DH=EF -a， AG=b-EF， =k ，可得 EF= （ 2）在 AD上取一点 EFAB 交 Bc于点 F， 设 =k，则 EF=， DE=， 若 S 梯形 DcFE=S 梯形 ABFE，则 S 梯形 ABcD=2S梯形 DcFE