（企业管理专业论文）亚式期权定价与编程计算.pdf

摘要 论文题目：亚式期权定价与编程计算 学科专业：企业管理 研究生：袁琳 指导教师：扈文秀教授 摘要 签名： 签名： 在金融市场复杂多变的今天，衍生性金融产品以其强大的杠杆作用和避险功能而备受 广大投资者欢迎，期权就是具有代表性的一种金融衍生工具。在国外成熟市场中，期权能 够有效规避市场风险，是因为金融证券的收益与相应的金融衍生物的收益总是负相关的。 理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其持有的证券和相应衍生物的比例，就可以获 得无风险收益，而这种组合的确定和衍生产品定价关系密切。上个世纪七十年代初期， b l a c k 和s c h o l e s 通过研究股票价格的变化规律，运用套期傈值的思想，成功的推导出无 分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程，为期权的定价提供了新的思路，极大 的推进了金融衍生市场的稳定与完善。其后又有很多学者致力于非标准型期权的研究，这 类期权由于能够满足不同投资者的特殊需要而呈现出较强的优越性，它们大都具有路径依 赖特征，构建定价模型时需要考虑更多因素，相对比较复杂。而且，除了几何平均期权有 解析解外，其它期权类型只能通过数值方法或者解析模拟方法得到能够收敛的封闭近似 解。本文所要研究的亚式期权有不同的类型，其定价过程很难通过统一的方法实现，这也 是论文选题时首先考虑的因素，拟通过编程设计实现亚式期权定价的辅助计算，简化期权 定价过程的运算量，为我国期权市场的推出和以亚式期权方式定价提供参考。 本文先介绍了期权及其定价理论，仍引入b l a c k s c h o l e s 的模型假定，用维纳过程 ( w i e n e rp r o e e s s ) 亥l j 画股票收益率的随机波动，采用与弱型市场有效性相一致的段价的马尔 可夫性( m a r k o vp r o p e r i t y ) 来描述股票价格变化的随机过程：接着在b s 模型的推导基础上 得出了适用于路径依赖型期权的统一定价公式，然后按照亚式期权的路径特征和计算均值 的两种方法细化出八个模型，分别是：连续情形下具有固定敲定价格的几何平均亚式期权， 离散情形下具有固定敲定价格的几何平均亚式期权，连续情形下具有浮动敲定价格的几何 平均亚式期权，离散情形下具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权；连续情形下具有固定 敲定价格的算术平均亚式期权，离散情形下具有固定敲定价格的算数平均亚式期权，连续 情形下具有浮动敲定价格的算术平均亚式期权，离散情形下具有浮动敲定价格的算术平均 亚式期权。并对这八种类型的亚式期权定价分别进行数学推导，创建e x c e l 表单模型进 行编程计算。最后，以权证产品为例，分别用亚式期权定价方法和欧式期权定价方法对其 西安理工大学硕士学位论文 进行定价比较，证实了亚式期权产品在控制价格波动风险与成本方面具有明显的优越性， 既提供了有效的保值手段，大幅降低套期保值的成本，又能降低市场风险，具备较强的抵 抗市场操纵的能力。 关键词：亚式期权，b s 方程，期权定价，维纳过程，偏微分方程，编程计算 a b s t r a c t t i t l e ：t h ep r i c i n go fa s i a no p t l o n sa n dp r o g r a m e m a j o r ：e n t e r p r i s em a n a g e m e n t s t u d e n tn a m e ：y u a nl i n a d v i s o rn a m e ：h uw e n x i u s i k扒c09nature：卜 扒l “ s i g n a t u r e ：h 川膨叫g 机 a b s t r a c t t h eo p t i o ni st h ed e r i v a t i v e s ，w h i c hi sd e s i g n e dt oa v o i df a c i n gt h em a r k e tr i s k s i tc a nb e p r o v e dt h a ti n v e s t o r sc a ng e tt h eb e n e f i tw i t h o u tr i s ki fo n t yt h e yc h o o s et h er i g h tr a t i oo ft h e i r i n v e s t m e n t , s t o c k sa n dd e r i v a t i v e s o nt h i sp o r t f o l i ow ec a nf i n dt h ew a yt op r i c et h e s e d e r i v a t i v e ss t o c k s i n1 9 7 0 s ，b l a c ka n ds c h o l e sg o tt h es t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w h i c hs u c c e s s f u l l ys o l v e dt h ep r o b l e mo fp r i c i n gt h ee u r oo p t i o nw i t h o u t c o n s i d e r i n gi n t e r e s t t h i sw a y w en o wc a l lb sm o d e lg i v eu sa v e r yg o o di d e at op r i c eo p t i o n s a f t e rt h e nm a n yr e s e a r c h e sw e r em a d eo ns o m ek i n d so fn o n - s t a n d a r do p t i o n s b e c a u s em o s to f t h e s eo p t i o n sh a v et h ec h a r a c t e ro fp a t h d e p e n d i n g , a n dm o r ef a c t o r sh a v et ob ec o n s i d e r e d ，t h e p r o c e s so fv a l u i n gi sc o m p l i c a t e da n dh a r d b e s i d e s ，o n l yg e o m e t r ys t y l ea s i a no p t i o nh a st h e a n a l y t i c ar e s u l t ，o t h e rs t y l e sh a st og e tt h es u b s o l u t i o nb yw a y so fn u m e r i c a lv a l u em e t h o d t h e a s i a no p t i o nh a ss om a n yk i n d so fs t y l e s ，s ow eh a v et ot h i n ko v e re a c ht y p et om o d e li t a tf i r s t ，w ei n d i c a t et h eo p t i o na n dt h eo p t i o np r i c i n gt h e o r y t h e nw et r yt of i n dt h e a l l p u r p o s ep r i d n gm o d e ls u i tf o ra l lk i n d so fp a t h - d e p e n d i n go p t i o n s i nc h a p t e r5a n d6w e g i v e8s t y l e so fa s i a no p t i o n ，a n dd os o m er e s e a r c ho fm a t h e m a t i c st oa c h i e v ee a c he x p r e s s i o n c o r r e c t l y w ew i l lt r yt od e s i g ns o m ep r o g r a ms e n t e n c e st os o l v et h ec o m p l i c a t e dm a t h p r o g r e s s k e yw o r d s ：a s i a no p t i o n ，b - s ，o p t i o np r i c i n g , w i e n e rp r o c e s s ，p d e ，p r o g r a m m l l i 独创性声明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：本人所呈交的学位论文是我个 人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除特别加以标注和致谢的地 方外，沦文中不包含其他人的研究成果。与我一同工作的同志对本文所论述的工作和成 果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢。 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任 ，p。 论文作者签名：丝堑生2 卵年毕月“日 学位论文使用授权声明 本人乏l 兰生生：在导师的指导下创作完成毕业论文。本人已通过论文的答辩，并 已经在西安理工大学申请博士硕士学位。本人作为学位论文著作权拥有者，同意授权 西安理工大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生撩学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的 学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；2 ) 为教学和 科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室 等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 本人学位论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理。 ( 保密的学位论文在解密后，适用本授权说明) 论文作者签名：挝导师签名：年簟月华日 1 绪论 1 绪论 在全球金融市场高速发展，金融产品极大丰富的今天，越来越多的投资者把目光投向 了衍生品交易。金融衍生工具的优势明显，能够以低廉的成本，便捷灵活的创造手段，强 大的杠杆效用，满足不同风险喜好者的目标需求，有效对冲投资风险。在欧美成熟市场中， 金融衍生品市场交投热烈，创造的价值量呈几何级数增长，其中期权产品的作用不容忽视， 无论是股票期权、股指期权，汇率期权、货币期权，还是类似期权性质的权证产品系列， 都有不俗的表现。 近年来，国际金融市场除了交易人们广为熟悉的欧式、美式等标准期权之外，还涌现 出大量由标准期权变化、组合、派生而出的新品种，即新型期权。这些非标准期权多出现 在场外交易市场，大都具备路径依赖的特征，即期权的价格不仅取决于到期日的基础资产 价格，而且取决于基础资产价格的变化路径。其中的一项代表性产品就是本文所论述的均 值期权( a v e r a g eo p t i o n s ) ，最早由美国银行家信托公( b a n k e r st r u s t ) 在闩本东京推出，故 也称其为亚式期权( a s i a no p t i o n s ) ，它可以说是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的新 型期权之一，其特点在于期权价格并不取决于基础资产在期权期满时刻的价格水平，而是 与期权在整个生命周期( 或结算期) 内的平均价格有关。 衍生品市场的蓬勃发展带给投资者和金融市场更多的信心和机会，如何合理有效地为 衍生产品定价成为关键，各国学者一直致力于这方面的研究，并取得了突破性的进展。 1 1 研究背景与意义 随着全球金融一体化步伐的加快，我国面临加入w t o 后全面开放金融市场的承诺， 如何促进我国金融市场的发展完善变得日益迫切。而目前我国金融市场中的期权工具几乎 还是空白，除了权证产品具备一些简单的期权特征以外，标准化的期权产品尚待开发，因 此对期权的研究就显得尤为重要。在对期权产品推出的研究中，选择哪一种期权类型作为 突破口是大家关注的重点。虽然说欧式期权和美式期权都是相对比较成熟的类型，且欧式 期权较易得到解析解，但从我国的国情出发，选择亚式期权似乎更加理想。 首先，对于一些合约规模较大而流动性不高的期货合约，虽然有做市商来维持其流动 性，但其作用是有限的，实力雄厚的交易方可能人为的操纵期货价格以达到期权合约有利 于己方的目的，而亚式期权具有路径依赖的特性可以有效的防止这种价格操纵行为。同样， 对于标的资产总值较小的期权品种来说，亚式期权也能够防止人为操纵标的资产价格，有 效地维护市场的公正性。 其次，对于期望套期保值的交易者来说，亚式期权可以提供风险更小的期权合约，而 且由于其较低的波动率，期权合约的价格也较低，因此更受套期保值交易者的青睐。 西安理工大学硕士学位论文 对于我国这样一个金融市场只有十几年发展历史的发展中国家来讲，市场的完备性很 低，仅有的交易品种无法实现风险的有效对冲。加速建立期权交易市场，提供更多的交易 产品给投资者，构建投资组合，规避风险，实现保值增值，应该说是迫在眉睫。 又由于交易制度、交易品种、交易者素质等各方面不利因素的影响，我国金融市场中 的各种主要产品，如股票、期货、国债等，均表现出较发达国家更大的波动性，因此在我 国开展期权交易时，应优先考虑亚式期权而不是欧式期权或美式期权。 本文拟从亚式期权产品的设计角度出发，对期权定价理论和方法进行总结和回顾，在 操作层面上保障推出亚式期权的可行性，分别从离散型和连续型两个方面提出适合各种类 型的期权定价模型，最后尝试在计算机辅助下，通过程序设计把数学推导结果以简单的方 式实现，在建立亚式期权定价模型方面做一些初步研究，并为我国期权市场采用亚式期权 定价提供参考。 1 2 研究综述 期权是7 0 年代中期首先在美国出现的一种金融创新工具，2 0 多年来它作为一种防范 风险或投机的有效手段得到了迅猛发展。国外的期权市场场内交易以欧式期权为主，对期 权定价方面的研究主要围绕b s 公式展开，现已形成较为成熟的理论体系。 虽然b s 模型存在假设方面的种种缺憾，在现实市场中不能完全吻合理论价值，但 在许多学者的进一步研究探讨中，已成为经典的期权定价方法。 亚式期权自9 0 年代初推出以来，虽然尚未正式进入场内交易市场，但因其在期权交 易成本方面的优势而备受场外交易者青睐。过去十年间，在亚式期权或更一般的路径依赖 型衍生证券的定价方面出现了多种多样的研究方法，取得了大量的研究成果，简单归类如 下： a g o n t e c a ri o 模拟 h e e n k ，k e m n a 和v o r s t 6 3 应用m o n t e c a r l o 的减少方差法计算了算术平均亚式期权， 但方差只能估计致信区间内的误差，并不能给出最大误差。 h a y k o v 运用几个平均于标准看涨期权( 到期日执行) 的组合，对它们进行m o n t e c a r l o 模拟得到了更好的控制波动率。 b 二叉树图 c h o 和l e e 通过应用二叉树模型得到了一个基于几何平均和算术平均的期权定价算 法。 r i c h k e n 和v e t s a l 对二叉树模型进行改进，用于对亚式期权估值。 2 1 绪论 c 偏微分方程逼近( p d ea p p r o a c hin g ) a l z a i r y , d e c a m p s 和k o e h l 得到了一个概括的p d e 逼近，并运用外推的有限差分方法 对期权价格进行数值近似。 b a r r a q u a n d 和p m d e t 将期权定价问题公式转化为一个退化的a d v e c t i o n d i f f u s i o np d e 并利用“前向跳格子”有限差分法得到了数值逼近。 d e w y n n e 和w i l m o t t 将此定价模型公式化为一个先行互补问题并且运用加权有限差 分方法给出了数值解。 d 一般数值方法 c a v e r h i u 和c l e w l o w 应用卷积方法和快速f o u r i e r 变换对期权价格进行了近似计算。 邵斌 6 1 提出一个在g a r c h ( f - j ( 自回归条件异方差) 模型框架下求解美式均值期权的 数值方法，这个方法利用二项式近似有效地解决了因g a r c h 模型和均值期权固有的复 杂性而带来的计算上困难。 e 解析近似 c u r r a n 提出了一种基于集合平均价格的定价方法。 l e v y 假定对数正态的分布可以用另一个对数正态分布近似，得出了欧式平均汇率期 权的封闭近似解。 m i l e v k y 和p o s n e r 利用倒g a m m a 分布作为资产价格密度函数得到了算术平均价格 亚式期权的一个封闭解表达式，当分布是对数正态随机变量的无穷和时，此方法是收敛的。 b o u a z i z ，b r i y s 和c r o u h y 得到了平均执行价格亚式期权的一个封闭近似解，并基于几 何平均价格得到了近似误差的一个上界。 目前期权定价研究已经进展到放宽各种假设条件，如j a nv e c e r 给出了在考虑股票分 红的条件下均值期权的算术平均定价模型。陈万义研究了非风险中性意义下的欧式期权定 价公式。姚落根【8 】在v a s i c e k 利率模型下，采用几何平均计算资产的平均价格，并以连续 时间的情形为例，得到了平均价格型和平均执行价格型均值期权的定价公式及买权和卖权 的平价关系。郑小迎、陈金贤【3 1 3 4 】运用证券组合模拟期权收益构造了有交易成本的欧式 期权定价基本方程，通过分析保值因子得到定价公式。章珂 1 3 1 等从风险中性定价思想角 度给出了几何平均亚式期权的定价。戴民【1 】给出了路径依赖型期权的二叉树方法。 1 3 研究思路与方法 本文的总体思路如下：首先介绍期权产品的种类与特点，重点说明亚式期权这种新型 期权的路径特征；其次在分析衍生工具价格形成规律的基础上，比较b s 模型与其他期 3 西安理工大学硕士学位论文 权定价方法，为下文选择合适的方法建立模型做准备；然后根据路径特征将亚式期权产品 分为八个类型，在b s 公式的基础上归纳出统一的定价公式，再逐一进行数学推导，并 建立e x c e l 表单模型，实现计算过程的便捷输出；最后，通过实例进行比较，欧式期权 定价与亚式期权定价方法哪一个更经济、更有效，更适合我国市场。 具体来看，本文共分八章进行论述。 第一章是引言部分，主要介绍论文的研究背景、意义，综述。 第二章到第四章是基础知识部分，包括期权的概念、期权定价理论与方法、亚式期权 的路径特征等。 第五章和第六章分别对路径为连续情况和离散情况的期权定价采取了几何与算术两 种平均方法，区别固定敲定价格与浮动敲定价格两种类型建立了八个模型，尝试用e x c e l 软件实现数据输入与计算后输出结果。 第七章为实例应用与评价，通过将市场上现有的以欧式期权定价的权证产品用亚式期 权定价模型重新定价，比较两种期权产品在我国的适用性。 第八章是结论。 由于我国目前市场上缺乏真正意义上的期权产品，已有的成熟定价理论有待在实践中 得到考验，故本文在研究时以应用研究为主，采取应用研究与理论研究相结合，定量分析 与定性分析相结合的研究方法，着重于实用性和可操作性。 具体写作思路如图1 - 1 所示： 4 1 绪论 连续 情况 下具 有同 定敲 定价 格的 几何 平均 连续 情况 下具 有同 定敲 定价 格的 算术 平均 连续 情况 下具 有浮 动敲 定价 格的 几何 平均 连续 情况 下具 有浮 动敲 定价 格的 算术 平均 离散 情况 下具 有同 定敲 定价 格的 几何 平均 离散 情况 下具 有同 定敲 定价 格的 算数 平均 离散 情况 下具 有浮 动敲 定价 格的 几何 平均 离散 情况 下具 有浮 动敲 定价 格的 算数 平均 本文中出现的字符主要有： 数学推导过程 编程计算 实例应用与评价 结论 图1 - 1 论文写作框架 f i g1 - 1 ：p a p e r f r a m e w o r k v 期权价格 【0 用期权有效期 c 购买一股股票看涨期权的价值 t 到期日 p 出售一股股票看跌期权的价值f t t 到期时间 s 标的资产价格( 本文主要指股票价格)p 期望回报率 k 敲定价格( 执行价格)。股票价格波动率 r 无风险利率j 路径变龟 q 红利率 l 路径冈子 5 西安理工大学硕士学位论文 2 期权与期权定价理论 本章首先研究期权的基本概念和特征分类，对本文的研究标的做一界定，接着介绍有 代表性的期权定价理论，主要是布莱克和斯科尔斯构造的以欧式看涨期权为标的b s 模 型。 2 1 期权的概念与期权交易的特点 期权的全称为期货合约选择权，最早出现于1 9 8 2 年1 0 月美国芝加哥期货交易所。作 为金融创新工具，2 0 多年来它已成为防范风险和投机的有效手段。 期权是一种选择权，期权的购买者在支付一定数额的权利金( 保证金) 后，即拥有在 一定时间内以一定价格出售或购买一定数量相关商品合约( 实物商品或金融商品) 的权利， 但不负有必须买入或卖出的义务。期权的买方行使权利时，卖方必须按期权合约规定的内 容履行义务。相反，买方可以放弃行使权利，此时买方只是损失权利金，同时，卖方则赚 取权利金。总之，期权的买方拥有执行期权的权利，无执行的义务；而期权的卖方只有履 行期权的义务。 期权是在商品期货市场上发展起来的，但在金融期货市场上取得了巨大的成就，尤其 是在金融衍生产品日新月异的今天，期权为各种类型的投资者提供了更多的选择机会。风 险厌恶型投资者可选择期权进行套期保值，风险偏好型可选择期权进行投机；对未来预期 看好的投资者可选择买入看涨期权或卖出看跌期权，对未来预期看空的投资者可选择买入 看跌期权或卖出看涨期权。 与远期交易和期货交易相比，期权交易有以下特征： 标的物：期权交易的标的物是一种权利，而期货交易的标的物是标准化的期货合约， 远期交易的标的物是具体的金融产品。 权利义务：期权交易的买方通过支付期权费获得了决定履行或不履行合约的权利，而 期货交易和远期交易在合约到期时，必须履行合约规定的义务。 风险责任与利润收益：期权交易的买方只承担有限风险( 期权费损失) ，而收益可能 无限；期权交易的卖方可能承担无限亏损，并只能获得有限收益( 期权费收入) 。而期货 交易和远期交易中，买卖双方的收益和风险从理论上都是无限大的。期权费也叫权利金， 是期权的买方支付的期权价格，即买方为获得期权而付给期权卖方的费用。 2 2 期权的分类 a 根据所赋予的权利不同，期权可分为：看涨期权、看跌期权和双重期权 6 2 期权与期权定价理论 看涨期权又称敲进期权、买权、买入选择权。是指买入选择权的人有权利以事先约定 的价格( 敲定价格或履约价格) ，在约定的日期或之前，向出售选择权的人买入该选择权 项下的资产，简言之，就是有权买进的选择权。 看跌期权又称敲出期权、卖权、卖出选择权。是指买入选择权的人有权利以事先约定 的价格( 敲定价格或履约价格) ，在约定的日期或之前，向出售选择权的人卖出该选择权 项下的资产，简言之，就是有权卖出的选择权。 当期权买方预期标的物价格会超出执行价格时，会买进看涨期权；反之，买进看跌期 权。 双重期权是指期权的购买者既享有在规定的有效期限内按某一具体的履约价格买进 某一特定数量的相关金融资产的权利，又享有在规定的有效期限内按某一具体的履约价格 卖出某一特定数量的相关金融资产的权利。这种期权实为在同一价格水平上，看涨期权和 看跌期权的综合运用。 b 按期权在不同时刻所处的状态可分为：实值期权( int h em o n e y ) 、两平期权( a tt h e m o n e y ) 和虚值期权( o u to ft h em o n e y ) 实值期权是指如果期权立即履约，持有者的现金流为正。s k 时，看涨期权为实值。 两平期权是指如果期权立即履约，持有者的现金流为零。s = k 时，看涨期权为两平。 虚值期权是指如果期权立即履约，持有者的现金流为负。s k 时，看涨期权为虚值。 s 代表标的资产价格，k 代表执行价格。执行价格又称履约价格，是期权的买方行使 权利时事先规定的标的物买卖价格。显然，只有当期权是实值期权时才会被执行。 c 按交易品种可分为：外汇期权、利率期权、股票期权、股票指数期权 外汇期权又称货币期权，是指外汇交易双方根据标准化合约，买方买入在一定期限内 可以按协定汇率向卖方购买或出售一定数量外汇或外汇期货合约的权利。 利率期权是指买方支付期权费后即获得在一定期限内按约定价格购买或出售一定数 量有息资产的权利。 股票期权是指买方支付期权费后即获得在一定期限内按协定价格购买或出售一定数 额的股票的权利。 股票指数期权是以股票指数为期权合约标的物的选择权，买方有权在一定期限内按履 约价格向卖方购买或出售特定的股票指数期货合约。 d 按执行时间期权可分为：欧式期权和美式期权 欧式期权是指只有在合约到期日才被允许执行的期权。 7 西安理工大学硕士学位论文 美式期权是指在合约有效期内任何交易日都可执行的期权。 e 按期权交易的场所可分为：场内交易期权和场外交易期权 有些期权交易是在专门的期权交易所进行，也有些是在证券交易所和期货交易所进 行的，这些都可归为场内交易期权类型。还有很多金融机构与大企业在交易所以外直接进 行交易，这个范围通常要广得多，被称为场外期权交易市场o t c ( o v e r - t h e c o u n t e r o p t i o n s m a r k e t s ) 。比较而言，场外交易更为普遍，规模也更大，而且金融机构可以按照企业客户 的特殊需求来设计期权合约形式内容，创新的动力更足。 f 按金融创新的发展顺序可分为：标准期权与非标准期权 随着金融市场的不断发展，许多新型期权不断涌现；如亚式期权，障碍期权等等。传 统的欧式期权和美式期权通常被称为标准期权，与之对应，这些新型期权被称为非标准期 权或奇异期权，是由金融机构为了满足市场或客户的特殊需求而专门设计的，大多数非标 准期权在场外交易，其盈亏状态和行权标准都比标准期权复杂许多。 2 3 期权定价理论 a 期权定价理论简介 现代期权定价理论体系始于1 9 0 0 年法国数学家路易斯巴舍利i 稆( l o u i sb a c h e l i e r ) 所 作的研究，在他的博士论文投机交易理论( t h e o r i ed el as p e c u l a t i o n ) 中提出了最早的期 权定价模型，奠定了现代期权定价理论的基础，同时也宣告了数学金融学的诞生。但该模 型假设股票价格过程是绝对布朗运动，允许股票价格为负，这与有限债务的假设相悖，另 外，该模型忽略了资金时间价值为正的约束条件，期权与股票间的不同风险特征，以及投 资者的风险厌恶程度，因而在应用上受到限制。 期权定价理论的最新革命开始于1 9 7 3 年，布莱克( b l a c k ) 和斯克尔斯侣c h o l e s ) 发表了 他们关于期权定价的经典论文期权定价与公司债务( t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t e l i a b i l i t i e s ) ，提出了一个对期权定价有划时代意义的模型，b s 模型。在该模型中，期权的 价格并不依赖于投资者对股票价格变动收益的预期i i ，而只和无风险利率r 有关。即通过 建立一个产生确定收入、与未来股价无关的对冲证券组合，可以获得期权的均衡价值。因 此不论股票收益如何变化，对这个证券组合的报酬均不产生任何影响。 b s 模型为投资者提供了一种方便精准地确定期权价值、控制风险的手段。模型中除 。外，其他变量均可以直接观察到。在对标的物的特性、期权及标的物的交易规则给出一 系列的假设条件后，b l a c k 和s c h o l e s 对作为标的物的股票价格运动的规律作了一个基本 的假定：即股票价格的运动是连续变化的，遵循一种被称为“带漂移的几何布朗运动”的 运动规律，在数学上则表现为“伊藤过程”，这是一种典型的随机过程。 8 2 期权与期权定价理论 b s 模型的推导思路如下： 首先假定股票价格服从对数正态分布，然后综合运用有效市场理论、无套利原理、i t o 定理，最终得到基于股价的衍生产品价格的偏微分方程，然后用热传导方程得出其解。 在该模型中首先对市场作了如下的假设： ( 1 ) 在期权有效期内，基础股票不支付红利 ( 2 ) 不考虑任何交易费用及税收 ( 3 ) 股票市场无套利机会 ( 4 ) 证券能够连续的进行交易 ( 5 ) 允许卖空股票的数量是可分的 ( 6 ) 按无风险利率r 借入和贷出资金 标的资产价格演化遵循随机微分方程嬲t 。s t ( p d t + a d z t ) ， z t 是一个标准布朗运动，i f ：e ( d z t ) o ，v a r ( d z t ) 础 根据假设条件( 7 ) ，由伊藤定理得到 押；掣+ “s 型+ 一1 拥2 掣) a t + a s 翌d z 、0 t 0 s20 s 2a s ( 2 1 ) 再利用对冲技巧，构造投资组合( p o r t f o l i o ) ：投资者卖出一份衍生证券，买入份 股票，定义此投资组合价值为，有n - v 一s ( 2 2 ) 选取适当的使得n 在( t ，t + d t ) 时段内是无风险的， 经过微小时j b j 段d t 后，投资组合的价值变化为 d i i 一删一a d s = d v a s ( a d t + t r d z ) ( 2 3 ) 一郴等+ i 1 拥2 罟嘶s ) 出+ 娟_ ) d z、a t a s2a s 2 。 7 、a s 7 根据无套利思想，该证券组合的瞬时收益率一定与其短期无风险证券收益率相同， 故有d n r h d t 伫4 ) d h = r ( v - a s ) d t 一掣a t + s 坐0 s + 兰2 d 2 s 2 祟0 s 一p s ) m + 娟掣a s 一胆 、 z 。 ，、， 仃s ( 一o v 一w z ：o ：里! 易知使等式平衡必有 、d s ，选取 a s 9 西安理工大学硕士学位论文 恰当的证券组合应当是：i + 署：股票( 买入) f 一1 ：衍生证券( 卖出) a v 即证券组合持有者每卖空一份衍生证券，再买入数量为a s 的股票。 代k ( 2 5 1 化简，得到著名的b - s 微分方程： 坐+ r s 型三盯：s 2 坚一t v ：0 4 -r v 0 一+ r 5 一c r = - 一 = a ta s2a s 2 ( 2 6 ) 欧式看涨期权的边界条件为；f - m a x ( s k ，0 ) 欧式看跌期权的边界条件为：f - m a x ( k s ，0 ) 对于欧式期权而言，可以求得b s 微分方程的解析解；而对于美式期权而言，仅能 对到b s 微分方程的数值解。 应当强调的一点是：证券组合并不是永远无风险的，只是对于无限短的时间间隔内， a v 它才是无风险的。当s 和t 变化时，a s 也将发生变化。为了保持证券组合无风险，有必 要连续调整证券组合中衍生证券和股票的比例。 记c 为t 时刻、股票价格为s 时的欧式看涨期权价格，看涨期权的b s 定价公式为： c - s o n ( d , ) 一k e ”f 4 2 ) ( 2 7 ) 其中 吐。缚 d ：一面一盯厉 ，n ( ) 是标准累计芷态分布函数。 a v n ( d ，) 度量了期权价格变化对其标的变量价格变化的变化率0 s ( 也称d e l t a 套期保值 因子) ，而n ( d ：) 是在风险中性世界中s t 大于x 的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的 概率， e 删k n ( d ：) 是x 的风险中性期望值的现值。 s n ( d 。) = e 唧 q s r n ( d 。) ，n ( d 。) 是s t 的风险中性期望值的现值。 具体的数学推导过程如下： 风险中性世界里，买权价格应为m a x ( s k o ) 期望值的现值，即： 1 0 2 期权与期权定价理论 c ( s ，t ) 盯一赁m a x ( s k , 0 ) f ( s ) d s = e - a - 。f ：( s k ) f ( s ) d s ( 2 8 ) 由于假设标的资产的收益率服从正念分布，标的资产的价格服从对数正态分布，有 1 1 1 r s s ( ( t t ) ) 1 n i 肛( t t ) ，盯2 ( t t ) 】，p 为标的资产收益率的期望值 亿鸳掣删梧删 功瓜柙- 1 ) 地【器】 桀；e 幻历+ u ( r - 0 , s ( t ) _ s ( te z a 而印- 1 ) s ( t ) 、 将s f r ) 一k 代入( 2 1 0 ) ，可得到( 2 4 ) 的积分下限： ! = 显k 竺：竺璺竺二- d a 4 t - ta 4 t t ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) f l j ( 2 9 ) 式知，s f i ) 一* 时，z m ，表明( 2 8 ) 式得积分上限仍为* 。 1 1 1 t s s ( ( t t ) ) 1 n l “( t t ) ，2 口一t ) 】，s ( t ) 是标的资产当前价格，为已知的正值，所以， i n s ( i 。) n i p ( t t ) + i n s ( t ) ，仃( i 一t ) 】 由对数正态分布密度函数的具体表达式可知： 二 【l n 晋州t - t ) 】2 1 f s ( ) 卜茹而示雨e 2 一丌“ s ；s ( t ) e 功瓜+ p ( t i ) 1 z 2 _ b o 2 雨而丽稚乖乖 对( 2 1 0 ) 式两边求微分，得到 a s ( t ) ：s ( t ) e 2 口t 4 y i - t 州t - i ) 盯而0 z t l s ( t ) 螂( t ) = 摆e 专d z ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 1 1 苎塞墨三垄兰翌主兰垒丝查 将( 2 1 4 ) 代7 x ( 2 8 ) 式得： z 2 s ( t ) e 。口扁+ ( p i 一) e td z e 一盯o 令- 一z + 仃打j z - o r 而一，z 2 - o r 2 ( t t ) 一2 ( 7 w 西+ 2 , r d t o - d z 当z d 时。_ d + 盯瓜 当z 一时， - - c 0 将代入( 2 1 5 ) 式右边第一项，得到 将代x ( 2 1 5 ) 式右边第二项，得到 一e 廿o 电缘 将( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 代入( 2 1 5 ) n ， 删- 压州争胁- r 1， + 口。r 一一2 盯 p 一口2 x t t ) ，e - 上 代入( 2 1 8 ) ， c ( s ，t ) 一 矛 ( 2 1 5 ) e 2d z 一( t - 1 ) - 2 0 洲r - t + a ， x t - o 。f 了一矗 丑业雩巫垡， ( 2 1 6 ) e d 订吐， 一e 0 9 矿 e 2d c o ( 2 1 7 ) x t - t ) 山f 蠢拉e 一 “d 沂im 2 s ( t ) f e - t d a ，+ e 。巾。 s ( t ) n ( d + c r 打j ) 一k e 一酊一o n ( d ) e 2d r o e 2d t o f 2 1 8 ) f 2 1 9 ) 乞一 w e i 一 】： 兰v 廊 w 一 “ 口 厅 一 析 伽 沁 f 之铲 刚|。 咿= ? f 拶p 一泓岳岳 豇 k 2 期权与期权定价理论 令d l = d + o 、t t , d 2 = d 得到欧式看涨的期权定价公式 c ( s ，t ) = s ( t ) n ( d ，) 一k e 一盯一札n ( d 2 )( 2 2 0 ) 相同条件下欧式看跌期权的价格可由看跌期权和看涨期权的平价关系( p u t c a l l p a r i t y ) 得到： 聆t ) = c s + 防删一删n ( 也) + 赋删n ( 一d 2 ) ( 2 2 1 ) b l a c k 和s c h o l e s 因此而共同获得了1 9 9 7 年的n o b e l 经济学奖。 b l a c k s c h o l e s 模型的卓越之处主要体现在： 首先，在股价服从几何布朗运动的理想化市场条件下，发现了欧式看涨期权的套期保 值策略。指出拥有看涨期权与拥有这种策略是完全等价的，从而得到该策略对应的初始财 富即为期权唯一的公平价格，它与投资者的风险态度无关。 其次，给出了操作简单的欧式看涨期权的定价公式。 然而b l a c k s c h o l e s 模型并不完美，越来越多的金融实践已经充分表明，b l a c k s c h o l e s 模型关于基本资产价格( 过程x ) 的变动规律的假设( 几何布朗运动) 与实际存在严重的偏 离。由于未定权益问题的求解取决于基本资产价格( 过程) ( ) 的变动规律，故b l a c k - s e h o l e s 模型并不是对真实现象的很好近似。 目前围绕b l a c k s c h o l e s 模型的改进提出了许多新模型，由此产生了许多新方法，这 些方法进一步表明了随机分析与金融的不可分割的联系。 根据有效金融市场( 弱有效) 假设，市场不存在套利机会( f r e el u n c h ) 。从数学上，无套 利现象等同于过程x 存在等价鞅测度q ，即q p ，且过程x 为q 鞅，这个结论被称为资 产定价的第一个基本定理。资产定价的第二个基本定理描述为：金融市场具有完备性 ( c o m i l e t c ) 的充要条件为过程x 的等价鞅测度是唯一的。i 市场完备就是指其中的每个未定权益都是可达的( a t t a i n a b l e ) ，或可复制的 ( r e p l i c a t i n g ) 。从数学的角度来说，市场完备等价于过程x 具有唯一的等价鞅测度，对于 一般模型，市场是不完备( i n c o m p l e t e ) l 构l ，这在数学上意味着过程x 的等价鞅测度( 又称风 险中性测度) 是不唯一的，而在经济学上意味着绝大多数未定权益不存在与投资者风险态 度无关的唯一定价，不可能完全化解未定权益所带来的风险，即不存在可完全套期保值的 策略( p e r f e c th e d g e ) 。 对于这种一般性的不完备市场，目前已成为数理金融学研究的一个热点问题，已出现 许多不同的研究方法，具有代表性的策略是： ( 1 ) 在局部风险最小准则下讨论“局部风险最小”( l o c a lr m i n i m a l i t y ) 策略； ( 2 ) 在全局风险最小准则下寻求“方差最优”( v a r i a n c e o p t i m a l ) 策略： 西安理工大学硕士学位论文 任何一笔收益不确定的财富即未定权益都具有风险。对于完备市场，其中的未定权益 的风险达到极小值零，即其中的未定权益本质上不存在风险。然而，市场一般是不完备的， 对这种市场的大部分未定权益，不论采用什么策略都不可能完全化解其中的风险。 无论局部风险最小策略还是方差最优策略，其本质都是从某种程度上最大限度地化解 风险。 b s 模型可以说是解决欧式期权定价最为有效的手段之一，但其推导及运用同样受到 各种条件的约束，过于严格的假设削弱了该定价公式在现实中的运用。考克斯、罗斯和罗 宾斯坦( c o x ，r o s s ，a n dr u b l n s t e i n ) 于1 9 7 7 年提出了二叉树模型，哈里森和克雷普斯( h a r r i s o n a n dk r e p s ) 提出了多时段的鞅方法和套利。1 9 8 1 年哈里森和普利斯卡( h a r r i s o na n dp l i s k a ) 提出了等价鞅测度的概念，这些都为用随机的方法解决期权定价问题奠定了基础，提出了 新的研究思路。 b 期权定价的基本原理 金融学研究的对象之一就是未定权益( 或称衍生证券) ，常见的未定权益有：远期合约 ( f o r w a r dc o n t r a c t s ) 、期货( f u t u r e s ) 、期权( o p t i o n s ) 和互换( s w a p s ) 等。 研究未定权益要解决的主要问题就是如何确定未定权益的价格，即未定权益的定价问 题( v a l u a t i o n ) ；其次是如何构造投资策略，尽可能的化解由于出售未定权益而带来的风险 ( 购买期权实质上等于购买保险) ，即如何构造套期保值或对冲策略( h e d g i n g ) 。 在所有未定权益中的研究中关于期权的应用内容最为广泛，这是因为与其他未定权益 相比期权更易于定价，许多未定权益可表示为若干期权合约的组合形式。各种未定权益的 定价原理是一样的，有可能通过期权定价方法找到一般未定权益的定价理论。 研究未定权益及投资消费问题的强有力工具是包括鞅论在内的随机分析，期权定价的 主要研究工具是随机过程的一个分支一随机微分方程，随机微积分起源对于马尔可夫过程 结构的研究。 伊藤( i i o ) 在探讨马尔可夫过程的内部结构时，认为布朗运动( 又称维纳过程) 是最基本 的扩散过程，能够用它来构造出一般的扩散运动。 布莱克与斯科尔斯考察一类特殊的扩散过程：d s2 z s d t + o s d