世纪金榜第十三章第二节.ppt

第二节圆周角定理与圆的切线,1.圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的_.推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角_.同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于_.90的圆周角所对的弧为_.,度数的一半,相等,相等,90,半圆(或弦为直径),2.切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的_.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_.推论：经过圆心且与切线垂直的直线必经过_.经过切点且与切线垂直的直线必经过_.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长_.,切线,半径,切点,圆心,相等,3.弦切角定理：弦切角的度数等于其所夹弧的度数的_.推论：同弧(或等弧)上的弦切角_，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角_.,一半,相等,相等,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)经过半径端点且垂直于半径的直线一定是圆的切线.()(2)如果两条弧长相等，那么它们所对的圆心角一定相等.()(3)相等的圆周角所对的弧也一定相等.()(4)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数.(),【解析】(1)错误.根据切线判定定理可知，错误.(2)错误.必须说明在“同圆或等圆”中，所以错误.(3)错误.必须说明在“同圆或等圆”中，所以错误.(4)错误.弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，所夹的弧的度数等于所对圆心角的度数，即所夹弧的度数等于弦切角的度数的2倍.答案：(1)(2)(3)(4),考向1圆周角定理的应用【典例1】(2012江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD=DC，连结AC，AE，DE求证：E=C.,【思路点拨】欲证E=C，需寻找一个中间量，因B和E是同弧所对圆周角，相等；又由AB是圆O的直径和BD=DC可知AD是线段BC的中垂线，从而可得到B=C，即B为中间量.【规范解答】连结AD.AB是圆O的直径，ADB=90，ADBD.又BD=DC，AD是线段BC的中垂线，AB=AC，B=C.又D，E为圆上位于AB异侧的两点，B=E，E=C.,【互动探究】当已知条件中含有“中点”条件时，可联想到“中线”“中位线”等性质，上述证法是利用了等腰三角形中的“三线合一”，如从中位线的角度考虑应如何证明？【证明】连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC,于是ODB=C.因为OBOD，所以ODB=B，于是C=B，又E=B，故E=C.,【拓展提升】1.圆周角定理的应用利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题,在解决此类问题时,主要分析圆周角、圆心角、弧之间的关系,经常与三角形联系在一起进行考查.2.直径的应用在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，因此在圆中，通常遇直径则利用直径所对的圆周角是直角，转化为直角三角形解决问题.,【变式备选】如图，已知，半圆的直径AB6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，当弦CD在半圆上滑动时，BC与AD相交于E，AC和BD延长线相交于P.试证：PDEB且P的度数是定值.,【解析】方法一：AB为直径，PCBADB90.又PBCEBD，PCBEDB，PDEB.ECDEAB，EDCEBA,CEDAEB,从而说明P的度数是定值.,方法二：根据条件可证PCE+PDE180，从而P,C,E,D四点共圆，也可得PDEB,利用圆内接四边形的性质可直接证明PCDPBA,从而得说明P的度数是定值.,考向2切线的性质与判定的应用【典例2】如图，已知AB是O的直径，BC为O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OAr.(1)求证：CD是O的切线.(2)求ADOC的值.(3)若求CD的长.,【思路点拨】(1)要证CD是O的切线，由于D在O上，所以只需连结OD，证ODDC即可.(2)求ADOC的值，一般是利用相似把ADOC转化为其他线段长的乘积，若其他两条线段长的乘积能求出来，则可完成.(3)由ADOC的值，可求出OC，根据勾股定理即可求出CD.,【规范解答】(1)连结OD，OCAD，1=2,A=3.又OA=OD,1=A,2=3.OD=OB,OC=OC,OCDOCB.BC为O的切线,ODC=OBC=90,CD是O的切线.,(2)连结BD,AB为O的直径，ADB90.OBC90，ADBOBC.又A3，ADBOBC,ADOC=OBAB=2r2.(3)由(2)知ADOC=2r2，又知AD，OC是关于x的方程的两根，解此方程得OCr，OC4r,【拓展提升】圆的切线判定的三种方法(1)根据直线与圆有惟一公共点来判断,实为数形结合思想.(2)已知该直线经过圆周上一点时，只要将此点与圆心连结，证此半径垂直于直线，此法实为判定定理.(3)未知直线是否经过圆周上一点时，证圆心到直线的距离等于半径，此法的理论依据是直线与圆的位置关系的几何定义.,【变式训练】已知，如图，ABC内接于O，点D在OC的延长线上，CAD=30.(1)求证：AD是O的切线.(2)若ODAB，BC=5，求AD的长.,【解析】(1)如图，连结OA，因为所以B=30，故O=60.又OA=OC，所以ACO是等边三角形,故OAC=60.因为CAD=30，所以OAD=90,故AD是O的切线.,(2)ODAB，OC垂直平分AB，则AC=BC=5，OA=5.在OAD中，OAD=90，所以,考向3弦切角定理的应用【典例3】(2012辽宁高考)如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E.证明：(1)ACBD=ABAD.(2)AC=AE.,【思路点拨】根据弦切角等于圆周角可证三角形相似，从而得对应边成比例，证明第(1)题;运用三角形相似及比例的性质证明第(2)题.【规范解答】(1)由AC与圆O相切于点A，得CAB=ADB;同理，ACB=DAB，从而ACBDAB，所以ACBD=ABAD.,(2)由AD与圆O相切于点A，得AED=BAD.又ADE=BDA,从而EADABD，所以AEBD=ABAD，又由(1)知，ACBD=ABAD，所以ACBD=AEBDAC=AE.,【互动探究】本题第(1)题的结论提示了考生，利用比例线段证第(2)题，如无此暗示，连结CE，则线段AE和AC在ACE中，能否利用“等角对等边”的方法证之？【解析】由条件可得BAD=AEB，CEB=CAB=ADB，从而ABE=BAD+ADB=AEB+CEB=AEC，又ABE=ACE，故AEC=ACE，故AC=AE.,【拓展提升】圆周角、圆心角、弦切角的关系弦切角定理能得到一个重要推论:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.从而“圆周角、圆心角、弦切角”之间存在着密切的关系,所以通常利用这种关系,证两三角形相似,计算角的度数或由比例线段计算边长.【提醒】弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，这一结论在实际应用中比定理本身更为常用.,【变式备选】如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A，B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CB=CE.,【证明】连结AC，BE，在DC延长线上取一点F,因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以ACB=90，即BCF+ACD=90.又因为ADl，所以DAC+ACD=90,所以BCF=DAC.又因为直线l是圆O的切线，所以CEB=BCF.又因为DAC=CBE，所以CBE=CEB，所以CE=CB.,1.(2012新课标全国卷)如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点，若CFAB，证明：(1)CD=BC.(2)BCDGBD.,【证明】(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF=BD=AD.又CFAD，连结AF，所以ADCF是平行四边形，故CDAF，因为CFAB，所以BC=AF，故CD=BC.(2)因为FGBC，故GB=CF.由(1)可知BD=CF，所以GB=BD.而DGB=EFC=DBC，故BCDGBD.,2.(2013南通模拟)如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连结DC，AB=10，AC=12.(1)求证：BADC=GCAD.(2)求BM.,【解析】(1)因为ACOB，所以AGB=90.又AD是圆O的直径，所以DCA=90.又因为BAG=ADC，所以RtAGBRtDCA，所以又因为OGAC，所以GC=AG，所以即BADC=GCAD.,(2)因为AC=12，所以AG=6.因为AB=10，所以由(1)知，RtAGBRtDCA，所以所以AD=15，即圆的直径2r=15.又因为AB2=BM(BM+2r)，即BM2+15BM-100=0，解得BM=5或BM=-20(舍去).即BM的长为5.,3.如图，已知ABC中，ACBC，CAB(定值)，O的圆心O在AB上，并分别与AC，BC相切于点P，Q.(1)求POQ.(2)设D是CA延长线上的一个动点，DE与O相切于点N，点E在CB的延长线上，试判断DOE的大小是否保持不变，并说明理由.,【解析】(1)连结OC,OP,OQ,AC,BC分别切O于P，Q，OPCA，OQCB，CACB，ACO=BCO，COAB，COPCAB，COQCBA.CAB，POQCOPCOQ2.,(2)DOE保持不变.由CD，DE，CE都与O相切得：ODECDE，OEDCED，DOE180(ODEOED)180180-180(1802)180-.DOE为定值.,4.(2013徐州模拟)如图，在RtABC中，C=90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB.(1)求证：AC是BDE的外接圆的切线.(2)若AE=6，求EC的长.,【解析】(1)取BD的中点O，连结OE.BE平分ABC，CBE=OBE.又OB=OE，OBE=BEO，CBE=BEO，BCOE.C=90，OEAC，AC是BDE的外接圆的切线.,(2)设O的半径为r，则在AOE中，OA=2OE，A=30，AOE=60，CBE=OBE=30，,5.如图，ABC内接于O，AB=AC，直线MN切O于点C，弦BDMN，AC与BD相交于点E.(1)求证：ABEACD.(2)若AB=6，BC=4，求AE.,【解析】(1)在ABE和ACD中，AB=AC，ABE=ACD.又BAE=EDC，BDMN，EDC=DCN.直线MN是圆O的切线，DCN=CAD，BAE=CAD，ABEACD.,(2)BDMN,EBC=BCM，BCM=BDC，EBC=BDC=BAC，BC=CD=4.又BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACB，BC=BE=4.设AE=x，易证ABEDCE.又AEEC=BEED，EC=6-x，,6.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的圆O的切线相交于点D，E为CH中点，连结AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.(1)求证：F是BD的中点.(2)求证：CG是O的切线,【证明】(1)CHAB，DBAB，AEHAFB，ACEADF,HEEC，BFFD,F是BD中点.(2)连结CB，OC，AB是直径，ACB90,BCD为直角三角形，BCF=CBF=90CBA=CAB=ACO,OCF=90，CG是O的切线.,7.如图，O1与O2交于A，B两点，点O1在O2上，O2的弦O1C交AB，O1于D，E.求证：(2)E为ABC的内心.,【证明】(1)连结O1B，由O1AO1B可得O1ADO1CA.又A