多元函数的极限与连续.ppt

1.平面点集的概念,4.2多元函数的极限与连续,（1）邻域,（2）内点,（3）边界点,E的全体界点组成的集合，称为E的边界.,若在P点的任意邻域内既含有属于E的点，又有不属于E的点，则称P是E的界点.,开集：若E的所有点都是内点,则称E为开集.,开区域：连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,闭区域：,连通性：如果点集E内任何两点，都可用完全属于E的折线连接起来，则称E为连通集.,有界集：对于平面点集E，若存在正数k,使得，其中是坐标原点，则称E是有界集.,边界点,连通性,内点,邻域,区域,开区域,邻域,内点,边界点,闭区域有界区域,归纳如下：,2.二元函数的定义,点集D-定义域，,-值域.,x、y-自变量，z-因变量.,例如，血液中药物的浓度函数某药物注射入肌肉组织后，它扩散到血液中.该药物在血液中的浓度C（单位：mg/l）是注入药物量x（单位：mg/l)和注射完成后的时间t（单位：h）这两个变量的函数。,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,例1求的定义域,解,所求定义域为,二元函数的几何表示,D,空间点集称为二元函数的图形.二元函数的图形通常是空间一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,3.二元函数的极限,定义,有别于一元函数的极限，称二元函数的极限为二重极限.,二元函数极限的精确定义：,注意:(1)的任意性;(2)当以不同方式趋于时，趋于不同的值，则可断定这函数的极限不存在.,二重极限,累次极限,练习题,2.,1.,2.,解,练习题解答：,4.多元函数的连续,定义设二元函数在平面上点的某邻域内有定义，若则称函数在点处连续.,注意：二元函数的间断点既可能是某些孤立点，也可能是某段曲线上的所有点。,例如，,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：,例4求极限,解,是多元初等函数。,定义域：,于是，,（不连通）,定理设在有界闭区域D上连续，则（1）在D上取得最大值M和最小值m；（2）若，则存在点使得,闭区域上连续函数的性质,思考题：1.比较一元函数与二元函数的区别和联系.2.能否用累次极限去计算二重极限？3.对药物浓度函数作进一步的讨论，比如，当x确定时其浓度的变化规律是怎样的？,作业P1425(1)(3);7(2)(4)；8;9(2)(4).,4.3偏导数与全微分,1.偏导数,即,同理,由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。,只要把x之外的其他自变量暂时看成,常量，对x求导数即可。,只要把y之外的其他自变量暂时看成,常量，对y求导数即可。,其它情况类似。,x,y,z,O,.,.,偏导数的几何意义,几何意义:,解,把y看成常量,把x看成常量,一般地，若函数f(X)的n1阶偏导数仍可偏导，则称其偏导数为原来函数的n阶偏导数。,2.高阶偏导数,二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数.,二元函数,的二阶偏导数：,混合偏导,解,求,的二阶偏导数。,解,再求,请同学们自己计算,例,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,3.全微分,切平面,全微分的几何意义,全微分的几何意义,定理2,定理3,偏导数存在、连续和全微分之间的关系,偏导数存在与连续的关系,但函数在该点处并不连续.,一元函数中在某点可导,多元函数中在某点偏导数存在,连续。,连续。,？,二元函数的偏导数存在，只是表明函数沿x轴和y轴方向是连续的，而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续，故由偏导数存在不能推出函数连续。,4.全微分的应用,可微,连续,可导,思考三者之间的关系：,本讲主要内容：偏导数的概念高阶偏导数全微分的概念极其