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高老总复习数学教案 高老总复习数学教案 推理与证明 【学法导航】 了解合情推理的含义能利用归纳和类比等进行简单的推理体会并认识合情推理在数学发现中的作用;体会演绎推理的重要性掌握演绎推理的基本模式并能运用它们进行一些简单推理;了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点;了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程、特点 解答推理问题时先明确出是种推理形式显然归纳、演绎等推理方式在以往的学习中已经接触过类比推理相对而言学生比较为陌生.所以复习类比推理时应抓住两点：一是找出合理的类比对象二是找出类比对象再进一步找出两类事物间的相似性或一致性. 解答证明题时要注意是采用直接证明还是间接证明在解决直接证明题时综合法和分析法往往可以结合起来使用综合法的使用是“由因索果”分析法证明问题是“执果索因”它们是两种思路截然相反的证明方法分析法便于寻找解题思路而综合法便于叙述因此使用时往往联合使用分析法要注意叙述的形式：要证A只要证明BB应是A成立的充分条件 复习反证法时注意：一是“否定结论”部分把握住结论的“反”?二是“导出矛盾”部分矛盾有时是与已知条件矛盾有时是与假设矛盾而有时又是与某定义、定理、公理或事实矛盾因此要弄明白究竟是与什么矛盾. 对于些难于从正面入手的数学证明问题解题时可从问题的反面入手探求已知与未知的关系从而将问题得以解决因此当遇到“否定性”、“唯一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时宜选用反证法 【专题综合】 推理是数学的基本思维过程,高中数学课程的重要目标就是培养和提高学生的推理能力,因此本部分内容在高中数学中占有重要地位,是高考的重要内容.由于解答高考试题的过程就是推理的过程,因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中.在复习时,应注意理解常用的推理的方法,了解其含义,掌握其过程以解决具体问题.因此XX年、xx年山东卷、广东卷、海南、宁夏卷没有单独考查此内容也在情理之中XX年的高考题中只有江苏卷、福建卷、浙江卷的高考试题中出现了合情推理与演绎推理的试题但是今后的高考中考查推理内容,最有可能把推理渗透到解答题中考查因为解答与证明题本身就是一种合情推理与演绎推理作为一种推理工具是很容易被解答与证明题接受的. 1.与数列结合考察推理 例1(09浙江文)设等差数列的前项和为则成等差数列.类比以上结论有：设等比数列的前项积为则成等比数列. 答案. 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题既考查了数列中等差数列和等比数列的知识也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 【解析】对于等比数列通过类比有等比数列的前项积为则成等比数列. 2.与解析几何集合考察推理 例2(03年上海)已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点点是椭圆上的任意一点当直线的斜率都存在时则是与点位置无关的定值试对双曲线写出具有类似特性的性质 答案:. 3.与立体几何结合考察推理 例3在DEF中有余弦定理：.拓展到空间类比三角形的余弦定理写出斜三棱柱ABC的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式并予以证明. 分析根据类比猜想得出. 其中为侧面为与所成的二面角的平面角. 证明：作斜三棱柱的直截面DEF则为面与面所成角在中有余弦定理： 同乘以得 即 【变式】类比正弦定理：如图在三棱柱ABCA1B1C1中二面角BAA1C、CBB1A、BCC1A所成的二面角分别为、则有 证明：作平面DEF与三棱柱ABCA1B1C1侧棱垂直分别交侧棱AA1BB1CC1于点DEF则= 在DEF中根据正弦定理得即 而且因此. 例4(XX广东理)如果一个凸多面体棱锥那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中工有对异面直线则=12;=.(答案用数字或的解析式表示) 4构造数表考察推理 例5(XX湖南理)将杨辉三角中的奇数换成1偶数换成0得到如图1所示的01三角数表.从上往下数第1次全行的数都为1的是第1行第2次全行的数都为1的是第3行第次全行的数都为1的是第行;第61行中1的个数是32. 第1行11 第2行101 第3行1111 第4行10001 第5行110011 图1 5.实际问题 例6(XX年广东文10).图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 A.18B.17C.16D.15 【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设的件数为(规定:当时,则B调整了件给A,下同),的件数为,的件数为,的件数为,依题意可得,从而,故调动件次,画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C). 【答案】:C 5.与其他章节知识结合考察证明 例7(xx年海南宁夏21)设函数曲线在点处的切线方程为y=3. (1)求的解析式： (2)证明：函数的图像是一个中心对称图形并求其对称中心; (3)证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值并求出此定值. 解：(1) 于是解得或 因故. (2)证明：已知函数都是奇函数. 所以函数也是奇函数其图像是以原点为中心的中心对称图形.而.可知函数的图像按向量平移即得到函数的图像故函数的图像是以点为中心的中心对称图形. (3)证明：在曲线上任取一点. 由知过此点的切线方程为 . 令得切线与直线交点为. 令得切线与直线交点为. 直线与直线的交点为. 从而所围三角形的面积为. 所以所围三角形的面积为定值. 6.综合应用数学归纳法证明与正整数有关的问题 例8(XX山东卷理)等比数列的前n项和为已知对任意的点均在函数且均为常数)的图像上. (1)求r的值; (11)当b=2时记 证明：对任意的不等式成立 解:因为对任意的,点均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为, (2)当b=2时, 则,所以 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边= 所以当时,不等式也成立 由、可得不等式恒成立. 点评:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 7.创新性问题 例9(XX北京理)(本小题共13分)已知集合其中由中的元素构成两个相应的集合：. 其中是有序数对集合和中的元素个数分别为和. 若对于任意的总有则称集合具有性质. (I)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合写出相应的集合和; (II)对任何具有性质的集合证明：; (III)判断和的大小关系并证明你的结论. (I)解：集合不具有性质. 集合具有性质其相应的集合和是 . (II)证明：首先由中元素构成的有序数对共有个. 因为所以; 又因为当时时所以当时. 从而集合中元素的个数最多为 即. (III)解：证明如下： (1)对于根据定义且从而. 如果与是的不同元素那么与中至少有一个不成立从而与中也至少有一个不成立. 故与也是的不同元素. 可见中元素的个数不多于中元素的个数即 (2)对于根据定义且从而.如果与是的不同元素那么与中至少有一个不成立从而与中也不至少有一个不成立 故与也是的不同元素. 可见中元素的个数不多于中元素的个数即 由(1)(2)可知. 【专题突破】 1.观察下列数的特点 1223334444中,第100项是(C) (A)10(B)13(C)14(D)100 解析.由规律可得:数字相同的数依次个数为 1,2,3,4,n由100n得,n=14,所以应选(C) 2.在平面几何里有勾股定理：“设ABC的两边ABAC互相垂直则AB2+AC2=BC2”拓展到空间类比平面几何的勾股定理“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直则可得”(C) (A)AB2+AC2+AD2=BC2+CD2+BD2(B) (C)(D)AB2AC2AD2=BC2CD2BD2 3.由正方形的对角线相等;平行四边形的对角线相等;正方形是平行四边形根据“三段论”推理出一个结论则这个结论是(A) (A)正方形的对角线相等(B)平行四边形的对角线相等 (C)正方形是平行四边形(D)其它 4.若数列(nN)是等差数列,则有数列b=(nN)也是等差数列类比上述性质相应地：若数列C是等比数列,且C0(nN),则有d=(nN)也是等比数列 5.依次有下列等式：按此规律下去第8个等式为8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+2