华南农业大学2014-2015《概率论》期末考试试卷及答案.pdf

1 装订线 2014-2015 学年第学年第 1 学期学期概率论概率论（A 卷）卷） 考试类型考试类型： （闭卷）考试（闭卷）考试考试时间：考试时间：120分钟分钟 学号姓名年级专业 题号题号一一二二三三总分总分 得分得分 评阅人评阅人 一、选择一、选择题题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 设事件 A=甲产品畅销或乙产品滞销，则 A 的对立事件为() (A) 甲产品滞销，乙产品畅销；(B) 甲产品滞销； (C) 甲、乙两种产品均畅销；(D) 甲产品滞销或乙产品畅销. 2. 下列命题正确的是() (A) 若事件 A 发生的概率为 0，则 A 为不可能事件； (B) 若随机变量 X 与 Y 不独立，则()()( )E XYE XE Y不一定成立； (C) 若 X 是连续型随机变量，且( )f x是连续函数，则()Yf X不一定是连续型 随机变量； (D) 随机变量的分布函数一定是有界连续函数. 3. 设随机变量 X 的概率密度为 2 11 (3) 82 ( )(8 ) x f xe ，若()()P XCP XC， 则 C 的值为(). (A) 0；(B) 3；(C)2；(D) 2. 4. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从(0,1)N和(1,1)N， 则下列等式成 立的是(). (A) 1 (0); 2 P XY(B) 1 (1); 2 P XY (C) 1 (0); 2 P XY(D) 1 (1). 2 P XY 5. 设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为 得分得分 2 01 0.40.6 X P 01 0.40.6 Y P 则有(). (A)()0.52;P XY(B)()0.5;P XY (C)()0;P XY(D)()1.P XY 二、填空题填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1. 设( )XP（泊松分布） ，且(1)21EXX ，则=. 2. 若事件 A 和 B 相互独立，P( )=A，P(B)=0.3，P(AB)=0.7， 则. 3. 若随机变量0,6U，则方程 2 10XX 有实根的概率为. 4. 设随机变量X的概率密度函数为 1 ,0, ( ) 0,0. x ex f x x ，其中0，则其 方差()D X=_. 5. 某机器生产的零件长度（cm）服从参数为=10.05，=0.06 的正态分布。 规定长度在范围 10.050.12cm 内为合格品， 则从中抽取一产品为不合格品的概 率为_0.0456_(已知(2)=0.9772) 6. 两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概是 0.03，第二台出现不 合格品的概率是 0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件 数比第二台加工的零件数多一倍。若取出一件零件发现是不合格品，则它是由 第二台车床加工的概率为 7. 设二维随机变量,X Y（）只能取（-1，0），（0，0）和（0，1）三对数，且取 这些数的概率分别是 1 2 ， 1 3 和 1 6 。则()P XY. 8. 设随机变量X的分布函数 0, 0.4, ( ) 0.8, 1, F x 1 11 13 3 x x x x ，则13PX_. 得分得分 得分得分 3 装订线 三、解答题三、解答题（本大题共 6 小题，共 61 分） 1. 随机变量 12 , n XXX独立并且服从同一分布，数学期望为，方差为 2 ， 这 n 个随机变量的简单算术平均数为X。求 i XX的数学期望和方差。 （10 分） 2. 甲、乙两人轮流投篮，甲先投。一般来说，甲、乙两人独立投篮的命中率分 别为 0.7 和 0.6。 但由于心理因素的影响，如果对方在前一次投篮中投中，紧跟 在后面投篮的这一方的命中率就会有所下降，甲、乙的命中率分别变为 0.4 和 0.5。求： （1）乙在第一次投篮中投中的概率； （5 分） （2）甲在第二次投篮中投中的概率。 （5 分） 3. 设离散型随机变量 X 只取 1、2、3 三个可能值，取各相应值的概率分别是 1 4 ,a, 2 a,求随机变量 X 的概率分布函数. （10 分） 1.5CM 4 4. 已知随机变量 X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，令 Y2X +1，求 Y 的概率 密度函数. 5. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的密度函数分别为： 1 ,03 ( )3 0, X x fx 其他 ； 3 3,0 ( ) 0,0 y Y ey fy y 试求： (1) (X,Y)的联合密度函数； （3 分） (2) (2)()P YX； （4 分） (3)D XY.（4 分） 5 装订线 6. 某学院有 400 名学生参加全国大学生英语四级考试，按历年的资料统计，该 考试的通过率为 0.8。 试应用中心极限定理计算这 400 名学生中至少有 300 人通 过的概率.（已知(2.5)0.9938） 2014-2015 学年第学年第 1 学期学期 概率论概率论（A 卷）卷）参考答案参考答案 6 一、选择一、选择题题1. A2. C3.B4. B5. A 二、填空题填空题 1. 12. 3/73. 2/34. 2 5. 0.04566.0.57. /8. 0.6 三、解答题三、解答题 1. 解解 11 11 ()()()0. nn iijij jj E XXE XXE XEX nn 5 分 ) 1 ()( 1 n j jii X n XDXXD) 1 ( 1 n ij j j i n X X n n D 2 2 22 1 ) 1 ( n n n n 2 1 . n n 5 分 2. 解解 令 1 A表示事件“乙在第一次投篮中投中” ， 令 i B表示事件“甲在第i次投篮中投中” ，1,2i （1） 1111111 0.7 0.50.3 0.60.53. P AP BP A BP B P A B 5 分 （2） 11 0.53,0.47P AP A 2121121 P BP A P B AP A P B A 5 分 0.53 0.40.47 0.70.541. 3. 解解 由 2 1 1 4 aa得 12 31 (). 22 aa 或舍去4 分 即 111 (1), (2), (3). 424 P XP XP X2 分 所以 0,1 0,1 2 (1)2 ( )() (1)(2)3 3 4 13 13 x x x P Xx F xP Xx P XP Xx x x x 当时 当时 1，当1 时 ，当1时 4 3，当2时 ，当2时 ，当时 ，当时 4 分 4. 解解 已知 X 的概率密度函数为 1,01, ( ) 0,. X x fx 其它 Y 的分布函数 FY(y)为 7 装订线 11 ( )21 22 YX yy FyP YyPXyP XF （5 分） 因此 Y 的概率密度函数为 1 ,13,1 1 ( )( )2 22 0,. YYX y y fyFyf 其它 （5 分） 5. 解解 （1）因为随机变量 X，Y 相互独立，所以它们的联合密度函数为： 3 ,03,0 ( , )( )( ) 0, y XY exy f x yfx fy 其他 3 分 （2）( , ) y x P YXf x y dxdy 3 3 00 x y edy dx 2 分 dxe x 3 0 3 )1 ( 3 1 93 0 3 9 1 9 8 ) 3 1 ( 3 1 eex x )8( 9 1 9 e2 分 （3）解法 1 由密度函数可知(0,3),(3)XUYE，所以， 2 2 (30)311 (),( ), 12439 D XD Y 2 分 所以 3131 ()()( ) 4936 D XYD XD Y4 分 解法 2 3 0 13 32 EXxdx ； 3 223 3 0 0 11 3 39 E Xx dxx ； 所以 2 22 33 3( ) 24 DXE XEX；1 分 3333 00 00 11 3 33 yyyy EYyedyyeedye 223 0 2 3 9 y EYyedy 2 2 2 211 939 DYE YEY 2 分 所以 8 3131 ()()( ) 4936 D XYD XD Y1 分 6. 解解解法 1 设这 400 名学生通过考试的人数为 X,则 XB(400, 0.8), 3 分 由德莫弗拉普拉斯中心极限定理, 近似地有 XN(320, 64),6 分 则所求概率为 PX300=1- -F(300) 300320 1 8 =1- - (-2.5) = (2.5)=0.9938. 10 分 解法 2 记 1, 0, i X 第i个人通过考试 第i个人未通过考试 ，i=