高中数学等差数列的前n项和课件新人教B版必修.ppt

2.2.2等差数列的前n项和,一,二,三,一、等差数列的前n项和公式【问题思考】1.填空:,2.如何选用上述两个公式进行求和?,四,一,二,三,四,3.做一做:(1)在等差数列an中,已知a1=-1,a10=11,则S10等于()A.30B.40C.50D.60(2)已知等差数列an中,a1=-5,d=3,则S8=()A.44B.40C.15D.5答案:(1)C(2)A,一,二,三,四,二、等差数列的前n项和公式与函数的关系【问题思考】1.填空:,因此,由二次函数的性质可以得出结论:当d0时,Sn有最小值;当d0时,Sn有最大值.,一,二,三,四,2.从函数的角度认识等差数列的前n项和,你有何新发现?,一,二,三,四,3.做一做:在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为.解析:由题意知当d0,数列an中所有非负项的和最大.又当且仅当n=8时,Sn取最大值,一,二,三,四,三、等差数列前n项和的性质【问题思考】1.填空:等差数列的依次连续每k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列.,解法一:利用等差数列的性质,一,二,三,四,四、有关等差数列中奇数项和、偶数项和的问题【问题思考】1.填空:,一,二,三,四,一,二,三,四,2.做一做:一个等差数列前20项和为75,其中奇数项和与偶数项和之比为12,则公差d等于.,一,二,三,四,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)公式an=Sn-Sn-1对任意的nN+均成立.()(2)等差数列的前n项和一定是关于n的二次函数.()(3)若Sn是等差数列an的前n项和,则数列为等差数列.()(4)在等差数列an中,若a10,则该数列的前n项和存在最大值.()(5)若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c,则该数列一定不是等差数列.()答案:(1)(2)(3)(4)(5),探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,等差数列的前n项和公式的直接应用【例1】在等差数列an中,(1)已知a10=30,a20=50,Sn=242,求n;(2)已知S8=24,S12=84,求a1和d;(3)已知a6=20,S5=10,求a8和S8;(4)已知a16=3,求S31.思路分析:在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量.,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,反思感悟在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质.,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,变式训练1设Sn为等差数列an的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=.解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d,答案:54,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,Sn与an的关系问题【例2】(1)若数列an的前n项和Sn=n2-1,则a4=()A.7B.8C.9D.17(2)已知数列an的前n项和Sn=3n2+5n,则数列an的通项公式为.(3)已知an的前n项和为Sn,且满足a1=1,Sn=an,则an的通项公式为.解析:(1)a4=S4-S3=(42-1)-(32-1)=7.(2)当n2时,an=Sn-Sn-1=3n2+5n-3(n-1)2+5(n-1)=6n+2,当n=1时,a1=S1=8适合上式,所以an=6n+2.(nN+),探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,(3)由已知2Sn=(n+1)an,2Sn-1=nan-1(n2),两式相减,得2an=(n+1)an-nan-1,即(n-1)an=nan-1,以上各式相乘可得an=na1=n(n2).又a1=1也适合上式,an=n(nN+).答案:(1)A(2)an=6n+2(nN+)(3)an=n(nN+),探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,反思感悟1.如果知道了数列an的前n项和Sn,可由公式来求解an的通项公式,求解时注意要分类讨论,对n=1的情况进行验证,能写成统一的形式就将a1合进来,否则保留分段函数形式.2.如果给出的已知条件是含有Sn与an的递推关系,也往往利用Sn-Sn-1=an(n2)来转化.,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,1.将本例2(2)中的“Sn=3n2+5n”改为“Sn=3n2+5n-2”结果又如何?解析:当n=1时,a1=S1=6.当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n2+5n-2)-3(n-1)2+5(n-1)-2=6n+2.当n=1时,a1=6不适合an=6n+2.,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,等差数列前n项和的性质的应用【例3】(1)等差数列an中共有3m项,前2m项的和为100,后2m项的和为200,求中间m项的和.(2)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.思路分析:(1)本题考查等差数列前n项和的性质及前n项和公式的应用.(2)已知等差数列的奇、偶数项的和,求特殊项与项数,可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系.,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,解:(1)法一:由已知得,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,(2)设等差数列an共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第(n+1)项,即an+1.,2n+1=7.又S奇=(n+1)an+1=44,an+1=11.故这个数列的中间项为11,共有7项.,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,反思感悟等差数列前n项和的性质主要有以下两类:(1)在等差数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列;(2)在等差数列an中,若项数为2n+1(nN+),则,其中S奇=(n+1)an+1,S偶=nan+1;若数列项数为2n(nN+),则S偶-S奇=nd.,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,变式训练2(1)已知某等差数列an共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5B.4C.3D.2(2)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130B.170C.210D.260,(2)令m=1,则Sm=S1=a1=30,S2m=S2=a1+a2=100,则有a1=30,a2=70,d=40,则a3=110,故S3m=S3=S2+a3=100+110=210.答案:(1)C(2)C,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,等差数列前n项和的最值问题【典例】在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.名师点拨本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使an0,an+10,a140,且d0时,满足an0的最大的n的值,使Sn最小.,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,变式训练等差数列an中,|a3|=|a9|,公差d0,a90,因此|a3|=|a9|可化为a3+a9=0,即a6=0,S5=S6,故使an的前n项和Sn最大,n的值为5或6.答案:C,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,1.等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值为()A.55B.95C.100D.不能确定答案:B2.在等差数列an中,a9=a12+6,则数列an的前11项和S11=()A.24B.48C.66D.132解析:由a9=a12+6,得2a9-a12=12.由等差数列的性质得,a6+a12-a12=12,a6=12,答案:D,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,3.设数列an是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列an的前n项和,则()A.S4S5B.S4=S5C.S6S5D.S6=S5解析:法一:设该等差数列的首项为a1,公差为d,从而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.从而有S4=S5.法二:由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0,所以a5=0,从而有S4=S5.答案:B,探究一,探究二,探究三,一题多解,当堂检测,4.设数列an的前n项和为Sn=2-23n,则通项公式an=.解析:当n=1时,a1=S1=2-231=-4.当n2时,a