数学：第12讲《燕尾模型》讲义.pdf

五年级数学星队秋季第十二讲 燕尾模型 例 1 （1）已知在下面两幅图中，三 角形 ABD 的面积都是 15，三角 形 ACD 的面积都是 20，三角形 CDE 的面积都是 8，求三角形 BDE 的面积. （2）已知在下面两幅图中，三 角形 ABD 的面积都是 15，三角 形 ACD 的面积都是 20，三角形 1520 ?8 E DCB A ?8 E DCB A CDE 的面积都是 8，求三角形 BDE 的面积 （请注意图中条件的 变化！ ）. （3）若已知 1ABD SS ， 2ACD SS ，BEa，CEb，请 填空： 左图中， 12 :SS ；右 图中 12 :SS ； 你能用 自己的话叙述一下证明过程 吗？ ?8 D ECB A 1520 ?8 D ECB A 【答案】 （1）都是 6； （2）都是 6； （3）:a b；:a b 【分析】 （1）根据等高模型， 153 204 ABD ACD BDS CDS ，所以 3 4 EBD ECD S S ， 所以 3 86 4 EBD S ； 1. 注意不再是 D 点在 BC 上， 而是 E 点在 BC 上. 左图中，根 据风筝模型， S1S2 ba D ECB A ba S2S1 D ECB A 153 204 ABD ACD BES CES ，所以 3 4 EBD ECD S S ， 所以 3 86 4 EBD S ； 右图中，由于 ABE ACE SBE SCE ， DBE DCE SBE SCE ，根据分比定理， ABEDBE ACEDCE SSBE SSCE ，即 ABD ACD SBE SCE （这正是燕尾模型的 最重要结论） ，故 153 204 BE CE ， 所以 33 86 44 DBEDCE SS ； 2. 左图即为风筝模型的一般结 论： 12 :SSa b；右图即为燕尾 模型的一般结论： 12 :SSa b， 右图证明过程 （其实正是第 （2） 问的过程） ：由于 ABE ACE Sa Sb ， DBE DCE Sa Sb ，根据分比定理， ABEDBE ACEDCE SSa SSb ，即 1 2 Sa Sb . 练一练 如图，已知三角形 ABD 的面积 是 35 平方厘米，三角形 ACD 的 面积是 25 平方厘米，三角形 BCD 的面积是 24 平方厘米. 求 三角形 CDE 的面积是多少？ 【答案】 10 平方厘米 【分析】 根据燕尾模型， 357 255 ABD ACD BES CES ，根据等高 模型 5 2410 75 CDEBCD EC SS BC . ? 3525 E D CB A 例 2 如图， 在三角形 ABC 中， D、 E、 F 分别是 BC、CA、AB 上的点， AD、BE、CF 相交于一点 O，这 样三角形 ABC 被分成 6 个三角 形，其中 4 个三角形的面积已经 给出，请问三角形 ABC 的面积 是多少？ 【答案】 1365 【分析】 设 AOF Sx ， COE Sy ，由燕尾 O F E DCB A 360 189 140 126 模型，有 (140):(360) 126:189() (360):(126 189):140() xyABOC yxACBO 燕尾 燕尾 ；化简得 30023 144049 yx yx ，解得 280 270 x y ，故总面积为 280360 140 126270 1891365 . 例 3 如图， 在三角形 ABC 中， D、 E、 F 分别是 BC、CA、AB 上的点， AD、BE、CF 相交于一点 O， :1:2AF FB ，:4:3BD DC ， 请问： （1） 你能在图中找到几个“燕 尾”？把它们写出来； （2） 利用燕尾模型求出 :CE EA . 【答案】 （1） 三个燕尾： 凹四边形 ABOC、 ABCO、ACBO； （2）3:2 【分析】 （1） 略；（2） 如下图， 设 1ABO SS ， 2BCO SS ， 3ACO SS ，根据燕 尾模型， 在燕尾 ABCO 中可以知 道：我们要求的:CE EA正是 21 :SS；在燕尾 ABOC 中， O F E DCB A 13 :4:3SSBD DC；在燕尾 ACBO中，3 2 :1:2SSAF FB； 故化连比可得 132 :4:3:6SSS ， 故 21 :3:2SS ； 例 4 如图，ABC中，2CDDB， 3CEEA， AD 与 BE 相交于点 O， 连接 CO. （1） 在燕尾 ABOC 中， : ABOACO SS _. （2） 在燕尾 BCOA 中， : BCOBAO SS _. S3 S2 S1 O F E DCB A （3） 结合之前我们学过的等高 模型，设ABO的面积是 2x（思 考这里为什么不设 x，如果设 x 会对运算带来什么麻烦） ，请用 含有 x 的式子表示其它 4 个三角 形的面积. （4） 若36 ABC S平方厘米，求 这5个部分的面积分别是多少？ 【答案】 （1）1:2；（2）3:1；（3）2 BOD Sx ， 4 COD Sx ，3 COE Sx ， AOE Sx ； （4）3 AOE S 平方厘米， 6 AOB S 平方厘米，6 BOD S 平 O E D CB A 方厘米，12 COD S平方厘米， 9 COE S平方厘米. 【分析】 （1）由燕尾模型： :1:2 ABOACO SSBD CD ； （2）由燕尾模型： :3:1 BCOBAO SSCE AE ； （3）6 BOC Sx ，4 COA Sx ，再 由等高模型：2 BOD Sx ， 4 COD Sx ，3 COE Sx ， AOE Sx ； （4）根据面积可列方程： 224336xxxxx，解得 3x ，于是可得3 AOE S 平方厘 米，6 AOB S 平方厘米， 6 BOD S 平方厘米，12 COD S平 方厘米，9 COE S平方厘米. 练一练 如图，三角形 ABC 被线段 AD、 BE 分成了 4 个部分， :1:2AE EC ，:1:2CD DB ； 已知三角形 AOE 的面积是 1， 请 问三角形 ABC 的面积是多少？ 42 3 2 1 O E D CB A 1 O E DCB A 【答案】 21 【分析】 如图，连接 OC，则图中将会出 现燕尾模型. 根据等高模型可知三角形 COE 的面积是 2， 故三角形 AOC 的的 面积为 3；在燕尾 ABOC 中， 2 1 AOB AOC SBD SDC ， 故三角形 AOB 的面积为3 26； 在燕尾 ABCO 12 6 2 1 O E DCB A 中， 2 1 BOC AOB SEC SEA ，故三角形 BOC 的面积为6 212；故三角 形 ABC 的面积为36 1221. 例 5 已知四边形 ABCD，CHFG 为正 方形，:1:8SS 甲乙 ，a 与 b 是两 个正方形的边长，求:a b. 【答案】 1:2 【分析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶 乙 甲 O H G FE D C BA 模型，但是细细分析发现用蝴蝶 模型无法继续往下走，注意到题 目条件中给出了两个正方形的 边长，有边长就可以利用比例， 再发现在连接辅助线后会出现 燕尾，故本题应当用燕尾模型来 求解. 如图，连接 EO、AF，根据燕尾 模型：: AOEAOF SSa b ， : AOFEOF SSa b 所以 22 : AOEEOF SSab ，作 OMAE、ONEF， N M 乙 甲 O H G FE D C BA AEEF， 22 :OM ONab ； 33 :1:8SSab 甲乙 ， :1:2a b . 例 6 如图，三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上， 点 F 在 AC 上， BF 与 CE 相交于点P， 如果四边形AEPF、 三角形 BEP、三角形 CFP 的面 积都是 4， 则三角形 BPC 的面积 是 . P F AEB C 【答案】 12 【分析】 如图，连接 AP，则图中将会出 现燕尾模型. 本题解决方法不唯 一，但关键都在于证明三角形 APE和三角形APF面积相等. 下 面给出的是直接设所求三角形 面积为 x 的方法. 设 BPC Sx ，根据等高模型，有 44 448 BEC AEC SBExx AES ， 4 4 x P F AEB C 44 448 CFB AFB SCFxx AFS .从而 有 832 4 44 APEBPE AE SS BExx ，同理 832 4 44 APFCPF AF SS CFxx ， 所以 1 2 2 APEAPFAEPF SSS ， 即 32 2 4x ，解得12x . 例 7 如图，三角形 ABC 的面积是 1， BDDEEC，CFFGGA， 三角形 ABC 被分成 9 部分，请 求出中心四边形 PQNM 的面积. 【答案】 9 70 【分析】 连接 CP，CQ，CM，CN 根据燕尾模型， :1:2 ABPCBP SSAG GC ， N M Q P G F EDCB A N M Q P G F EDCB A :1:2 ABPACP SSBD CD ， 设 1 ABP S 份，则 1225 ABC S 份，所以 1 5 ABP S ； 同理可得， 2 7 ABQ S ， 1 2 ABN S ， 所以 213 7535 APQ S ；同理， 2 7 ABM S ，所以 1239 273570 PQMN S 四边形 ，即 所求四边形面积为 9 70 . 例 8 如图，面积为 1 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点， 请 求出阴影部分的面积. 【答案】 3 35 【分析】 图中的六个阴影三角形的形成 方式是轮换对称的，可知这六个 三角形的面积相等，故只需求出 其中一个的面积即可. 如下图， 单独研究 AF、BI、CD 所形成的 三角形 XYZ：依据整体减空白的 I H GF E D CB A 思想， 只需求出三角形AYC、 BXC、 AZB 的面积即可，故连接 AX、 BY、CZ； 若设三角形 AYB 的面积为 1 份， 考虑 1 2