数列通项公式的四大方法九大题型.doc

数列通项公式的四大方法九大题型类型一： 观察分析法（已知前几项，写通项公式）先对已知项的多方面进行观察分析，如符号特征，绝对值特征，公式的分子、分母的独立特征，分子、分母的关系特征，相邻项的变化特征，相邻项的比、差的特征等；再通过类比、猜想、归纳等方法进行尝试、调整，最后得以化归。常用的简单数列的通项公式有：1，2，3，4， 2，4，6，8， 1，3，5，7， 1，4，9，16， 1，8，27，64， -1，1，-1，1， 1，-1，1，-1， 1，0，1，0， 0，1，0，1， 具体方法有：(1)联想比较法。如由-1，2，-3，4，-5， 联想到数列-1，1，-1，1，和1，2，3，4，5， ，可得；由3，6，11，18，27，联想到数列1，4，9，16，25，可得；由可知该数列中各项分式的分子为2n-1,而分母比分子多4，故.(2)逐差法。如1，3，5，7，9，可发现：3-1=5-3=7-5=9-7=2，于是归纳得 .(3)逐商法.如1，3，9，27，81，可发现于是归纳可得 .(4)待定系数法.如：3，6，11，18，27，38，一次逐差得数列3，5，7，9，11，二次逐差得数列 2，2，2，2，一般地，逐差k次后可得常数列，则通项公式可设为k次多项式.可以猜想通项公式为.令n=1,2,3,得a+b+c=3 4a+2b+c=6 9a+3b+c=11 联立可得a=1,b=0,c=2.经检验适合，故.类型二：定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例1等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.解：设数列公差为成等比数列，即， 由得：， 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。类型三：前n项和法 （已知前n项和，求通项公式）若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。解：由当时，有，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并类型四：由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。题型1： 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例3. 已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以 ， （）=满足上式 故题型2 ：递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4. 已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又， （）满足上式 故注：由和确定的递推数列的通项还可以如下求得：所以， ，依次向前代入，得，题型三、形如 的递推式解法：取倒法构造辅助数列例5：题型4、 递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异其中有多种不同形式为常数，即递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例6. 已知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则, 所以.为一次多项式，即递推公式为解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例7设数列：，求.解：设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得备注：本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之. 为的二次式，则可设;题型5 ：递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）解法：该类型较题型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例8. 已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以题型5： 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。例9. 已知数列中