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文档简介
指、对数函数,幂函数指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中,都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。一、 指数概念与对数概念:指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘aaa(n个)=an导出乘方,这里的n为正整数。从初中开始,首先将n推广为全体整数;然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指数;最后,在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出:“对数源出于指数”。一般地,如果a(a0,a1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b其中a叫做对数的底数,N叫做真数。ab=N与b=logaN是一对等价的式子,这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时,是指数运算,当给出N求b时,是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。二、指数运算与对数运算的性质1指数运算性质主要有3条:axay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=axbx(a0,a1,b0,b1)2对数运算法则(性质)也有3条:(1)loga(MN)=logaM+logaN (2)logaM/N=logaM-logaN(3)logaMn=nlogaM(nR)(a0,a1,M0,N0)3指数运算与对数运算的关系:X=alogax;mlogan=nlogam4负数和零没有对数;1的对数是零,即loga1=0;底的对数是1,即logaa=15对数换底公式及其推论:换底公式:logaN=logbN/logba推论1:logamNn=(n/m)logaN推论2:三、指数函数与对数函数函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数。它的基本情况是:(1)定义域为全体实数(-,+)(2)值域为正实数(0,+),从而函数没有最大值与最小值,有下界,y0(3)对应关系为一一映射,从而存在反函数-对数函数。(4)单调性是:当a1时为增函数;当0a0,a1),f(x+y)=f(x)f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数,它的基本情况是:(1)定义域为正实数(0,+)(2)值域为全体实数(-,+)(3)对应关系为一一映射,因而有反函数指数函数。(4)单调性是:当a1时是增函数,当0a0,a1),f(xy)=f(x)+f(y),f(x/y)=f(x)-f(y)例题讲解1若f(x)=(ax/(ax+a),求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001) 25log25等于:( )(A)1/2 (B)(1/5)10log25 (C)10log45 (D)10log523计算4试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。5已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是( )(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随a,b的取值而定例题答案:1分析:和式中共有1000项,显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征,发现规律,注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=1,而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+a)+(a1-x/(a1-x+a)=(ax/(ax+a)+(a/(a+axa)=(ax/(ax+a)+(a)/(ax+a)=(ax+a)/(ax+a)=1规律找到了,这启示我们将和式配对结合后再相加:原式=f(1/1001)+f(1000/1001)+f(2/1001)+f(999/1001)+f(500/1001)+f(501/1001)=(1+1+1)5000个=500说明:观察比较,发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。(1)取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题:设f(x)=(4x/(4x+2),那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001)的值=。(2)上题中取a=9,则f(x)=(9x/(9x+3),和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+f(n-1)/n).(3)设f(x)=(1/(2x+2),利用课本中推导等差数列前n项和的方法,可求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为。这就是2003年春季上海高考数学第12题。2解:5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)10log25选(B)说明:这里用到了对数恒等式:alogaN=N(a0,a1,N0)这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。3解法1:先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。解法2:利用算术根基本性质对真数作变形,有 说明:乘法公式的恰当运用化难为易,化繁为简。4解:对于两个正数的大小,作商与1比较是常用的方法,记122003=a0,则有(122002+1)/(122003+1)(122003+1)/(122004+1)=(a/12)+1)/(a+1)(12a+1)/(a+1)=(a+12)(12a+1)/(12(a+1)2)=(12a2+145a+12)/(12a2+24a+12)1故得:(122002+1)/(122003+1)(122003+1)/(122004+1)5解:设lglog310=t,则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t 而f(t)+f(-t)=f(-t)=8-f(t)=8-5=3说明:由对数换底公式可推出logablogba=(lgb/lga)(lg
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