高三数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件 .ppt

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系,【知识梳理】1.平面的基本性质,两点,不在一条直线,这条直线外,的一点,相交,平行,有且只有,一条,2.空间直线的位置关系(1)位置关系分类:,异面直线：不同在_内，没有公共点.,位置关系,共面直线,_直线：同一平面内,有且只有一个公共点;_直线：同一平面内,没有公共点;,相交,平行,任何一个平面,(2)平行公理和等角定理:平行公理:平行于同一条直线的两条直线_.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_.(3)异面直线所成的角:定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).异面直线所成角的范围:_.,平行,相等或互补,锐角(或直角),3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系,1,0,无数,0,无数,【考点自测】1.(思考)给出下列命题:如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a;两个平面,有一个公共点A,就说,相交于过A点的任意一条直线;两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,并记作=A;两个平面ABC与DBC相交于线段BC;,两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.其中正确的是()A.B.C.D.【解析】选D.根据平面的性质公理3可知对;对于,其错误在于“任意”二字上;对于,错误在于=A上;对于,应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC;两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,所以正确.,2.(2013安徽高考)在下列命题中,不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理而不是公理.,3.(2014台州模拟)对于空间中的两条直线,“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若两条直线异面,则一定无公共点,两条直线无公共点时,这两条直线可能平行,故选A.,4.直线a,b,c两两平行,但不共面,经过其中两条直线的平面的个数为()A.1B.3C.6D.0【解析】选B.如图所示,可知有3个平面.,5.(2014石家庄模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为.,【解析】连接BD,B1D1,如图所示,易证EFBD,BDB1D1,故CB1D1就是异面直线B1C与EF所成的角或所成角的补角.连接D1C知CB1D1为正三角形,故B1C与EF所成的角为60.答案:60,考点1平面的基本性质及其应用【典例1】(1)给出以下命题:不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3,(2)(2014宁波模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点,求证:E,C,D1,F四点共面.,【解题视点】(1)根据确定平面的公理及推论进行判断.(2)根据中位线定理可证明EFCD1,即可证得结论.,【规范解答】(1)选B.假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线,则结论不正确.对于,b与c可能异面,不正确.不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.,(2)如图,连接CD1,EF,A1B,因为E,F分别是AB和AA1的中点,所以EFA1B且EF=A1B.又因为A1D1BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1BCD1,所以EFCD1,即EF与CD1确定一个平面.且E,F,C,D1,即E,C,D1,F四点共面.,【互动探究】本例第(2)题的条件不变,如何证明“CE,D1F,DA交于一点”?【证明】由例题解析可知,EFCD1,且EF=CD1,所以四边形CD1FE是梯形.所以CE与D1F必相交.设交点为P,如图,则PCE平面ABCD,且PD1F平面A1ADD1.又因为平面ABCD平面A1ADD1=AD,所以PAD,所以CE,D1F,DA交于一点.,【规律方法】1.证明空间点共线问题的方法(1)公理法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.,2.点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.(3)反证法.提醒:在选择已知条件确定平面时,要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明.,【变式训练】如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.(1)求证:E,F,G,H四点共面.(2)设EG与FH交于点P.求证:P,A,C三点共线.,【证明】(1)因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EFBD.在BCD中,则GHBD,所以EFGH.所以E,F,G,H四点共面.,(2)因为EGFH=P,PEG,EG平面ABC,所以P平面ABC.同理P平面ADC.则P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC平面ADC=AC,则PAC,所以P,A,C三点共线.,【加固训练】1.(2013江西高考)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=()A.8B.9C.10D.11,【解析】选A.取CD中点G,连接EG,FG,可知CD平面EFG,因为ABCD,所以AB平面EFG,容易知道平面EFG与正方体的左右两个侧面平行,所以EF与正方体的两个侧面平行,观察可知n=4;又正方体的底面与正四面体的底面共面,所以过点A可作AHCE,易知CE与正方体的上底面平行,在下底面内,与其他四个面相交,所以m=4,即得m+n=8.,2.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面.(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.,【证明】(1)连接B1D1,因为E,F分别为D1C1,C1B1的中点,所以EFD1B1,又D1B1DB,则EFDB,所以D,B,F,E四点共面.(2)因为ACBD=P,A1C1EF=Q,所以P平面DBFE,P平面A1ACC1,Q平面DBFE,Q平面A1ACC1,又A1C平面DBFE=R,所以R平面DBFE,R平面A1ACC1,所以P,Q,R在平面DBFE与平面A1ACC1的交线上,因此P,Q,R三点共线.,考点2空间直线的位置关系【典例2】(1)(2014新乡模拟)已知m,n为异面直线,m平面,n平面,=l,则l()A.与m,n都相交B.与m,n中至少一条相交C.与m,n都不相交D.与m,n中的一条直线相交,(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:AM和CN是否是异面直线?说明理由.D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.,【解题视点】(1)采用反证法进行判断.(2)通过说明MNAC,说明AM,CN共面,从而判断.由图易判断D1B和CC1是异面直线,可用反证法证明.,【规范解答】(1)选B.若m,n都不与l相交,因为m,n,=l,所以ml,nl,所以mnl,这与m,n为异面直线矛盾,故l与m,n中至少一条相交.(2)不是异面直线.理由:连接MN,A1C1,AC.因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MNA1C1.又因为A1AC1C,所以A1ACC1为平行四边形,所以A1C1AC,所以MNAC,所以A,M,N,C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.,是异面直线.理由:因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面,所以D1,B,C,C1,这与B,C,C1,D1不共面矛盾.所以假设不成立,即D1B和CC1是异面直线.,【易错警示】反证法证直线异面如本例(2)中用反证法证明异面,不论是从共面的角度,还是从平行、相交的角度否定,都要说清楚,得出矛盾.【规律方法】异面直线的判定方法(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.,【变式训练】(2014丽水模拟)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.l1l2,l2l3l1l3B.l1l2,l2l3l1l3C.l1l2l3l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面【解析】选B.因为线线垂直不具有传递性,所以选项A错误;易知选项B正确;当l1,l2,l3为三棱柱的三条侧棱时,l1,l2,l3就不共面,所以选项C错误;当l1,l2,l3为三棱锥的三条侧棱时,l1,l2,l3就不共面,所以选项D错误.,【加固训练】1.用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a,b,则ab;若a,b,则ab.其中真命题的序号是()A.B.C.D.,【解析】选C.平行关系的传递性.举反例:在同一平面内,ab,bc,有ac.,举反例:如图的长方体中,a,b,但a与b相交.垂直于同一平面的两直线互相平行.故正确.,2.(2013唐山模拟)如果两条异面直线称为“1对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A.12对B.24对C.36对D.48对【解析】选B.如图所示,与AB异面的直线有B1C1,CC1,A1D1,DD1四条,因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱,排除两棱的重复计算,共有异面直线=24(对).,3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:直线AM与CC1是相交直线;直线AM与BN是平行直线;直线BN与MB1是异面直线;直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为(注:把你认为正确的结论序号都填上).,【解析】因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故错;取DD1中点E,连接AE,则BNAE,但AE与AM相交,故错;因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故正确;同理正确,故填.答案:,考点3异面直线所成的角【考情】从近几年的高考试题来看,异面直线所成的角是高考的热点,题型既有选择题又有填空题,也有解答题,难度为中低档题;客观题主要考查异面直线所成的角,主观题较全面考查立体几何的有关知识、异面直线所成的角的求法等.,高频考点通关,【典例3】(1)(2014宁波模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为()(2)(2014广州模拟)已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角.,【解题视点】(1)由M,N分别为A1B1,BB1的中点,可取AB的中点E,EB的中点F,利用直线平行的传递性,确定异面直线AM与CN所成的角.(2)取AC的中点P连接PM连接PN得AB与CD所成的角得AB与MN所成的角.,【规范解答】(1)选D.如图,取AB的中点E,连接B1E,则AMB1E.取EB的中点F,连接FN,则B1EFN,因此AMFN,连接CF,则直线FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角.设AB=1,在CFN中,由余弦定理cos=|cosCNF|=,(2)如图,取AC的中点P.连接PM,PN,则PMAB,且PM=AB,PNCD,且PN=CD,所以MPN为AB与CD所成的角(或其补角).则MPN=60或MPN=120,若MPN=60,因为PMAB,所以PMN是AB与MN所成的角(或其补角).又因为AB=CD,所以PM=PN,则PMN是等边三角形,所以PMN=60,即AB和MN所成的角为60.若MPN=120,则易知PMN是等腰三角形.所以PMN=30,即AB和MN所成的角为30.综上,直线AB和MN所成的角为60或30.,【通关锦囊】,【特别提醒】求异面直线所成的角应注意角的范围是其余弦值一定为非负.,【关注题型】,【通关题组】1.(2014温州模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30B.45C.60D.90,【解析】选C.分别取AB,AA1,A1C1的中点D,E,F,则BA1DE,AC1EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为DEF(或其补角),设AB=AC=AA1=2,则DE=EF=,DF=,由余弦定理得,cosDEF=则DEF=120,从而异面直线BA1与AC1所成的角为60.,2.(2014金华模拟)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1AB=则异面直线AB1与BD所成的角为.,【解析】如图所示,取A1C1的中点D1,连接B1D1,由于D是AC的中点,所以B1D1BD,所以AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角或其补角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以在AB1D1中,由余弦定理得cosAB1D1=所以AB1D1=60.所以异面直线AB1与BD所成的角为60.答案:60,3.(2014宁波模拟)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF;AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线;MNCD.以上四个命题中,正确命题的序号是.,【解析】由展开后的图形可还原成如图所示的纸盒,显然ABEF,所以正确;ABCM,所以错误;由异面直线的定义可知,EF与MN是异面直线,所以正确;同理MN与CD也是异面直线,且所成角为90,所以错误.答案:,【加固训练】1.(2014惠州模拟)如图是三棱锥D-ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(),【解析】选A.由题意得如图的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1,又可知AE=1,由于OEAB,故DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是中点,在直角三角形ABC中可以求得AO=,在直角三角形DAO中可以求得DO=.在三角形DOE中,由余弦定理得cosDOE=故所求余弦值为,2.(2014成都模拟)若两条异面直线所成的角为60,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有对.,【解析】正方体如图,若要出现所成角为60的异面直线,则直线需为面对角线,以AC为例,与之构成黄金异面直线对的直线有4条,分别是AB,BC,AD,CD,正方体的面对角线有12条,所以所求的黄金异面直线对共有=24对(每一对被计算两次,所以记好要除以2).答案:24,3.(2013长沙模拟)如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P-DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为.,【解析】如图,连接HE,取HE的中点K,连接GK,PK,则GKDH,故PGK即为所求的异面直线所成的角或者其补角.设这个正四面体的棱长为2,在PGK中,故cosPGK=即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是答案:,【巧思妙解8】巧用补形法求异面直线所成的角【典例】(2014银川模拟)