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_简单的数列问题【知识要点】 求若干个数的和时，我们应该首先判断这些数是否为等差数列，只有为等差数列时才能使用求和公式。同学们要熟记等差数列求和公式及求末项、项数的公式：数列和=（首项+末项）项数2末项=首项+公差（项数1）项数=（末项首项）公差+1对于一些复杂的数列求和问题，同学们要注意运用前面学过的速算巧算将求和问题简化，再利用上述公式求和。【例题】1判断下列数列是否是等差数列？如果是等差数列，写出项数和公差分别是多少？（1）1、2、3、4、7、8、9、10、12、13、14、15、100 项数： 公差：（2）5、8、11、14、95 项数： 公差：（3）4、10、16、22、28、64 项数： 公差：（4）1、4、9、16、144 项数： 公差：2 1+2+348+49 3101103105 1971994计算所有两位数的和是多少？【练习】1 36912151896992 5101520951003小强学习英语单词，第一天学习了10个，以后每一天都比前一天多学习3个，那么在一周中他总共学习了多少个英文单词？4 10121416189810051234495049432165585555525494984957（1352003）（2462002）82000-1-2-3-4-5-55-569200-198+196-194+192-190+864210在2003、2004、2005、2051、2052这五十个自然数中，所有偶数之和比所有奇数之和多多少？11 1100中3的倍数的和是多少？12九个连续偶数的和比其中最小的数多232，这九个数中最大的数是多少？13 123456789888990141995+1994+1993-1992-1991-1990+1989+1988+1987198619851984+9+8+7-6-5-4+3+2+1乘除法巧算【经典例题】例1计算：（1）2425 （2）12556分析与解 将题目中的一些数进行拼、拆或改变运算顺序，使它有5、25或125相乘能得到整十、整百、整千，从而使计算简便。（1）2425=6425=6（425）=6100=600；（2）12556=12587=10007=7000。例2计算 （1）23492351 （2）431212812 （3）39969 （4）38917979129分析与解 （1）根据乘法分配律有23492351=23（4951）=23100=2300；（2）根据乘法分配律有431212812=12（4381）=1250=600；（3）因为几个数除以某一个数的商的和，等于这几个数的和除以这一个数的商。所以39969=（396）9=5；（4）38917979129=（381779）9=4。例3计算：123999分析与解 因为999=10001，所以不妨将999看作（10001），然后利用乘法分配律进行计算。123999=123（10001）=12310001231=122877。例4先观察，再动手计算。 （1）32（416） （2）1900254分析与解 （1）因为在乘、除混合运算中，去括号时，当括号前是“”时，去掉括号后，括号里，括号里的乘、除符号不变，所以32（416）=32416=32164=8。（2）因为25和4可以凑整，而连续除去几个数，等于除去这几个数的积。所以1900254=1900（254）=1900100=19。【拓展训练】1计算：（1）132544 （2）32251252计算：（1）23475323 （2）（961632）83先观察，再计算。（1）210045 （2）320（89）速算与巧算(二)乘除法乘法中的速算，要运用以下定律：(1)乘法交换律ab=ba(2)乘法结合律(ab)c=a(bc) (3)乘法分配律(a+b)c=ac+bc(4)乘法性质两个数的差与一个数相乘，可以用被减数和减数分别与这个数相乘，再把所得的积相减。(a-b)c=ac-bc 一个数与两个数的商相乘，可以用这个数先与商里的被除数相乘，再除以商里的除数；或用这个数先除以商里除数，再与商里的被除数相乘。a(bc)=abc=acb5210 2541006251610000 373111754=300 3758=3000这样想如果使两个数相乘的积能得出整百、整千、整万的数，再用这个积与其他数相乘，就很容易求出计算结果。若有的因数不具备这个条件时，可以用分解的办法，把这个因数分解为两个或三个因数相乘的形式，使其中一个因数与其它的数乘积成为整十、整百、整千然后再与其它的数相乘，就能准确，迅速地完成计算。除法中的速算 除法中的速算，要根据以下各种性质：(1)两个数或几个数的积除以一个数，可以先用积里的任何一个因数除以这个数，所得的商再与其他因数相乘。 (abc)m= ambc=a(bm)c=ab(cm)(2)一个数除以两个数的积，可以用这个数依次除以积里面的各个因数a(bc)=abc(3)一个数除以两个数的商，可以用这个数除以商里的被除数，再乘以商里的除数；或者用这个数乘以商里的除数，再除以商里的被除数a(bC)abc=acb(4)两个或几个数的和除以一个数，可以把和里的各个数分别除以这个数，再把它们的商相加 (a+b+c)m=am+bm+cm(5)两个数的差除以一个数，可以用被减数，减数分别处以这个数，再把所得的商进行相减 （a-b）c=ac-bc(6)商不变的性质：如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变 ab=c (am)(bm)=c (am)(bm)=c(m0)(7)乘除法混合运算的交换性质：在乘除法混合运算中，带着数字前面的运算符号交换乘数，除数的位置，结果不变 abc=acb=bca这样想：运用商不变的性质，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。可以把除数扩大一定的倍数后，使之成为整十，整百，整千的数，这样就能很快的计算出结果.典型例题与练习1、两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘，为此，要牢记下面这三个特殊的等式：52=10254=1001258=1000例1、计算123425 125282554解：式=123(425) =123100=12300式=(1258)(254)(52)=100010010=1000000练习（1）41325 （2）125（238） 2、分解因数，凑整先乘例2、计算2425 1255325解：式=6(425)=6100=600式=1255485=(1258)(554)=1000100=100000练习（1）12125 （2）7532125 3、应用乘法分配律例3、计算17534+175666712十6735十6752+67解：式=175（34+66）=175100=17500式=67（12+35+52+1）=67100=6700练习（1）2521+1925 （2）37155-5437-37 例4、（1）（4+8）125 （2）25（40-8） （3）99625 （4）2008125练习（1）（40+4）25 （2）84125= 4425 = 21（4125）= 42511 = 21500= 1100 = 10500例5、一个数10，数后添0； 一个数100，数后添00；一个数1000，数后添000；以此类推 如：1510=150 15100=1500 151000=15000例6、一个数9，数后添0，再减此数；一个数99，数后添00，再减此数；一个数999，数后添000，再减此数以此类推如129=120-12=108 1299=1200-12=1188 12999=12000-12=11988例7、一个偶数乘以5，可以除以2添上0 65=30 165=80 1165=580周期问题【内容及目标】简单周期问题：利用除法算式求出余数，解决简单周期问题。【解题方法】在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。如：人的十二生肖、一年有春夏秋冬四个季节、一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的重复出现同一现象的问题，我们称为周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。 在研究简单周期问题时，我们首先要仔细审题，寻找其不断重复出现的循环规律，然后利用除法算式中的余数，求得题目的解。【预习内容】和差问题。【例题精讲】例1： 黑白两色小球按一定的规律排列着,其中第20个是什么颜色?第27个是什么颜色 ?例2：国庆节挂彩灯,按“红黄蓝白绿紫”的顺序挂,一共43只灯,其中红、黄、蓝、白、绿、紫灯各有多少只?例3：明明问方方：“今天是星期五，再过8天是星期几？”例4：课外活动中，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈一次报数。甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，每人报的数总比前一个人多1。问：“27”是谁报？“56”是谁报？例5：20个4连乘的积的个位数是几？【模仿练习】习题1：一串珠子,按下列图形排列,那么第32颗是什么颜色?第49颗呢？习题2：运动场上有一排彩旗,共34面,按三面红旗,一面绿旗依次排着,这些彩旗中,红旗有多少面?绿旗有多少面?习题3：2008年的8月8日是星期五，8月24日是星期几？习题4：1100号的卡片依次发给小青、小红、小明、小华四人，已知1号给小青，29号给谁？54号给谁？100号给谁？习题5：42个7连乘的积的个位数是几？【总结提示】解决周期问题的关键是找出排列周期，将一个周期看成一组，用总个数除以一个周期中物体的个数，算出商和余数，商表示一共有多少个完整的周期，余数（假设是5）则表示最后一个物体与每组中第5个物体相同。 【拓展提高】53个数字按下面的方法排成五列,最后一个数字排在第几列?一 二 三 四 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15【课后练习】1.今天是星期天，再过 18天是星期几？2.校园