数学的审美与欣赏.pdf

1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 数学的审美与欣赏 3 周玛莉 付柳林 叶正道 3 基金项目:江西省教改立项课题(赣教高字2007 92) 收稿日期: 2008 - 10 - 07 作者简介:周玛莉(1957 - ) , 女,江西九江人,教授,研究方向:基础数学。 (九江学院理学院 江西九江 332005) 摘要:用美学的原理研究数学,从美学的观点审视数学中美的现象,是数学审美与欣 赏的主要任务。数学中的美需要挖掘,而美学方法又可指导数学研究。通过数学审美可以 揭示数学中的某些规律,使学习者的数学素养得到提高和获得一些研究数学的方法。 关键词:数学;美学;简洁;和谐;奇异;教育 中图分类号:G 40 - 014 文献标识码: A 文章编号: 1673 - 4580 (2009) 03 - 0092 -(06) 美是自然,数学作为 “ 书写宇宙的文字 ” (伽利略语 ) , 反映着自然 1 ;数学中美的现象, 很早就为一些大数学家(如毕达哥拉斯、高斯等) 所关注。我国古代数学家也曾经从 “ 趣味 ”的角 度探讨过数学美,但遗憾的是未能有专门的文章 和论著面世。 数学中的美需要挖掘,而美学方法又可指导 数学研究。笔者从美学的原理出发,揭示数学中 美的现象,以形成对数学的审美观点,提高对数 学美的欣赏能力。 1 数学与美学 美学的英文为Aesthetic,希腊文原义是 “ 感 性、感受 ” 。这种解释特别适合数学美,数学中的 美是靠体会出来的,是一种感受,是在实践的基 础上产生的;美学标准是数学的鉴定者。 冯 诺依曼曾经说过:“ 数学家无论是选择题 材还是判断能否成功的标准,主要是美学的原 则。 ”德国数学家克莱茵也说过,“ 音乐能激发或 抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦, 哲学使人获得智慧,科技可以改善物质生活,但 数学却能提供以上一切。 ” 数学的英文是mathematics,它是一个复数名 词,“ 数学曾经是四门学科:算术、几何、天文学 和音乐的合体,处于一种比语法、修辞和辩证法 这三门学科更高的地位。 ” 自古以来,多数人把数学看成是一种知识体 系,是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理 论知识总和。实际上,数学既可以来自对 “ 空间 形式和数量关系 ”的认识,又反映了人们对 “ 可 能现实世界 ”的直接抽象和来自人类思维的能动 创造 。 从人文环境来看,数学有着无与伦比的美学 情趣 古希腊有一句名言:“ 哪里有数,哪里就 有美 ” 。 数学美的表现形式多种多样: 从数学的外在形象上观赏 有体系之美、 概念之美、公式之美; 从数学的思维方式上分析 有简约之美、 无限之美、抽象之美、类比之美; 从美学的原理上探讨 有对称之美、和谐 之美、奇异之美等。 数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺 术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等。 数学美的特征主要体现在数学的简洁性(符 号美、抽象美、统一美 ) ; 和谐性(和谐美、对称 美、形式美 ) ; 奇异美(奇异美、有限美、朦胧 美、常数美)。 1 2 数学美的简洁性 数学简洁性的内涵包括概括性(符号)、抽象 性和统一性。 简洁是一种美。数学中人们对于简洁的追求 是永无止境的:建立公理体系时试图找出最少的 几条;命题的证明力求严谨简练;计算方法尽量 便捷明快。 (总第152期) (Sum N0 152) 2009年第3期 No, 3, 2009 九江学院学报 Journal of jiujiangUniversity 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 例如三角形有各种形态,但用两个公式就 可求出各种三角形的面积: S = 1 2 ah ; S =p(p - a) (p - b) (p - c) 数学家莫德尔认为:在数学美的各个特征中, 首先要推崇的大概是它的简单性了。实现数学的 简单性(抽象、统一)的重要手段是数学符号。 211符号美 数学是科学的语言,符号对于数学的发展起 着极为重要的作用,它可以使人们摆脱数学自身 的抽象与约束,集中精力于主要环节,可以增加 人们的思维能力。几乎每一个数学分支都是靠一 种符号语言而生存,数学符号是贯穿于数学全部 的支柱。 数学符号的发明、使用和传播经历了一个十 分漫长的过程。这个过程的始终贯穿着自然、和 谐与美。 奇妙等式e i +1=0中, 0 -算术,i -代数, -几何,e -分析学。此式将许多数学分支融合 到了一起,其中,三个数学符号出自于数学大师 Euler之手。Euler的成就与他对数学符号的创造 有密切关系。 2 数学符号具有特别的美感,随着科学的发展、 人类的进步、人们审美观念的更新,数学符号也 将会不断得以创新与完美。 212抽象美 数学的简洁性在很大程度上源自数学的抽象 性。换句话说:数学概念正是从众多事物共同属 性中抽象出来的,从而也就形成抽象是数学美感 中的一个重要部分。 “ 抽象 ” 有两种含义:我们不容易想象(或意 想不到)的 用数学方法去 “ 证明 ”某些难以 理解的事实;我们无法体验到(或与现实较脱节) 的 数学本身具有的特征与魅力。 数学的发展在很大程度上与 “ 抽象 ”方法有 关: 欧拉从 “ 格尼斯堡七桥问题 ”的研究诞生两 门新学科 拓扑学和图论; 贝努利从研究 “ 最速降线 ”开始 发展完 善形成了 “ 变分学科 ”; “ 歌德巴赫猜想 ”等一批数论课题的提出与研 究,产生新的数论分支 解析数论; 从赌博输赢入手的推算,出现新的学科 “ 概率论 ”和 “ 对策论 ” 。 一个球绕球心任意转动后(或一个圆铁环翻 转后)其上面是否有点与原来的重合推出 不 动点理论; 计算机的出现,使美国数学家曼德布鲁特 (B. B.Mandelbrot)在1977年创造出一门新的 几何学 分形几何学。 数学的抽象还在于:它不仅能描述现实生活 中的某些必然事物,同时它还能描述某些偶然事 物;它不仅能描写某些精确现象,同时还能描述 大量的模糊现象。 213统一美 世界的统一性在于它的物质性,宇宙的统一 性表现为宇宙的统一美,而能揭示宇宙统一的理 论,即被称为是美的科学理论。 统一是数学内涵的一个特征,古往今来人们 一直都在探索它,并试图找到统一它们的方法。 例如:在高等数学中:Newton - Leibniz公式: b a f (x) dx = F (x) b a = F (b) - F (a)将定积分与不 定积分统一起来了 3 ;在线性代数中:行列式值 是否为零、矩阵是否满秩、线性方程组是否有解 可统一到它们的行(列)向量是否线性无关与相 关的概念上来;在微分方程中:积分因子的概念 将一阶微分方程的解法统一起来了。 统一是数学家们永远追求的目标之一: 笛卡尔通过解析几何(坐标法)把几何学、 代数学、逻辑学统一起来了; 高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴契 夫斯基几何和黎曼几何统一起来了; 克莱因用变换群的观点统一了19世纪发展起 来的各种几何; 拓扑学在分析学、代数学、几何学中的渗透 (特别是微分几何)产生了拓扑空间的微分流形。 3 数学美的和谐性 数学的严谨自然流露出它的和谐。美与和谐 一直是数学家们追求数学美的准则,也是他们建 立数学理论的依据。 在数学中,毕达哥拉斯首先提出:“ 美是和谐 与比例 ”;“ 整个宇宙天体就是和谐与数 ” 。 4 311和谐美 和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性。 数学史上出现的三次 “ 危机 ”(悖论)就是 和谐推动数学发展最有力的说明。 5 第一次 “ 危机 ”:无理数的出现; 392009年第3期 九江学院学报 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 古希腊毕达哥拉斯学派认为:宇宙间一切现 象都能归结于整数或整数之比。毕达哥拉斯定理 (公元前572 -公元前497)(勾股定理)探讨: 两直角边长都是1的直角三角形斜边长是几? 按照学派观点:设斜边长为 m n 既约分数,则m, n 至少其一为奇数,而由勾股定理1 2 +1 2 =2 = m 2 n 2, m 2 =2n 2 , m为偶数;令m =2p,得n =2p,推 出n也是偶数,与前设矛盾,这是最早发现直角 三角形弦与勾(股)不可通约的例子,引起该学 派的恐慌,但它却导致一类新数(无理数)的发 现。 第二次 “ 危机 ”:数学分析的开端 (17 世纪 Newton与Leibniz分别发明了微积分 ) ; 微积分的一个来源,是想求运动物体在某一 时刻的瞬时速度。在牛顿之前,只能求一段时间 内的平均速度,无法求某一时刻的瞬时速度。对 自由落体运动的物体,有公式S = 1 2 gt 2 ,要求物体 在t0的瞬时速度: S = S ( t1) - S ( t0)= 1 2 g t0+t 2 - 1 2 gt0 2 = 1 2 g t( 2t) + ( t) 2 ;有S t = gt + 1 2 gt,可以 用v = gt表示物体在t0的瞬时速度;此时英国的贝 克莱大主教发表文章提出质疑: “ 无穷小t” 是一个很小的量,是否是零? 数学家在将近二百年时间里不能很好的解决 这个质疑,直至柯西创立极限理论,才较好地反驳 了贝克莱的责难;随后魏尔斯特拉斯创立 - 语 言,才彻底地反驳了贝克莱的责难。 第三次数学 “ 危机 ”:数学基础的曙光 集 合论; 19世纪末,集合论出现了。人们感觉到,集 合论有可能成为整个数学的基础。 英国数理逻辑学家罗素(1902年)提出: 以M表示 “ 自己为自己元素的所有集合的集 合 ”(所有异常集合的集合 ) , 而以N表示 “ 自己 不是自己元素的所有集合的集合 ”(所有正常集合 的集合 ) , 于是任一集合或者属于M,或者属于 N,两者必居其一,且只居其一。 问:集合N是否是它本身的成员?(集合N 是否是异常集合 ?) 如果N是它本身的成员,则按 M及N的定义, N是M的成员,而不是N的成 员,即N不是它本身的成员,这与假设矛盾。 又如果N不是它本身的成员,则按M及N的 定义, N是N的成员,而不是M的成员,即N是 它本身的成员,这又与假设矛盾。即无论哪一种 情况,都得出矛盾。 集合论本身是自相矛盾的;由此有一批数学 家对此产生兴趣,进行研究。 从1908年梅洛提出了由7条公理组成的集合 论体系开始,到1922年弗兰克加进一条公理, 1963年科恩进行改进,大体完成了由朴素集合论 到公理集合论的发展过程,不和谐的因素被消除。 除了数学史上三次危机外,数学中还有一些 不和谐的例子,随着它们的解决(如果能解决的 话 ) , 数学也有了很好的发展。 312对称美 对称即图形或物体对某个点、直线或平面而 言,在大小、形状和排列上具有一一对应关系。 数学中的对称概念略有拓广,意指具有关联 或对立的概念视为对称。对称美是数学美中的一 个重要组成部分,在数学上的表现相当普遍。 在几何学中:圆和球形是几何中对称美的杰 出体现,圆是关于圆心对称的,也是关于过圆心 的任一条直线对称的。球形既是点对称,又是线 对称,还是面对称的。 在代数学中:正数与负数、对称多项式、对 称矩阵等; 在数论中:奇数与偶数、质数与合数等; 在三角函数中:正弦与余弦、正切与余切等; 从运算角度看:加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与 逆矩阵等; 从函数角度看:函数与反函数、变换与逆变 换、映射与逆映射等; “ 共轭 ”关系、“ 对偶 ”关系等一些概念中也 隐含着对称性。 无论代数中的某些 “ 对称 ”(如代数多项式 中变动一些文字的排列 ) , 还是几何中的 “对 称 ”,人们总可以从中抽取某些本质的共同的属 性,加以抽象,从而产生新的概念,比如 “ 群 ” 的概念产生正是如此。 数学中的对称美除了作为数学自身的属性外, 也可以看成启迪人们思维、研究问题的方法。 313形式美 数学家们是十分注重数学的形式美的,他们 49周玛莉,等:数学的审美与欣赏 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 总是去寻求一种最适合表现自然规律的方法,使 其含义更加深邃 在形式数学中,每一步骤或 为允许,或为不正确。 整齐简练的数学方程、匀称规则的几何图形 都是一种形式美。 幻方 一种神奇的数学游戏,也是人们追 求对数字形式美的纪实,它有许多有趣而又神奇 的传说。喜欢幻方的不仅有中国人,也有外国人, 既有数学家也有物理学家、政治家。小小幻方蕴 藏着无尽的数字奥妙直到近年仍有新发现。人们 不仅研究它的形式美,还从中讨论它的一些有趣 的结论。 618 753 294 图1 幻方圆 1997年巴尔博发现幻方中的数字有一些有趣 平方和等式: 行逆序幂等: 618 2 +753 2 +294 2 =816 2 +357 2 +492 2 列逆序幂等: 672 2 +159 2 +834 2 =276 2 +591 2 +438 2 主对角线逆序幂等: 654 2 +132 2 +879 2 =456 2 +231 2 +978 2 图2 幻方圆中的有趣等式 还有其它几个平方和等式:副对角线逆序幂 等;主对角线另一逆序幂等;副对角线另一逆序 幂等。 为了追求新意,人们还制造了许多有奇特性 质的幻方。 四阶幻方:横向(纵向)卷后沿任意直线再 剪开仍是一个四阶幻方; 五阶幻方:具有中心对称性(与中心对称的 任意两数之和为26) ; 前面曾提出的 “ 符号美 ” 图形符号也是 数学形式美的一种体现;例如解析几何的建立就 是人们追求的形象(式)美的结果。 4 数学美的奇异性 奇异性是数学美的一个重要特性。奇异性包 括奇妙与变异。 在数学发展史上,正是数学自身奇异性的魅 力,吸引着数学家向更新、更深的层次探索。 411奇异美 奇异中蕴含着奥妙与魅力,同时也隐藏着真 理与规律。 数学中有许多变异现象,它往往与人们预期 的结果相反,但也给了人们的机遇和探索的动力。 例如代数方程的求根问题: 代数基本定理:复数域上的n次方程z n + a1z n-1 +a2z n-2 +an-1z +an=0在复数范围内至少 有一个根。 6 对于一元二次方程, 9世纪已有了求根公式; 随之在11世纪相继解决了三次、四次方程的求根 公式;人们希望能循着二次、三次、四次方程的 成果去寻找5次以上方程的求解公式,但经过三 百年的努力仍没结果。后来法国数学家伽罗瓦 (E. Galois)彻底解决了这个问题: 由此创立了 数学的一个分支 “ 伽罗瓦理论 ” 。数学中奇异 美的现象在不定积分中也有表现:许多解析式相 当复杂的原函数容易积出来,然而有些看上去非 常简单的函数的原函数却不能用初等函数表示 (积不出 ) , 例如: sinx x dx; e x x dx等。数学中那些 最美妙、最令人意想不到的反例,从另一角度也 可以说是数学的一种奇异美。反例是对数学缺陷 的一种指正和对结论的修补。 反例的美学价值与 数学价值同样重要。 克服或解释数学中的 “ 奇异性 ”,寻求 “ 和 谐 ”,常常能使数学概念得以拓广,从而使数学本 身也得到发展。 412有限美 纷繁的大千世界,均可以用数学去描述。 世 界是无限的,宇宙是无限的,数学也是无限的。 无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和 不可思议。 面上有无数个点,而确定一个平面只需三个 点(不共线 ) ; 无论多么复杂的地图(平面或球面)只需四 种颜色可将全部相邻区域彼此分开; 一副扑克洗多少次才算最均匀? (7 次,并非 越多越好,由美国哈佛大学数学家Deknisi和哥伦 比亚大学Bell发现的 ) ; 2 几何中的多面体千姿百态,种类繁多,欧拉 公式却给出了它们的共性; 数学中的唯一性问题也可以认为是特殊的有 限; 592009年第3期 九江学院学报 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 不重合的两相交直线有唯一的交点; 线性方程组系数矩阵与其增广矩阵同秩,方 程组有唯一解; 微分方程中解的存在唯一性定理等。 无限中的有限是数学美的现象,而有限中的 无限也是数学特有的美。比如数学归纳法就是利 用有限步骤去论证无限形式的结论。 数学是科学中最古老的分支,同时又是最活 跃的学科;数学并不构造它的对象,而仅在事先 存在的概念宇宙中去发现,从有限走向无限,又 从无限返回到有限 这一点数学能做到且只有 数学能做到。 413神秘美(朦胧美) 数学中有许多新奇、巧妙而又神秘的东西吸 引着人们,这正是数学的趣味和魅力所在。 数是一种最独特、但又最富有神秘性的语言; 生产的计量、进步的评估、历史的编年、科学的 构建、自然界的分类、人类的繁衍、生活的规划、 学校的教育等无不与数有关。 自古以来人们对 “ 数 ”就有着特殊的感情, 数字与人们的生活有着密切的联系,人们除了把 它用于计量,还赋予许多文化内涵。如阿拉伯数 字1 - 10,每一个都有特定的文化含义和丰富的审 美价值: 5 1:代表理性。是万数之源,它被看作万物的 开端,世界的本源,由它派生了整个世界; 2:宇宙分界的标识(天地、日月、阴阳、男 女等 ) , 又意味着爱情(婚期选择双日 ) ; 3:代表 力 量。物 有 三 态(气、液、固 ) , “ 天 ”有三光(日、月、星 ) , 人有 “ 三宝 ”(精、 气、神 ) , 空间有 “ 三维 ”(长、宽、高 ) ; 4:代表正义。天有四季(春夏秋冬 ) , 面有 四方(东南西北 ) , 周易中有四象(太阳、少阴、 太阴、少阳 ) , 人的双手双脚叫 “ 四体 ”; 5:为约数之首(四舍五入)。学说中五行 (金、木、水、火、土 ) , 粮食统称为五谷,名山 有 “ 五岳 ”,人体有五脏(心、脾、肺、肾肝 ) ; 6:隐含冷热的说法。人有六腑(胃、胆、三 焦、膀胱、大肠、小肠 ) , 亲戚中有六亲(父、 母、兄、弟、妻、子 ) , 干支中有六甲(甲、乙, ) ; 7:包含了健康的奥秘。人有 “ 七窍 ”(眼、 耳、鼻、口 ) ; 在医学上,女人的发育以七为基数 (幼儿期到7岁,儿童期到14岁,少年期到21 岁,青年期到28岁,中年期到49岁,更年期到 63岁止 ) , 男性以8为基数; 8:代表力量。空间分为八个卦限,地有 “ 八 方 ”,结拜兄弟要 “ 八拜 ”,传说中有 “ 八仙 ”, 佛经中有 “ 八戒 ”; 9:含有志高无尚的意思。9是0 - 9的终端, 是一切事物的顶点,天有 “ 九重 ”,地分 “九 层 ”,河统称 “ 九派 ”,万国四方称 “ 九州 ”,人 分 “ 九等 ”,官设 “ 九品 ”,太阳系有九大行星, 九九称为重阳(艳阳天 ) ; 10:代表完美、永久。人有双手十个指头, 产生十进制,生活中有 “ 十全十美 ” 。 与数有关的故事层出不穷:数字情书、数字 对联等;数字中含有许多颇具魅力、令人赞叹的 性质。 414常数美 数学中的某些常数有着特殊的魅力,也蕴含 的美。 黄金分割数: 0.618 几何中的 “ 瑰宝 ” 。 圆周率 一个重要的数值(圆的周长与 直径之比 ) ; 最早的圆周率叫 “ 古率 ”;而后刘徽 创造的割圆法,用22 /7, 355 /113表示,分别成 为 “ 约率 ”和 “ 密率 ”;比国外同类结果早一千 年。欧拉首先倡导用希腊字母 表示圆周率;荷 兰数学家鲁道夫花了毕生的精力算得后第35位 小数 (16 世纪,称为鲁道夫数 ) ; 1761年兰伯特 证明:“ 不是有理数 ” 。 1882年 德国数学家林德曼证明:是超越 数;在计算机出现之前,人们一直在计算 的小 数位上进行角逐,这也说明 自身的美感使得人 们对它的偏爱。 自然对数的底e 一个十分重要的常数。 费根鲍姆 (M. Feigenbaum美国)数 :4. 669201609,是新近发现的,它与 “ 混沌现象 ” 有关;在物理、化学等学科中,也有许多常数: 万有引力常数、宇宙中的质子数、阿伏伽罗德常 数等。 常数是不同背景下产生的奇妙数字,一方面 与大自然有着神奇的联系,同时也会在许多领域 有着广泛的应用,这也正是常数美所在。 5 美的扭曲 美并不等于完善。有时因其残缺会给人们留 下另一种美感 缺憾的美(美的扭曲 ) , 数学 中的美自然也不会完善,同样有遗憾和扭曲。数 69周玛莉,等:数学的审美与欣赏 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 学中规则、有秩序的有时并不一定是最好的。例 如半径不一的五个球放在桌面上,通常人们会认 为从小到大(或从大到小)按规则摆放更合乎审 美的视觉,但不规则摆放所占据桌面长度却最短。 麦比乌斯带 没有正反面的曲面(拓扑学 研究的对象 ) ; 用不同的方式剪开,有不同的结 果:沿着带宽的中心剪开仍是一条麦比乌斯带, 但长度增加2倍;沿着带宽的1 /3处剪开,却是 一个扭了两圈的长麦比乌斯带套上一个窄的麦比 乌斯带。40多年