数学建模机器人避障.pdf

2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何形式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导老师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果获其他公开的 资料（包括网上查询到的自资料） ，必须俺不找规定的参考文献的表述方式在正文引用 处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严重遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正性、公平性。如有违反竞赛 规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文一任何形式公开（包括 进行网上公示，在书籍，期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： D 题 我们参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ：13277001 所属学校（请填写完整的全名） ：长江职业学院 参赛队员（打印并签名） ：1. 何宝宝 2. 舒鑫鑫 3. 黎成硕 指导老师或知道教师组：陶燕芳 胡芬 侯谦民 日期：2012 年 9 月 7 日 赛区评阅编号（有赛区组委会评阅前进行编号） ： 2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用） ： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号） ： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1 机器人避障问题的研究 摘要 本文主要研究了机器人在一定的区域中，且存在多个障碍物的情况下，由出发 点到达目标点，以及由出发点经过途中的多个目标点最后回到出发点的两种情况。 由于最短路径一定是由圆弧和与之相切的直线组成，因此我们将路径划分为若干个 这种线圆结构来求解。 问题一： 对存在障碍物的两点之间，利用平面几何原理建立最短路程的模型，并用 Matlab 计算出两点之间可能存在的所有最短距离，然后整理这些距离，最后利用图 论中的最短路的算法求得最优解。其次通过对几何原理的分析，同时结合 CAD 软件 计算出机器人从起点出发经过多个目标点最后回到起点的最短路径。结果如下： OA 最短路径为：471.0372 OB 最短路径为：853.1121 OC 最短路径为：1130.281 OABCO 最短路径为：1884.149 问题二： 对于问题二，我们讨论了较简单的一种情形，即当圆心固定，半径变化时。在 这种情形下，我们利用解析几何法建立了时间与半径之间的函数关系，并使用两种 方法对函数进行求解。（1） 直接利用 Matlab 软件绘出了函数图形， 并求出了最优解， 即当 =11.5038 时，时间取到最小值T = 94.5649。 （2）尝试用鱼群算法求出了函 数的最优解，最优解为 = 11.5042 T = 94.9106，由比较可知两种算法的结果非 常接近。 关键词：关键词：最短路径、穷举法、解析几何、最优化模型、鱼群算法、超越函数 2 一一、问、问题重述题重述 表1是一个800 800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在 该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的 障碍物，障碍物的数学描述如下表。 表1 编号 障碍物名称 左下顶点坐 标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400, 330) 4 三角形 (280, 100) 上顶点坐标(345, 210)， 右下顶点坐标(410, 100) 5 正方形 (80, 60) 边长150 6 三角形 (60, 300) 上顶点坐标(150, 435)， 右下顶点坐标(235, 300) 7 长方形 (0, 470) 长220，宽60 8 平行四边形 (150, 600) 底边长90，左上顶点坐标(180, 680) 9 长方形 (370, 680) 长60，宽120 10 正方形 (540, 600) 边长130 11 正方形 (640, 520) 边长80 12 长方形 (500, 140) 长300，宽60 在表1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点 与障碍物的距离至少超过10个单位） 。 规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成， 其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的 一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小 为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最 近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。 机器人直线行走的最大速度为 = 5个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度 为 = () = . ，其中是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧翻， 无法完成行走。 请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学 模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发， OA、 OB、 OC和OABCO的最短路径。 (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A的最短时间路径。 注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器 人行走的总距离和总时间。 3 二、问题的分析二、问题的分析 问题一：要求求定点 O（0,0）按照一定的行走规则绕过障碍物到达目标点的 最短路径，我们先可以画出机器人行走的危险区域，这样的话，拐角处就是一个半 径为 10 的圆弧。通过采用模拟作图的方法找出可能的最短路径（比如求 O 和 A 之 间的最短路径，我们可以连接 O 和 A 之间的一段绳子，以拐角处的圆弧为支撑点拉 紧，那么这段绳子的长度便是 O 到 A 的一条可能的最短路径） ，然后采用穷举法列 出 O 到每个目标点的可能的最短路径。 可以将原图中的几何图形单独拿出来转化为 线圆模型，将机器人转弯圆弧以最小半径行走，并将直线距离转化为切点与已知点 之间的距离。要求出最短路径需要求出起始点，拐点圆心，拐点圆心之间的中点和 终点。根据 CAD 画图确定各个切点的坐标，再根据 Matlab 编程算出距离总长。最 后比较其大小便可得出 O 到目标点的最短路径。 问题二：此问要求在时间最短的情况下求从出发点到达 A 点的路径。此问我们 讨论了较简单的情形，即当圆心固定在障碍物 5 的顶点上，而拐弯半径发生变动的 情形。通过问题一的分析，我们将圆心选定在正方形的左上顶点(80,210)处。通过 平面几何原理，我们建立了时间与半径的函数关系。随后，利用 Matlab 直接对函数 进行作图分析并求出了最优解；同时，我们又选用鱼群算法对函数进行迭代，验证 了最优解。 三、三、 模型的假设模型的假设 （1）假设机器人可以抽象成一个点。 （2）假设机器人内部的控制系统没有出什么问题，能正常工作。 （3）假设假设机器人能迅速反应加速到最大速度和减速到最小速度，蓄势时间可 以忽略不计。 （4）假设行走路线不受外界因素干扰，均为理想状态。 四、符号的说明四、符号的说明 L 路径的总长度 圆心的横坐标 圆心的纵坐标 转弯半径 T 最小总时间 五五、理论准备理论准备 5.15.1 理论与证明 猜想：具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的自 然最短路径（即直线段） ，另一部分是限定区域的部分边界，这两部分是相切的，互 相连接的。 证明：假设在平面中有A（a，0）和B（a，0）两点，中间有一个半圆形的障 碍物，证明从 A 到 B 的最路径为 AEF B。 4 图 1 平面上连接两点最短的路径是通过这两点的直线段，但是连接两点的线段于障碍物 相交，所以设法尝试折线路径。在 y 轴上取一点C（0，y），若 y 适当大，则折线 ACB 与障碍物不相交，折线 ACB 的长度为： |CB| = 22+2 显然|ACB|随着 y 的减小而减小，减小y 得，即C ,使得A 与 与障物相 切，切点分别为 E 和 F,显然A 是这种折线路径中最短的。由于满足0 2角 满足tan,所以易知弧度 EF 小于的长A ， 即EF AE, 从而AP AE,同理可得BQBF。 再来比较 PQ 之间路径长度PQ 和圆弧 EF 的长度的大小。若 PQ 之间的路径可有 极坐标方程 = (),则有 10,可得： PQ = 2+ 2 3 EF 结论：路径 APQB 的长度超过路径 AEFB 的长度，所以满足从 A 到 B 的最短路径为 AEFB 的路径。 5.25.2 模型模型的准备的准备 在上面的证明中， 我们就可以这样认为， 起点到目标点无论中间障碍物有多少， 最短路径都应该是若干个线圆组成的结构。在本题中存在障碍物的状况，且障碍物 在拐点处的危险区域是一个半径为 10 的圆弧。所以结合上述证明，我们得知，求两 5 点之间的最短路径中的转弯半径我们应该按照最小的转弯半径来算才能达到最优。 图 2 如图 2 是将题目中原图的一个模型转化成上图所示，设 A( , )为原图中的原 点 O 也就是出发点,B(2,2) 是图中的终点，C(3,3)和D(4,4)是机器人在转弯的 时候在限制的危险区域内（半径为 10 的圆弧）的切点，圆心是O(5,5) ，圆的半 径为 r，AB 的长度是 m，AO 的长度为 n，BO 的长度为 c，由于要求出角 DOC 所以， DOC= ，AOB= ， AOC= ， BOD= 于是有： = ( 2 )2+ (2 ) 2 = ( 5)2+ ( 5) 2 =(2) 2 + (5) 2 在三角形 AOB 中 = arccos 2 + 2 2 2 在直角三角形 AOC 中: = arccos r n; 在直角三角形 BOD 中： = arccos r c; 6 所以根据以上的公式关系可以求出： = 2 以及算出L = 2 2+22+r（，可以根据障碍物的数据描述）求 得。 六、六、模型的建立和求解模型的建立和求解 6.16.1 问题一建模与求解 6.1.1 建模过程 第一步：起点到目标点无论中间障碍物有多少，最短路径都应该是若干个线圆 组成的结构。在本题中存在障碍物的状况，且障碍物在拐点处的危险区域是一个半 径为 10 的圆弧，所以结合上述证明，我们得知，求两点之间的最短路径中的转弯半 径应该按照最小的转弯半径来计算才能达到最优。 第二步：画出可能存在的路线，解决的就是 O 到目标点 A 的最短路径问题。很 显然的一个问题是机器人从m走的最短路径肯定是优于机器人从n走的最短路径， 给 出了三条可能的最短路径，我们可以分别计算出三条可能路径的最短路径的长度， 然后进行比较，取最小者就o是到目标点 B 的最优路径。 第三步：解决的是 O 到目标点 C 的最短路径问题。图中给出了两条可能路径的 最短路径，我们同样可以分别计算出两条可能的最短路径，取最小者就是 O 到目标 点 C 的最优路径。 图 3 6.1.2 模型的求解 （1）原点 O 到目标点 A 的最短路径为L = 471.0372求解方法见(附录 1) 过程 见(附录 2) 7 （2）原点 O 到目标点 B 的可能路径有三条，即就有三条可能的最短路径。而机 器人经过中间一条路径到达 B,这条路径由三条线段和两段圆弧组成，直接用三中的 解法是结不出来的。于是我们做了如下变换，先求出中间一条直线的中点设为 F(180，370)，那么可以采用三中的解法，分别求 O 到 F 和 F 到 B 的最短路径，然 后两段相加，便可求出 O 到 B 的最短路径。求解结果为L =853.1121 (3)机器人经过最下边一条路径，同理这条路径由四条直线和三个圆弧组成，同 样可以采取中的变换，分三部分求解。 综合所述，O 到目标点 B 的最短路径为L = 853.1121。原点 O 到目标点 C 的 可能路径由两条，和 2 中的方法一样，最终求解结果 O 到 目标点 C 的最短路径为 L = 1130.281 (4)从原点O A B C O就是O A ,A B,B C,C O各段距离的最小 路径值的和，解得L =1884.149 路径 起点坐标 终点坐标 圆弧圆心坐 标 圆弧半 径 O A 线段一 (0 0) (70 .5404 215.4579) 圆弧一 (70 .5404 215.4579) (76.0221 220.0597) (80 ,210) 10 线段二 (70 .5404 215.4579) (300 300) O B (0 0) (232.0084 50.1919 ) 10 圆弧一 (232.0084 50.1919) (240.0025 60.0897) (230 ,60) 10 线段二 240.0025 60.0897 (280.680 270.690) 圆弧二 (280.680 270.690) (270.3378 88.57.59) (80 680) 10 线段三 270.3378 88.57.59 (100 700) O C 线段一 ( 0 0) (232.0084 50.1919) 圆弧一 (232.0084 50.1919) (240.0025 60.0897) (80 ,230) 10 线段二 (240.0025 60.0897) (410.5578 90.6902) 圆弧二 (410.5578 90.6902) (418.7257 94.3553) (300 ,300) 10 线段三 (418.7257 94.3553) (491.66884 205.1425) 圆弧三 (491.66884 205.1425) (492.7094 206.9750) (220, 530) 10 线段四 (492.7094 206.9750) (728.1032 512.5828) 圆弧四 (728.1032 512.5828) (730.3963 520.8716) (150,600) 10 线段五 (730.3963 520.8716) (730.14.4 597.4853) 圆弧六 (730.14.4 597.4853) (728.3072 606.6247) (720, 600) 10 线段七 (728.3072 606.6247) (700 640) O 线段一 （0,0） （70.6055,214.1671） 圆弧一 （70.6055,214.1671） （76.9557,219.3685） (80 ,210) 10 线段二 （76.9557，216.3689） （300，300） 圆弧二 （300，300） （229.7585,532.8296） (300 ,300) 10 线段三 （228.7112， 532.8296） （146.6916,589.4789） 圆弧三 （146.6916,589.4789） （140.6916,596.3458） (220, 530) 10 8 A B C O 线段四 （140.6916,596.3458） (100,700) 圆弧四 (100,700) (270.5862,689.9828) (150, 600) 10 线段五 (270.5862,689.9828) （271.9802,689.8020） , 圆弧五 (271.9802,689.8020), (370.，670) (270, 680) 10 线段六 （370.，670） (368，670.2020) 圆弧六 （368，670.2020） （370.，670） (370, 680) 10 线段七 （370.，670） （143,670） 圆弧七 (143,670) (534.4122，738.2932) （430,680） 10 圆弧八 (540，740) (670，740) (540,730) 10 线段九 (670，740) (679.7673,732.1447) 线段八 (534.4122，738.2932) (540，740) 圆弧九 (679.7673,732.1447) (700,640) (670 ,730) 10 线段十 (700,640) (728.3072 606.6247) 圆弧十 (728.3072 606.6247) (730.14.4 597.4853) (720 ,640) 10 线段十一 (730.14.4 597.4853) (730.3963 520.8716) 圆弧十二 (730.3963 520.8716) (728.1032 512.5828) (720 ,520) 10 线段十三 (728.1032 512.5828) (491.66884 205.1425) 圆弧十三 (491.66884 205.1425) (492.7094 206.9750) (500 ,200) 10 线段十四 (492.7094 206.9750) (418.7257 94.3553) 圆弧十四 (418.7257 94.3553) (410.5578 90.6902) （410 ,100） 10 线段十五 (410.5578 90.6902) (240.0025 60.0897) 圆弧十五 (240.0025 60.0897) (232.0084 50.1919) (210, 60) 10 线段十六 (232.0084 50.1919) ( 0 0) 6.2 模型建立与求解模型建立与求解 6.2.1 问题二模型 将题目中的原图的一个模型的转化成上图 2 所示，设 A( , )为原图中的原点 O 也就是出发点,B(2,2) 是图中的终点，C(3,3)和D(4,4)是机器人在转弯的时 候在限制的危险区域内（半径为 10 的圆弧）的切点，圆心是O(5,5) ，圆的半径 为 r，AB 的长度是 m，AO 的长度为 n，BO 的长度为 c，由于要求出DOC，所以， DOC= ，AOB= ， AOC= ， BOD= 于是有： a = (2 )2+ (2 )2 b = ( 5)2+ (y y5)2 c = (25)2+ (y2 y5)2 在三角形 AOB 中 = arccos n2 c2m2 2nc ; 9 在直角三角形 AOC 中: = arccos r n; 在直角三角形 BOD 中： = arccosr c; 所以根据以上的公式关系可以求出： = 2 以及算出L = n2r2+ c2r2+r（m,n,c可以根据障碍物的数据描述） 将 O A 的坐标代入上述式子解得的值 T = m2 r2+n2r2(1+e . ) 到圆心在 m 点时 方程： T = 802+ 21022+ 2202+902 2+ (505 5050 )(1 + . 2) 5 （1）解法一 用 Matlab 画图，求极限（附录 3）解得 = 11.5 得到T=94.5649 到圆心在 n 点时的方程： T = 2302+ 6022+ 702+ 2402 2+(1 + . 2) 5 =11.5 T=104.2 圆心在 mn 直线的方程： = +( ) +( )+ ( ) + ( + .) 超越方程 图像见附 5当x不变时，y增大时，f也在增大，当y不变，x增大时，f也 增大，f与x，y存在递增的关系，图得 当 = 11.5 T = 94.5649 ， （2）解法二 鱼群模式不同于传统的问题解决方法，它提出了一种新的优化模型，对于状态 多或无限状态的环境也不必全部遍历，允许一定的不确定性对于摆脱局部最优，从 而寻找全局最优时有帮助的人工鱼群算法，这一模式具备分布处理参数和处置的鲁 棒性强等能力。 问题的解决时通过自治体在自主活动过程中以某种形式表现出来的。 在寻优过程中通常会有两种方式表现出来：一种形式是通过人工鱼最终的分布情况 来确定最优解的分布，通常随着寻优过程的进展，人工鱼往往会聚集在极值点的周 围，而且全局最优解的即致电周围通常会聚集较多的人工鱼，另一种是在人工鱼的 个体状态中表现出来的，即在寻优的过程中，跟踪记录最优个体的状态，就类似于 遗传算法采用鱼群算法原理。 鱼群算法步骤如下： 10 第一步：确定种群规模 N，在变量可行域内随机生成 N 个体，设定人工鱼可 视为域 Visual，步长 step,拥挤度因子，尝试次数 trynumber 第二步：计算初始鱼群各个体适应性值，去最优人工鱼状态机器赋值给公告 板。 第三步：个体通过觅食、聚群、追尾行为更新自己，生成鱼群。 第四步：评价所有个体。某个个体优于公告板，则将公告板钢芯为该个体。 第五步：当公告板上最优解达到满意误差界内，算法结束，否则转第三步。 于是给出函数式利用鱼群算法如下： T = 802+ 21022+ 2202+902 2+ (505 5050 )(1 + . 2) 5 s.t x0.300 y 10,300 fishnum=50; %生成 50 只人工鱼 MAXGEN=30; %最多迭代次数 trynumber=100;%最多试探次数 visual=1; %感知距离 delta=0.618; %是拥挤度因子 step=0.1; %步长 根据鱼群算法（见附录六）解得 = 11.5 T = 94.9106 在比较以上两种算法，时间 T 比较接近。算法二更精确，但是程序复杂，所以综合 判断可以得知算法一更容易接受。 七七、模型的优缺点模型的优缺点 模型优点: 1、利用了线圆结构作图，运用 CAD 软件进行穷举法例举，作图不会出现人为的 误差，会更加客观、清晰 2、以最简单的例子圆心在顶点上，最小半径为 10 个单位的方程，逐次深入建立 了机器人行走的时间与路径的长度的关系式。 3、利用了鱼群模型计算机器人运行轨迹。 模型缺点： 1、以 O 点直接连线 A 点算出最短时间 T=84.85281，得出必有最短时间很接近 T=84.85281，未能建立完整的最短时间路径模型，而是取巧用了 AUTOCAD 软件画出 了两弧连接的最短距离，并直接用 AUTOCAD 测量计算了最短时间 T=87.91892。 2、 因为实际情况限制速度不可能突变， 所以以上模型是在较理想条件下建立的。 八八、模型的推广与改进模型的推广与改进 11 本题模型建立了机器人在避障问题的方法，当障碍物足够多时，利用穷举法则不 太实用了，AUTOCAD 软件也不现实。因此我们想到另一个模型最优化模型（迪杰 斯特拉算法） 。当障碍物为 n 时，迪杰斯特拉算法是典型最短路径算法，用于计算图 或网中某个特定顶点到其他所有顶点的最短路径。 主要特点是以起始点为中心向外， 层层扩展直到扩展覆盖所有顶点。此算法需算出权值，数据一旦复杂计算麻烦，所 以 matlab 编程好的人便能尝试一下。当半径足够大时(11.5)，半径越大弧就越接 近直线，考虑有两条弧 三条等就可以避过障碍物，多条弧时就不能有上述解得， 转弯圆心不知，半径越大，两点之间的弧的长度就近似直线，从而建立弧的模型 九、九、参考文献参考文献 1 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2003 2 梁国业，廖健平，数学建模，北京：冶金工业出版社，2004 3 李晓磊，邵之江，钱积新，鱼群算法， ，2012 年 09 月 08 日 4 谭永基，数学模型，上海：复旦大学出版社，2011 5 周培德，计算几何-算法与设计，北京：清华大学出版社，2005 6 曹卫华，郭正，最优化设计方法及 MATLAB 的实现，北京：化学工业出版社， 2005 7 袁 玉 军 ， 陈 婷 ， 韩 仁 江 ， 超 越 函 数 积 分 的 五 种 解 法 ， 年 09 月 08 日 12 附录附录： 程序一（问题一）程序一（问题一） 一 function result=zongchang(T,W,V,r) TV=sqrt(T(1)-V(1)2+(T(2)-V(2)2); TW=sqrt(T(1)-W(1)2+(T(2)-W(2)2); VW=sqrt(V(1)-W(1)2+(V(2)-W(2)2); alpha1=acos(TV2+VW2-TW2)/(2*TV*VW); alpha2=acos(r/TV); alpha3=acos(r/VW); alpha4=2*pi-alpha1-alpha2-alpha3;%alpha4 TS1=sqrt(TV2-r2);%TS1,TS2% S2W=sqrt(VW2-r2); S1S2hu=r*alpha4; result=TS1+S1S2hu+S2W 程序二（问题一） 二zongchang(0 0,300 300,230 60,10) zongchang(0 0,300 300,80 210,10) zongchang(0 0,232.5 355,230 60,10) zongchang(232.5 355,227.5 415,235 300,10) zongchang(227.5 415 ,185 565,220 530,10) zongchang(185 565,100 700,150 600,10) zongchang(0 0,250 490,230 60,10) zongchang(250 490,100 700,270 680,10) zongchang(0 0,157.5 355,80 210,10) Zongchang(175.5 535.5 ,227.5 415 ,235 300 ,10) zongchang(227.5 415,185 565,220 530,10) zongchang(185 565,100 700,150 600,10) zongchang(0 0,157.5 355,80 210,10) Zongchang(175.5 535.5 ,227.5 415 ,235 300 ,10) Zongchang(227.5 415 ,100 700 ,270 680 ,10) zongchang(300 300,285 540,300 400,10) zongchang(285 540 ,100 700 ,270 680,10) 13 zongchang(300 300, 260 465 ,220 530,10) zongchang(260 465,100 700 ,220 530,10) zongchang(0 0,320 80, 230 60 ,10) zongchang (320 80,455 150, 410,100,10) zongchang(445,150,610 360, 500 200,10) zongchang(610 360,720 560,720 520 ,10) zongchang(720 560 ,700 640 ,720 640,10) zongchang(0 0,320 80, 230 60 ,10) zongchang(320 80,455 170 ,410 100,10) zongchang(455 170,560 380, 500 240,10) zongchang(560 380,720 560,720 520 ,10) zongchang(720 560,700,640, 720 600,10) zongchang(0 0,240 220,80 210,10) zongchang(240 220 ,470 330 ,400 330,10) zongchang(470 330 ,630 435,540 300,10) zongchang(630 425, 720 560, 720 520,10) zongchang(720 560,700,640, 720 600,10) zongchang(80 680,385,640,270,680,10) zongchang(570 660,690,520,640,520,10) zongchang(690,520,720,560,720,520,10) zongchang(720,560,700,640,720,640,10) zongchang(385 640,570 ,660, 500 600,10) zongchang(80,680,385,640,270,680,10) zongchang(385,640,520,675,500,600,10) zongchang(520,675,605,730,540,730,10) zongchang(605,730,700,640,670,730,10) zongchang(100,700,320,680,270,680,10) zongchang(320,680,495,705,430,680,10) zongchang(495,705,605,730,540,730,10) zongchang(605,730,700,640,670,730,10) zongchang(0 0,320 80, 230 60 ,10) zongchang (320 80,455 150, 410,100,10) zongchang(445,150,610 360, 500 200,10) zongchang(610 360,720 560,720 520 ,10) zongchang(720 560 ,700 640 ,720 640,10) 14 zongchang(0 0,320 80, 230 60 ,10) zongchang(320 80,455 170 ,410 100,10) zongchang(455 170,560 380, 500 240,10) zongchang(560 380,720 560,720 520 ,10) zongchang(720 560, 700 640,720 600,10) zongchang(0 0,290 205,80 210,10) zongchang(290 205,560 380,500 240,10) zongchang(560 380,720 560,720 520,10) zongchang(720 560, 700 640,720 600,10) zongchang(0 0,240 220,80 210,10) zongchang(240 220 ,470 330 ,400 330,10) zongchang(470 330 ,630 435,540 300,10) zongchang(630 425, 720 560, 720 520,10) zongchang(720 560,700,640, 720 600,10) zongchang(80 680,385,640,270,680,10) zongchang(385 640,570 ,660, 500 600,10) zongchang(570 660,690,520,640,520,10) zongchang(690,520,720,560,720,520,10) zongchang(720,560,700,640,720,640,10) zongchang(80,680,385,640,270,680,10) zongchang(385,640,520,675,500,600,10) zongchang(520,675,605,730,540,730,10) zongchang(605,730,700,640,670,730,10) zongchang(100,700,320,680,270,680,10) zongchang(320,680,495,705,430,680,10) zongchang(495,705,605,730,540,730,10) zongchang(605,730,700,640,670,730,10) 程序三问题（二） 三clear syms x y z m n x=acos(2202+902+802+2102-3002*2)/(2*sqrt(300-80)2+902)*sqrt(80 2+2102); y=acos(m/(sqrt(300-80)2+902); z=acos(m/(sqrt(802+2102); n=2*pi-x-y-z; fplot(sqrt(802+2102-m2)+sqrt(2202+902-m2)+m*(8917332864357639/22 15 51799813685248 - acos(1/5650*565(1/2)*m) - acos(1/5050*505(1/2)*m)*(1+exp(10-0.1*m2)/5,10,50) syms y m y=(sqrt(802+2102-m2)+sqrt(2202+902-m2)+m*(2*pi - acos(1/5050*505(1/2)*m) - acos(1/5650*565(1/2)*m) - (5502580100633845*i)/4503599627370496)*(1+exp(10-0.1*m2)/5; diff(y) solve(ans) y=(sqrt(802+2102-11.52)+sqrt(2202+902-11.52)/5+11.5*(891733286435 7639/2251799813685248 - acos(1/5650*565(1/2)*11.5) - acos(1/5050*505(1/2)*11.5)*(1+exp(10-0.1*11.52)/5 程序四问题（二） 四 syms x y z m n x=acos(2302+602+702+2402-2*3002)/(2*sqrt(2702+602)*sqrt(702+240 2); y=acos(m/(sqrt(230)2+602); z=acos(m/(sqrt(2702+2402); n=2*pi-x-y-z; fplot(sqrt(2302+602-m2)+sqrt(702+2402-m2)+m*(598918793813111/14 0