重庆市2019年中考数学实现试题研究几何图形的相关证明及计算题库.docx

几何图形的相关证明及计算1.已知，在RtABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD.（1）如图，若点E在AB中点处，连接DE，若AD=1，求点D到AC的距离；（2）如图，点E在AB上，点F在AC上，连接DE、DF，若DEDF，连接EF，求证：BE2+CF2=EF2. 第1题图（1） 解：在RtABC中，AB=AC,D为BC的中点，ADBC，B=45，ABD为等腰直角三角形，AD=BD=1，AB=,E为AB的中点，DEAB，DE=AB=，AD为BAC的角平分线，点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即DE的长为；（2） 证明：如解图，延长ED至点M，使DM=DE,连接FM、CM.第1题解图A=90，AB=AC，B=ACB=45.点D是BC的中点，BD=DC.在BDE和CDM中，,BDECDM，MC = BE，B =MCD =ACB =45，FCM=90，FM 2=CM 2+CF 2=BE 2+CF 2.DEDF，DE=DM，EF=FM,BE2+CF2=EF2.2.已知，在ABCD中，连接对角线AC，CAD的平分线AF交CD于点F，ACD的平分线CG交AD于点G，AF、CG交于点O，点E为BC上一点，且BAEGCD.(1)如图，若ACD是等边三角形，OC2，求ABCD的面积；(2)如图，若ACD是等腰直角三角形，CAD90，求证：EC =AG.第2题图(1)解：ACD为等边三角形，CADACD60.AF、CG分别平分CAD、ACD，CAFCAD6030，ACGDCG6030，且AFCD，CD2CF，CAOACO30，AOCO2.在RtOCF中，DCG30，OFOC21，CF，AFAOOF213，CD22，SABCDCDAF236；(2)证明：如解图，延长OF到点H，使FHOF，连接HD，OHOFFH2OF.第2题解图ACD为等腰直角三角形，AF平分CAD，CFDF，AFCD，又CFODFH，CFO DFH ，OCFHDF， CGHD，AOGH，AGOADH. 在RtOCF中，OCFCOF90，在RtACG中，ACGAGC90，CG平分ACD，ACGFCG，COFAGC，AOGAGC，AOAG，HADH，AHAD，AHAOADAG，即OHGD，2OFGD.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，BACACD.BAEDCG，BACBAEACDDCG，即EACACG，AECG，四边形AECG为平行四边形，ECAG.3.如图在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，ADAO，点E为OA中点（1）若DECD，CD6，AD2，求DE的长； （2）证明：CD2DE第3题图（1）解：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，点E为OA中点，ADAO，AD2，OE，OC2，CEOE+OC3，DECD，CD6，DE3；（2）证明：如解图，取AD的中点F，连接OF，第3题解图ADAO，点E为OA中点，AEAF，在ADE和AOF中，ADEAOF，DEOF，OAOC，AFDF，CD2OF，CD2DE.4.如图，在菱形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接AE，EB，过点D作DHAE于点H（1）若AB13，DH5，求HE的长；（2）求证：AHCE+EH第4题图（1）解：四边形ABCD是菱形，ADAB13，EB，AEAB13，DHAE，AH=12,EHAE-AH13-121；（2） 证明：如解图，过点D作DFBC的延长线于点F，连接DE，第4题解图四边形ABCD是菱形，ABCD，ADBC，ADCD，1B，23，B2，13，DHAE，DFCF，4F，在ADH和CDF中，ADHCDF，AHCF，DHDF，在RtDEH和RtDEF中，,RtDEHRtDEF，EHEF，CFCE+EF，AHCE+EH5.如图，在等腰RtABC中，ACB =90，AC =BC，点F是AC边的中点，过点C作BF的垂线，垂足为点H，交AB于点D，CE平分ACB，交BF于点E.（1） 若AC =8，求CH的长度；（2） 求证：BE =2EF.第5题图（1） 解：AC =8，F是AC的中点，AC =BC，CF =AC =4，BC =8，ACB =90，BF =4,由三角形面积公式得，SBCF =BFCH=CFBC，BFCH =CFBC，CH =；（2） 证明：如解图，延长CE交AB于点M，连接MF，过点F作FNCD，与AB交于点N,第5题解图ACB =90，AC =BC,CE平分ACB，CM AB，CM =AM =BM，点F是AC的中点，FNCD，AM =CM，FN是ACD的中位线，CD =2FN，CHE =BME =90，CEH =BEM，ECH =EBM，ACM =ABC =45，ACD =CBE，在ACD和CBE中，ACD CBE，CD =BE，点F是AC的中点，AM =CM，MFA =90，MF =AF =CF，EMF =A =45，CDBF，FNCD，EFN =EHD =90，MFA -MFN=EFN -MFN，即AFN =MFE，AFN MFE，FN =FE，又CD =2FN，CD =BE，BE =2EF.6.已知ABC和ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上（1）如图，当ACDE，且 AD2时，求线段BC的长度；（2）如图，当且CDBE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DFEG第6题图（1）解：如解图设AC与DE交于点F，ABC和ADE都是等边三角形，ACDE，AD2，BCAC，DEAD2，DFDE1，AFCF，AF ，AC2AF2，BC2；第6题解图（2）证明：如解图连接CE、GF，ABC和ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上ABAC，ADAE，BACDAEAED60，ADB120，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE，BDCE，AECADB120，CEDAEC-AED60，CDBE，DCE30，DECE，线段BC的中点为F，线段DC的中点为G，FGBD，FGBD，FGDE，FGDE，四边形DFGE是平行四边形，DFEG7.如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD2CD，点E在AD边上(1)如图，若ECD30，CE4，求AEC的面积；(2)如图，延长BA至点F使得AF2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DHEG于点H，连接AH，求证：FHAHDH.第7题图(1)解：在RtEDC中，ECD30，EDEC42，DCECcos 3042，AE2DCED42，SAECAEDC(42)2122；(2) 证明：如解图，过A作AMAH，交FG于点M，第7题解图MAHMADDAH90，又FADMADFAM90，FAMDAH，AFCD，FEGD，DHEG，DHEHDGEGD90，EDGEDHHDG90，EGDEDH，FEDH，又AF2CD，AD2CD，AFAD，AFMADH，AMAH，FMDH，MAH是等腰直角三角形，MHAH，FHMHFM，FHAHDH.8.如图，在等腰RtABC中，BAC=90，AB=AC，AE为线段BD的垂直平分线，垂足为E.连接DC交AE于点F.（1）如图，连接BF、AD，若ABF =15，AD =2，求DC的长； （2）如图，取DC的中点M，取AF的中点N，连接MN.求证：MNAF. 第8题图（1） 解：AE为线段BD的垂直平分线，ADF ABF，ADF =ABF =15，AB =AD，AB =AC =AD ,ACD =ADC =15，FBC =15+45=60，BCF =45-15=30，BFC =90，在RtBCF中，BF =BC =2，FC =2.又DF =BF =2，DC =DF +FC =2+2；（2）证明：如解图，连接BF、AD，则ABF =ADF，由AD =AB =AC，得ADF =ACF，ABF =ACF.BFC =BAC =90，DF =BF，BDF为等腰直角三角形，又EF垂直平分BD，DE =BE =EF.过点C作CHEA，交EA的延长线于点H，连接DN并延长交CH于点I，HCA +CAH =90，BAE +CAH =90，BAE =HCA，AB =AC，AEB =CHA =90，BEAAHC，HC =AE , AH =BE =EF，点N为AF的中点，FN =AN,EN =NH,DEN =IHN=90，DNE =INH，DEN IHN，HI =DE =EF,DN =NI,MN为DIC的中位线，MNIC，ICEN，MNEH，即MNAF.第8题解图9.如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CFDE，点M为线段CF上一点，使DMBE，DCMDMF（1）若AB13，DE10，求CF的长度；（2）求证：CMBC第9题图（1）解：四边形ABCD是平行四边形，CDAB13，F为DE中点，DFDE5，CFDE，CF12； （2）证明：如解图，连接CE，第9题解图DCMDMF，DMFCDM+DCF3DCM，CDM2DCM，ABCD，CDF+BEF180，CDF+CEF+CEB180，CFDE，F为DE中点，CDCE，CDFCEF，2CDF+CEB180，CDF90-DCM，CEB2DCM，CDMCEB，在CDM和CEB中，CDMCEB，CMBC10.如图，在ABC中，ABAC，点D是ABC内一点，ADBD，且ADBD，连接CD过点C作CEBC交AD的延长线于点 E，连接BE过点D作DFCD交BC于点F（1）若BDDE，CE，求BC的长；（2）若BDDE，求证：BFCF.第10题图（1）解：BDAD，点E在AD的延长线上，BD