数学模型实验六差分.doc

左上方框里填写学号后两位，学习委员按此顺号（报告展开排序）交给老师 04 04数学模型实验报告专业 信息与计算科学 班级 15信计一班 组别 指导教师 许小芳 姓名 郭圣锐 同组人 实验时间 2017 年 11 月 11 日 实验地点 K7-403 实验名称 实验项目六：差分方程模型 实验目的： 理解差分法在建模过程中的应用，熟悉利用MATLAB软件求解差分方程的方法。注意模型的普遍性和模型的广泛性。实验仪器：1、支持Intel Pentium 及其以上CPU，内存256MB以上、硬盘1GB以上容量的微机； 软件配有Windows98/2000/XP操作系统及MATLAB软件等。2、了解MATLAB等软件的特点及系统组成，在电脑上操作MATLAB等软件。实验内容、步骤及程序：1、作为房产公司的代理人，你要迅速准确地回答客房各方面的问题。现有人看中了贵公司一套建筑面积为S（m2），单价为P（元/ m2）的房子。他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（贷款年利率r）。请你提供下列信息：房屋总价格、首付款额、月付还款额。当S=120m2，P=5200元/ m2，r=5.58% 时上述三个值。要求：先求出房屋总价格、首付款额、月付还款额三者的符号解；再求出当S=120m2，P=5200元/ m2，r=5.58% 时三者的数值解。过程：（1）给出模型假设及建立相应的差分方程；（2）利用递推公式法求解差分方程的符号解；（3）利用Matlab求解差分方程的符号解；（4）求出当S=120m2，P=5200元/ m2，r=5.58% 时三者的数值解；（5）分析按月还款与按年还款哪种对贷款者更有利？解：（1）解：模型假设：假设借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金以及利息；月利率采用将对应的年利率的平均方式来进行计算。模型求解：符号说明：设W为房屋总价格，首付款额为w，月付还款额为Y，r为贷款年利率，R为月利率，表示第k个月的欠款数。由题意可得： W=SP,w=30%SP,R=r/12.则由此可得月还款公式为Matlab程序如下：syms Y r R nXk=maple(resolve(x(k)=x(k-1)*(1+R)-Y,x(0)=0.7*P*S,x(k)Y=solve(0.7*P*S*(1+R)(12*n)-Y/R*(1+R)(12*n)+Y/R=0,Y)S=120;P=5200;n=20;R=r/12;r=0.0558;R=subs(R);Y=subs(Y)结果如下：Xk=resolve(x(k)=x(k-1)*(1+R)-Y,x(0)=0.7*P*S,x(k)Y =0.7*P*S*(1.+R)(12.*n)*R/(1.+R)(12.*n)-1.)Y=3.0245e+003所以房屋总价格W=624000元、首付款额w=187200元、月付还款额Y=3024.5元。若是按照年利率还款，则有年利率还款额为： 代入值则有Xk =resolve( x(k) = x(k-1)*(1+r)-Y,x(0) = 0.7*P*S,x(k)Y =0.7*P*S*(1+r)n*r/(-1+(1+r)n)Y =3.6794e+004与上面的按月利率相比较，年利率的还款金额更大，故按月利率还款对贷款者更好，更有利。 2、一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。过程：（1）记一棵植物秋季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。建立相应的差分方程研究这种植物数量变化的规律；（2）利用递推公式法求解差分方程的符号解；（3）利用Matlab求解差分方程的符号解；（4）考察当X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20这种植物能一直繁殖的条件解：设第k年植物数量为X(k)，显然X(k)与X(k-1),X(k-2)有关，由X(k-1)决定的部分是a1bcX(k-1),由X(k-2)决定的部分是a2b(1-a1)bcX(k-2)。X(k)=a1bcX(k-1)+a2b(1-a1)bcX(k-2)对应的特征方程可写为令，求得解为：该问题的解为 Matlab程序如下：syms m n bXk=maple(resolve(x(k)=m*x(k-1)+n*x(k-2),x(1)=x0,x(2)=m*x0,x(k)V=solve(x2-m*x-n=0,x)m=5*b;n=1.25*b2;A=subs(V)a=solve(5/2*b+1/2*30(1/2)*(b2)(1/2)=1,b)vpa(a)Xk =resolve(x(k), x(k) = m*x(k-1)+n*x(k-2), x(1) = x0, x(2) = m*x0)V =1/2*m+1/2*(m2+4*n)(1/2) 1/2*m-1/2*(m2+4*n)(1/2)A = 5/2*b+1/2*30(1/2)*(b2)(1/2) 5/2*b-1/2*30(1/2)*(b2)(1/2) a = -2-2/5*30(1/2) -2+2/5*30(1/2)ans = -4.1908902300206644538278791312032 0.1908902300206644538278791312032 由上述结果可知，求出两个特征根，并且得出b有两个值，由于b 的范围在0.18,0.2,故舍去第一个值，b=0.1909正好在该范围，故有这种植物在b=0.1909可以一直繁殖下去。实验小结：在进行求解差分方程时，先构造模型求解，写出数学表达式，再运用resolve指令求解该差分方程的解。教师评语：1. 实验结果及解