数列证明题型总结(教师版)附答案.doc

数列证明题型总结（考试时间：_ 总分：_）出卷人：_ 内测人：_ 班号：_ 姓名：_成绩：_一、解答题 ：1在数列中，a11，an12an2n.()设bn，证明：数列是等差数列；()求数列的前n项的和Sn.【答案】()因为bn1bn1所以数列bn为等差数列()因为bnb1(n1)1n所以ann2n1所以Sn120221n2n12Sn121222n2n两式相减得Sn(n1)2n12在数列an中，a1，an1an.()设bn2nan，证明：数列bn是等差数列；()求数列an的前n项和Sn.【答案】()由an1an，得2n1an12nan1bn1bn1，则bn是首项b11，公差为1的等差数列故bnn，an.()Sn123(n1)nSn123(n1)n两式相减，得：Sn1Sn23数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足4Sn(an1)2(nN*)()证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式an；()设bnan2an(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.【答案】()n1时，4a1(a11)2a2a110，即a11n2时，4an4Sn4Sn1(an1)2(an11)2aa2an2an1aa2an2an10(anan1)(anan1)20an0anan12故数列an是首项为a11，公差为d2的等差数列，且an2n1(nN*)()由()知bnan2an(2n1)22n1Tnb1b2bn(121)(323)(2n1)22n113(2n1)(212322n1)n2n24数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2an1(nN*)()证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式an；()设bnan2n(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.【答案】()由2an1(nN*)可以得到4Sn(an1)2(nN*) n1时，4a1(a11)2a2a110，即a11n2时，4an4Sn4Sn1(an1)2(an11)2aa2an2an1aa2an2an10(anan1)(anan1)20an0anan12故数列an是首项为a11，公差为d2的等差数列，且an2n1(nN*)()由()知bnan2n(2n1)2nTn(121)(322)(2n3)2n1(2n1)2n则2Tn(122)(323)(2n3)2n(2n1)2n1两式相减得：Tn(121)(222)(22n)(2n1)2n122(2n1)2n1(32n)2n16Tn(2n3)2n16(或Tn(4n6)2n6)5已知数列an，其前n项和为Snn2n(nN*)()求a1，a2；()求数列an的通项公式，并证明数列an是等差数列；()如果数列bn满足anlog2bn，请证明数列bn是等比数列，并求其前n项和Tn.【答案】()a1S15，a1a2S222213，解得a28.()当n2时，anSnSn1n2(n1)2n(n1)(2n1)3n2.又a15满足an3n2，an3n2(nN*)anan13n23(n1)23(n2，nN*)，数列an是以5为首项，3为公差的等差数列()由已知得bn2an(nN*)，2an1an238(nN*)，又b12a132，数列bn是以32为首项，8为公比的等比数列Tn(8n1)6已知函数f(x)，数列an满足：a1，an1f(an)()求证：数列为等差数列，并求数列an的通项公式；()记Sna1a2a2a3anan1，求证：Sn.【答案】证明：()an1f(an)，即，则成等差数列，所以(n1)(n1)，则an.()anan18，Sna1a2a2a3anan188.7已知数列an的前三项依次为2，8，24，且an2an1是等比数列()证明是等差数列；()试求数列an的前n项和Sn的公式【答案】()a22a14，a32a28，an2an1是以2为公比的等比数列an2an142n22n.等式两边同除以2n，得1，是等差数列()根据()可知(n1)1n，ann2n.Sn12222323n2n，2Sn122223(n1)2nn2n1.得：Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1，Sn(n1)2n12.8已知数列an的各项为正数，前n项和为Sn，且满足：Sn(nN*)()证明：数列S是等差数列；()设TnSSSS，求Tn.【答案】()证明：当n1时，a1S1，又Sn(nN*)，S1，解得S11.当n2时，anSnSn1，Sn，即SnSn1，化简得SS1，S是以S1为首项，1为公差的等差数列()由()知Sn，TnSSS，即Tn12(n1)n.得Tn1(n1)n.得Tnnn1n1，Tn2.9数列an满足a11，an11(nN*)，记Snaaa.()证明：是等差数列；()对任意的nN*，如果S2n1Sn恒成立，求正整数m的最小值【答案】()证明：4(n1)44n3，即是等差数列()令g(n)S2n1Sn.g(n1)g(n)0，g(n)在nN*上单调递减，g(n)maxg(1).恒成立m，又mN，正整数m的最小值为10.10已知数列an是首项a1，公比为的等比数列，设bn15log3ant，常数tN*.()求证：bn为等差数列；()设数列cn满足cnanbn，是否存在正整数k，使ck1，ck，ck2成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由【答案】()证明：an3，bn1bn15log35，bn是首项为b1t5，公差为5的等差数列()cn(5nt)3，令5ntx，则cnx，cn1(x5)3，cn2(x10)3，若ccn1cn2，则(x3)2(x5)3(x10)3，化简得2x215x500，解得x10或(舍)，进而求得n1，t5，综上，存在n1，t5适合题意11在数列 an中，a11，an12an2n1.()设bnan1an2，(nN*)，证明：数列bn是等比数列；()求数列an的通项an.【答案】()由已知an12an2n1得an22an12n3，得an2an12an12an2设an2an1c2(an1anc)展开与上式对比，得c2因此，有an2an122(an1an2)由bnan1an2，得bn12bn，由a11，a22a135，得b1a2a126，故数列bn是首项为6，公比为2的等比数列()由()知，bn62n132n则an1anbn232n2，所以ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1(3212)(3222)(32n12)13(222232n1)2(n1)an32n2n3，当n1时，a1321213651，故a1也满足上式故数列an的通项为an32n2n3(nN*)12在数列an中，a1，anan1(nN*且n2)()证明：an是等比数列；()求数列an的通项公式；()设Sn为数列的前n项和，求证Sn.【答案】()由已知，得是等比数列()设Anan，则A1a11，且q则An()n，an，可得an()Sn()()()13已知数列an满足a12，an12ann1(nN*)()证明：数列ann是等比数列，并求出数列an的通项公式；()数列bn满足：bn(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.【答案】()证法一：由an12ann1可得an1(n1)2(ann)，又a12，则a111，数列ann是以a111为首项，且公比为2的等比数列，则ann12n1，an2n1n.证法二：2，又a12，则a111，数列ann是以a111为首项，且公比为2的等比数列，则ann12n1，an2n1n.()bn，bnSnb1b2bn2()2n()nSn()22()3(n1)()nn()n1由，得Sn()2()3()nn()n1n()n11(n2)()n1，Sn2(n2)()n.14在数列an中，a11，2nan1(n1)an，nN*.()设 bn，证明：数列bn是等比数列；()求数列an的前n项和Sn.【答案】()因为，所以bn是首项为1，公比为的等比数列()由()可知，即an，Sn1，上式两边乘以，得Sn，两式相减，得Sn1，Sn2，所以Sn415设数列an的前n项和为Sn，且Sn(1)an，其中1，0.()证明：数列an是等比数列；()设数列an的公比qf()，数列bn满足b1，bnf(bn1)(nN*，n2)，求数列bn的通项公式【答案】()由Sn(1)anSn1(1)an1(n2)，相减得：ananan1，(n2)，数列an是等比数列()f()，bn1，是首项为2，公差为1的等差数列；2(n1)n1，bn.16在等差数列an中，a1030，a2050.()求数列an的通项an；()令bn2an10，证明：数列bn为等比数列；()求数列nbn的前n项和Tn.【答案】()由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组，解得a112，d2.an12(n1)22n10.()由()得bn2an1022n101022n4n，4bn是首项是4，公比q4的等比数列()由nbnn4n得：Tn14242n4n4Tn142(n1)4nn4n1相减可得：3Tn4424nn4n1n4n1Tn17已知an是等差数列，其前n项和为Sn，已知a311，S9153，()求数列an的通项公式；()设anlog2bn，证明bn是等比数列，并求其前n项和Tn.【答案】() 解得：d3，a15, an3n2 ()bn2an，2an1an238，bn是公比为8的等比数列又b12a132, Tn(8n1)18在数列an中，a13，an2an1n2(n2，且nN*)()求a2，a3的值；()证明：数列ann是等比数列，并求an的通项公式；()求数列an的前n项和Sn.【答案】()a13，an2an1n2(n2，且nN*)，a22a1226，a32a23213.()证明：2，数列ann是首项为a114，公比为2的等比数列ann42n12n1，即an2n1n，an的通项公式为an2n1n(nN*)()an的通项公式为an2n1n(nN*)，Sn(2223242n1)(123n)2n2.19已知数列an满足a12，an13an2(nN*)()求证：数列an1是等比数列；()求数列an的通项公式【答案】()证明：由an13an2得an113(an1)，从而3，即数列an1是首项为3，公比为3的等比数列()由()知，an133n13nan3n1.20已知数列an满足a12，an14an2n1，Sn为an的前n项和()设bnan2n，证明数列bn是等比数列，并求数列an的通项公式；()设Tn，n1，2，3，证明：i.【答案】()因为bn1an12n1(4an2n1)2n14(an2n)4bn，且b1a124，所以bn是以4为首项，以q4为公比的等比数列所以bnb1qn14n，所以an4n2n.()Sna1a2an(4424n)(2222n)(4n1)2(2n1)(2n1)232n12(2n11)(2n12)(2n11)(2n1)，所以Tn，因此i的n的最小值【答案】()证明：b1S1320，Sn1SnSn3n，即Sn12Sn3n，20，所以bn是等比数列()由()知bn2n，则cn，Tn，Tn，n2 011，即nmin2 012.25已知数列an满足：a11，an1(nN*)()求证：数列是等比数列；()若1，且数列bn是单调递增数列，求实数的取值范围【答案】()证明：1，12，120，所以数列是等比数列()12n，an，12n，bn12n(n)，bn2n1(n1)(n2)，b1适合，所以bn2n1(n1)(nN*)，由bn1bn得2n1(n1)2n(n)，n2，(n2)min3，的取值范围为|2 010的n的最小值【答案】()an13an2an1(n2)，(an1an)2(anan1)(n2)a12，a24，a2a120，anan10，故数列an1an是首项为2，公比为2的等比数列，an1an(a2a1)2n12n，an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a12n12n22n321222n(n2)又a12满足上式，an2n(nN*)()由()知bn222，Sn2n2n2n22n2.由Sn2 010得：2n22 010，即n1 006，因为n为正整数，所以n的最小值为1 006.27已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an（I）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式an；（）若数列bn满足bn=log2（an+2），求数列的前n项和Tn【答案】（I）证明：由Sn+2n=2an，得Sn=2an2n，当nN*时，Sn=2an2n，当n=1时，S1=2a12，则a1=2，当n2时，Sn1=2an12（n1），得an=2an2an12，即an=2an1+2，an+2=2（an1+2），an+2是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列，（）解：，bn=n（n+1），=1+=1=【解析】考点： 数列的求和；等比数列的通项公式专题： 综合题分析： （I）由Sn+2n=2an，得Sn=2an2n，由此利用构造法能够证明数列an+2是等比数列，并求出数列an的通项公式an（）由，得，由此利用错位相减法能够求出数列的前n项和Tn28数列an中，a11，当n2时，其前n项的和Sn满足San(Sn1)()证明：数列是等差数列；()设bnlog2，数列bn的前n项和为Tn，求满足Tn6的最小正整数n.【答案】()San(Sn1)，S(SnSn1)(Sn1)(n2)，SnSn1Sn1Sn，即1，是1为首项，1为公差的等差数列()由()知Sn，bnlog2，Tnlog2log26，(n2)(n1)128，nN*，n10，所以满足Tn6的最小正整数为1029已知数列an的首项a1=，其中nN+（）求证：数列为等比数列；（）记Sn=，若Sn100，求最大的正整数n【答案】（）证明：，N+），数列为等比数列（）解：由（）可求得=，若Sn100，则n+1，nmax=99【解析】考点：数列递推式；数列的求和专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）利用数列递推式，变形可得，从而可证数列为等比数列；（）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数n30在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.()证明数列ann是等比数列；()设数列an的前n项和Sn，求Sn14Sn的最大值【答案】()证明：由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列()由()可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n.所以数列an的前n项和Sn.Sn14Sn4(3n2n4)，故n1，最大0.31已知数列an的前n项和Sn和通项an满足Sn(1an)()求数列an的通项公式；()若数列bn满足bnnan，求证：b1b2bn.【答案】()当n2时，an(1an)(1an1)anan1，2ananan1，由题意可知an10，.所以an是公比为的等比数列，S1a1(1a1)，a1，an.()证明：bnn.设Tn123n，Tn123n，Tnn.32已知等比数列an的公比大于1，Sn是数列an的前n项和，S339，且a1，a2，a3依次成等差数列()求数列an的通项公式；()设bn，求证：bn(nN*)【答案】()a1，a2，a3依次成等差数列，a2a1a3，即4a23a1a3，设等比数列an的公比为q，则4a1q3a1a1q2，q24q30，q1(舍去)或q3.又S3a1a1qa1q213a139，故a13，从而an3n.()证明：bn.33已知数列an的前n项和Snn22n.()求数列an的通项公式an；()设数列bn满足2bnan1，且Tn，求证：Tn1.【答案】()当n2时，anSnSn12n1，当n1时，a13符合上式，所以an2n1.()证明：2bnan12n，bnn.，Tn110，其前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有4Sn(an1)24成立()求数列an的通项公式；()求证：0，an1an0，所以an1an2.又4S14a1(an1)24，所以a13.an为首项是3，公差为2的等差数列从而an2n1(nN*)()证明：由4Sn(an1)24及an2n1，得Snn(n2)(nN*)，因为()(kN*)，所以(1)()().由此获证35已知数列an满足条件：a11，an12an1，nN*.()求证：数列an1为等比数列；()令cn，Tn是数列cn的前n项和，证明：Tn1.【答案】证明：()由题意得an112an22(an1)，又a1120.所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列()由()知，an2n1，故cn.Tnc1c2c3cn11.36已知数列an的前n项和Snn2n，数列bn满足bn12bn1(nN*)，且b15.()求an，bn的通项公式；()设数列cn的前n项和为Tn，且cn，证明：Tn.【答案】()当n1时，a1S12.当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.当n1时，2n2a1.所以an2n.由bn12bn1，得bn112(bn1)，又b1140，所以bn1是以4为首项，2为公比的等比数列所以bn1(b11)2n12n1.所以bn2n11.()证明：cn.故Tn.所以Tn.37已知数列an满足a，且对任意nN+，都有（1）求an的通项公式；（2）令bn=anan+1，Tn=b1+b2+b3+bn，求证：【答案】（1），2an2an+1=3anan+1=数列是以为首项，为公差的等差数列=；（2）证明：【解析】考点： 数列递推式；数列的求和专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： （1）对数列递推式化简，可得数列是以为首项，为公差的等差数列，由此可得求an的通项公式；（2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论38设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，nN*（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有【答案】（1）当n=1时，解得a2=4（2）当n2时，得整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即，当n=1时，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列an的通项公式为，nN*（3）因为（n2）所以=39已知在正项数列an中，a12，点An(，)在双曲线y2x21，数列bn中，点(bn，Tn)在直线yx1上，其中Tn是数列bn的前n项和()求数列an的通项公式；()求证：数列bn是等比数列；()若cnanbn，求证：cn1cn.【答案】证明：()由已知点An在y2x21上知，an1an1数列an是一个以2为首项，以1为公差的等差数列ana1(n1)d2n1n1()点(bn，Tn)在直线yx1上Tnbn1Tn1bn11两式相减得bnbnbn1bnbn1bnbn1令n1得bnb11b1bn是一个以为首项，以为公比的等比数列bn()n1()cnanbn(n1)cn1cn(n2)(n1)(n2)3(n1)n23n3(2n1)0cn1cn40已知数列an满足a1=1，anan+1=anan+1数列an的前n项和为Sn（1）求证：数列为等差数列；（2）设Tn=S2nSn，求证：Tn+1Tn（【答案】1）证明：由anan+1=anan+1，从而得=1a1=1，数列是首项为1，公差为1的等差数列 （2）=n则an=，Sn=1+Tn=S2nSn=1+（1+）=+证：Tn+1Tn=+（+）=+=0，Tn+1Tn；【解析】考点： 数列与不等式的综合；等差关系的确定1365727专题： 等差数列与等比数列分析： （1）由anan+1=anan+1，从而得=1，根据等差数列的性质，可以证明；（2）由（1）可求出an的通项公式，求出数列an的前n项和为Sn，利用作差法进行证明；41已知数列anbn满足：，（1）求b1，b2，b3，b4；（2）求数列bn的通项公式；（3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+anan+1，求实数a为何值时4aSnbn恒成立【答案】（1），（2）数列是以4为首项，1为公差的等差数列；（3），由条件可知（a1）n2+（3a6）n80恒成立即可满足条件，设f（n）=（a1）n2+（3a6）n8当a=1时，f（n）=3n81时，由二次函数的性质知不可能成立当a1时，对称轴f（n）在（1，+）为单调递减函数f（1）=（a1）n2+（3a6）n8=（a1）+（3a6）8=4a150a1时4aSnb恒成立综上知：a1时，4aSnb恒成立【解析】考点： 数列与不等式的综合；数列递推式专题： 计算题；综合题；分类讨论；转化思想分析： （1）根据，求出，和，令n=1，2，3即可求得b1，b2，b3，b4；（2）根据，进行变形得到，构造等差数列，并求出其通项，进而可求出数列bn的通项公式；（3）根据（2）结果，可以求出数列an的通项公式，然后利用裂项相消法求Sn，构造函数f（n）=（a1）n2+（3a6）n8，转化为求函数f（n）的最值问题，可求实数a的取值范围42数列满足：，（）若数列为常数列，求的值；（）若，求证：；（）在（）的条件下，求证：数列单调递减【答案】解：（）因为数列为常数列，所以，解得或由的任意性知，或所以，或（）用数学归纳法证明 当时，符合上式 假设当时，因为 ，所以 ，即从而，即因为，所以，当时，成立由，知，（）因为 （），所以只要证明由（）可知，所以只要证明，即只要证明令，所以函数在上单调递增因为，所以，即成立故所以数列单调递减43已知数列an是首项a1=的等比数列，其前n项和Sn中S3，S4，S2成等差数列，（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=|an|，若Tn=+，求证：Tn【答案】（1）解：若q=1，则S3=，S4=1，S2=，显然S3，S4，S2不构成等差数列q1，当q1时，由S3，S4，S2成等差数列得=2q2q1=0q1，a1=（2）证明：bn=|an|=n+1，Tn=+=，Tn是递增数列T1TnTnT1=1，因为k为正整数，所以k=1【解析】考点： 数列递推式；数列与不等式的综合 专题： 计算题分析： （1）由项与前n项和的关系an=snsn1（n2），a1=s1，得an=2n1，由所给等式推出数列bn为等差数列，由已知条件列方程组求出首项和公差，进而得数列bn的通项公式；（2）求（1）知数列an，bn的通项公式，代入求出数列cn的通项公式，由错位相减法求出其前n项和，判断Tn的增减性，求出最小项，代入不等式，求得正整数k50设数列an的前n项和记为Sn且设数列bn的前n项和为且（1）求an；（2）求Tn；（3）设函数f（x）=x2+4x，是否存在实数使得当x时，对任意nN*恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由【答案】（1）数列an的前n项和，a1=S1=2+4=6，an=SnSn1=（2n2+4n）2（n1）2+4（n1）=4n+2当n=1时，4n+2=6=a1，an=4n+2（2）an=4n+2，数列bn的前n项和为且，bn=（），Tn=（1+-+）=（1）=（3）假设存在实数，使得当x时，对任意nN*恒成立，即x2+4x对任意nN*恒成立，an=4n+2，=4是递增数列，所以只要x2+4xc1，即x24x+30，解得x1或x3所以存在最大的实数=1，使得当x时，f（x）cn对任意nN*恒成立【解析】考点： 数列递推式；数列与不等式的综合 专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： （1）由数列an的前n项和，利用公式，能求出an（2）由an=4n+2，数列bn的前n项和为且，知bn=（），