指、对数函数,幂函数.doc

指、对数函数,幂函数指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。一、 指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘aaa(n个)=an导出乘方，这里的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地，如果a(a0,a1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b其中a叫做对数的底数，N叫做真数。ab=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。二、指数运算与对数运算的性质1指数运算性质主要有3条：axay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=axbx（a0,a1,b0,b1）2对数运算法则（性质）也有3条：（1）loga(MN)=logaM+logaN （2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaMn=nlogaM(nR)(a0,a1,M0,N0)3指数运算与对数运算的关系：X=alogax；mlogan=nlogam4负数和零没有对数；1的对数是零，即loga1=0；底的对数是1，即logaa=15对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论1：logamNn=(n/m)logaN推论2：三、指数函数与对数函数函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数。它的基本情况是：（1）定义域为全体实数（-，+）（2）值域为正实数（0，+），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y0（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数-对数函数。（4）单调性是：当a1时为增函数；当0a0,a1),f(x+y)=f(x)f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数，它的基本情况是：（1）定义域为正实数（0，+）（2）值域为全体实数（-，+）（3）对应关系为一一映射，因而有反函数指数函数。（4）单调性是：当a1时是增函数，当0a0,a1)，f(xy)=f(x)+f(y),f(x/y)=f(x)-f(y)例题讲解1若f(x)=(ax/(ax+a)，求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001) 25log25等于：（ ）（A）1/2 （B）(1/5)10log25 （C）10log45 （D）10log523计算4试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。5已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随a,b的取值而定例题答案：1分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征，发现规律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=1，而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+a)+(a1-x/(a1-x+a)=(ax/(ax+a)+(a/(a+axa)=(ax/(ax+a)+(a)/(ax+a)=(ax+a)/(ax+a)=1规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：原式=f(1/1001)+f(1000/1001)+f(2/1001)+f(999/1001)+f(500/1001)+f(501/1001)=(1+1+1)5000个=500说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。（1）取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2)，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001)的值=。（2）上题中取a=9，则f(x)=(9x/(9x+3)，和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+f(n-1)/n).（3）设f(x)=(1/(2x+2)，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为。这就是2003年春季上海高考数学第12题。2解：5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)10log25选（B）说明：这里用到了对数恒等式：alogaN=N(a0,a1,N0)这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。3解法1：先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。解法2：利用算术根基本性质对真数作变形，有 说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。4解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记122003=a0，则有(122002+1)/(122003+1)(122003+1)/(122004+1)=(a/12)+1)/(a+1)(12a+1)/(a+1)=(a+12)(12a+1)/(12(a+1)2)=(12a2+145a+12)/(12a2+24a+12)1故得：(122002+1)/(122003+1)(122003+1)/(122004+1)5解：设lglog310=t，则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t 而f(t)+f(-t)=f(-t)=8-f(t)=8-5=3说明：由对数换底公式可推出logablogba=(lgb/lga)(lg