数学分析与高等代数考研真题详解--中科院卷.pdf

博士家园考研丛书 （2010 版） 全国重点名校数学专业考研真题及解答 数学分析与高等代数 考研真题详解 中国科学院数学专卷 博士家园 编著 中国科学院数学专卷 博士家园 编著 博士家园系列内部资料 2 博 士 家 园 数 学 专 业 考 研 丛 书 编委会 这是一本很多数学考研人期待已久的参考书， 对于任何一个想通过考取重点院校的研究 生来进一步深造的同学来说， 历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。 为了帮助广大 同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从 2004 年开始 大量收集数学专业的考研真题， 其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。 有些试 题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园(), 这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高 校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审 稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无 闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！ 国际数学大师陈省身先生提出： “要把中国建成 21 世纪的数学大国。 ”每年有上万名数 学专业的学生为了更好的深造而努力考研， 但是过程是艰难的。 我们为了给广大师生提供更 多更新的信息与资源建立了专业网站博士家园网站。 本站力图成为综合性全国数学信息 交换的门户网站， 旨在为科研人员和数学教师服务， 提供与数学研究和数学教学有关的一切 有价值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流 的数学科学信息交流中心之一。 由于一般的院校可能提供一些往年试题， 但是往往陈旧或者 没有编配解答， 很多同学感到复习时没有参照标准， 所以本丛书挑选了重点名校数学专业的 试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校 的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们 的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试 题： 博士家园主页网址： 博士数学论坛网址： 数学资源库: 欢迎投稿，发布试题，对于本书疏漏之处欢迎来信交流，以促改正：www.bosswww.boss 博士家园 二零一零年二月 博士家园系列内部资料 2 数学分析与高等代数考研真题详解数学分析与高等代数考研真题详解 中国科学院考研数学专卷中国科学院考研数学专卷 目录目录 中国科学院考研数学专卷.3 2000 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题.3 2000 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题解答.4 2000 年招收硕士研究生入学考试线代解几试题.6 2000 年招收硕士研究生入学考试线代解几解答.7 2001 年中科院数学与系统科学研究所高等代数试题及解答.10 2002 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题.16 2003 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题.17 2003 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题解答.18 2003 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题.24 2003 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答.25 2004 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题.28 2004 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题解答.29 2004 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题.32 2004 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答.33 2005 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答.37 2005 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题.41 2005 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答.43 2006 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题.51 2006 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题解答.52 2006 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题.55 2006 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答.57 2007 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答.64 2007 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答.69 2008 年招收硕士研究生入学考试数学分析部分试题及解答.75 2009 年招收硕士研究生入学考试高等代数两试题及解答.78 2010 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答.80 2010 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答.86 中科院数学所复试时遇到的题目.96 博士家园系列内部资料 3 中国科学院考研数学专卷 2000 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题年招收硕士研究生入学考试数学分析试题 1 （15 分）定义函数 3 22 22 ,0 ( , ) 0,0 x xy f x yxy xy + =+ = , 证明函数( , )f x y在(0,0)处连续但是不可微 2(20 分)设( )ln n n fxxx=, n是自然数： (i)证明 ( )(1) 1 ( )( )1 ,1,2,. !(1)! nn nn fxfx n nnn =+= (ii)计算极限 ( ) 1 ( ) lim ! n n n f n n 3(15 分)在 3 R中, 由下列平面1,0,0,yyx xzzx= = 围成的闭区域记为D, 计 算积分 x y z D Iedxdydz + + = 4(15 分)定义向量场 2222 22 2222 ( , ),0 xyxy xeye F x yxy xyxy + =+ + ? 证明( , )F x y ? 是有势 场, 并求出( , )F x y ? 的一个势函数 5(25 分)设 0 1 ( ),0,) 2n n f xx x = =+ + 证明： (i)( )f x在0,)+上连续； (ii)lim( )0 x f x + =； (iii)对一切(0,)x+有 ln(1)1 0( ) ln21 x f x xx + , 当 2222 xyr+=时, 假设cos ,sinxrt yrt=, 则有 33 3 2 cos ( , )(0,0)0cos| rt f x yfrtr r = 不妨假设=, 当 22 xy+时, 便有|( , )(0,0)|f x yf, 所以根据定义, 连 续性获得证明 求偏导数 0 (,0)(0,0) (0,0)lim1 x x fxf f x = , 0 (0,)(0,0) (0,0)lim0 y y fyf f y = 考虑极限(利用坐标变换cos ,sinxrtyrt = =) 22,0 (,)(0,0)(0,0)(0,0) lim xy xy fxyffxfy xy + 2 223,0 lim () xy x y xy = + 32 3 0 cos sin lim r rtt r = 2 0 limcos sin r tt = , 显然可以 知道这个极限和t有关, 即极限和路径有关, 所以极限不存在, 从而由定义可知是不可微 的 2(i)证证 对( ) n fx求导 111 1 ( )ln( ) nnn nn fxnxxxnfxx =+=+, 再对等式两边1n次导, 便有 ( )(1) 1 ( )( )(1)! nn nn fxnfxn =+, 两边同时除!n便知命题成立 (ii)解:利用第(i)小题的结论易知 ( )( ) 11 1.ln !2 n n fx x nn = +从而有 ( ) 1 ( ) 11 1.ln !2 n n f n n nn = +, 所以可知 ( ) 1 ( ) lim ! n n n f n C n =(欧拉常数) 3 解解 利用分部积分有 101 0 zxy zx Ie dze dxe dy = , 积分得到 2 21Iee= 4证证 令 2222 2222 , xyxy xeye PQ xyxy + = + , 则要F ? 是有势场, 也就是要 PQ yx = , 而 博士家园系列内部资料 5 22 22 22 1 1 xy xyP xye yxy + + = + , 22 22 22 1 1 xy xyQ xye xxy + + = + , 从而就知道了F ? 是有 势场而假设F ? 在 00 (,)xy的势为 0 W, 则在( , )x y处的势为 2222 00 ( , ) 0 2222(,) xyxy x y xy xeye WWdxdy xyxy + =+ + , 而利用其是有势场, 可以知道 2222 0 00 0 2222 0 xyxy yx yx yexe WWdydx xyxy + = + 2222 00 0 yxxy Wee + =+ 所以 2222 00 0 ( , ) yxxy W x yWee + =+就是F ? 的一个势函数 5证证 （i）对于任意的0,)x+有 11 0 22 nn x , 存在N使得 1 1 2N , 于是对于任何的0,)x+有 1 111 0 222 nnN n Nn N x = =时 1 0 1 2 N n n x = + , 结合 1 2n n Nx = 时, 0( )2f x, 利用极限定义便有了命题的结论 (iii)令 1 1 ( ) 2 n n y n Ixdy x + = + , 则知道 1 11 ( ) 22 n nn Ix xx + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，从 而可以知道这个矩阵的顺序主子式均大于零， 从而知道这个矩阵是正定的， 所以秩为n， 正惯性指数为n，负惯性指数为 0. 五.证 期待您的解答. 博士家园系列内部资料 10 2001 年中科院数学与系统科学研究所高等代数试题及解答 年中科院数学与系统科学研究所高等代数试题及解答 一、 设A和B为满秩方阵，试求 = BO CA Q的逆矩阵（用CBA, 11 表示即可） 。 解：解：由0detdetdet=BAQ知，Q可逆。 令 = 2221 1211 1 XX XX Q，E表示与Q同阶的单位矩阵， 则由EQQ= 1 得 2221 1211 XX XX BO CA 2 1 EO OE ，其中 1 E为与A同阶的单 位矩阵，其中 2 E为与B同阶的单位矩阵。 于是得 22221 1211 21111 , , EBXCX OBXCX OAXEAX =+ = = 由此解出 1 22 11 1221 1 11 , =BXCBAXOXAX 所以 = 1 111 1 BO CBAA Q. 二、 设 n aaa， 21 为n个实数，方阵 博士家园系列内部资料 11 = nnn aaa aaa aaa A ? ? ? ? 222 111 试求A的所有特征值。 解： 解： A的特征多项式为 由此可知，A 的n 个特征值为0, 0, 1 ? = n i i a（0为n重 特征根） 。 三、 设dcba,为正实数,求出满足 baxy+ 与 dcxy+ 之y的最小值. 解: 平面区域 dcxybaxyyxD+=,),(的图形如 下图中阴影部分: ).( 00 00 111 )( 111 )( )det( 1 1 1 222 1 222 111 222 111 = = = = = = = n i i n n i i nnn n i i nnn n i i n i i n i i nnn aa aaa aaa a aaa aaa aaa aaa aaa aaa AE ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 博士家园系列内部资料 12 由此知 满足baxy+ 与 dcxy+ 之y的最小值即直线 baxy+= 与 dcxy+=交点的纵坐标,不难求得其值为 ca bcad + + . 四、 设BA,为方阵,且B为满秩阵,s为实数, sBAC+= 试证明: 存在正数a,使得在as = ABsEsI为有限集.若I,则令a为数集 I中的最小数;若=I,则可取a为任何正数.于是,当 as0时,必有0)det( 1 + ABsE. 博士家园系列内部资料 13 所以, 当as ，则I = + 若0B =，则ln2I = 若0B 当|0|, . |( )(0)|xstf xf时( )f x在0 x =处连续 （2） 1 1 sin0 ( )(0)1 sin 00 x f xf x x xxx = 要使( )f x在0 x =处可导，即 0 ( )(0) lim 0 x f xf x 存在，亦即 1 0 1 limsin x x x 存在 博士家园系列内部资料 19 1 sin x 在0 x 时是有界量，故只有 1 0 1 limsin0 x x x =才可，即101 从而1时，( )f x在0 x =处可导 （3）当0 x 时， 112 2 11111 ( )sincos()sincosfxxxxx xxxxx =+= 由（2）知道，若( )f x在0 x =处可导，则必有(0)0 f = 同样讨论，只有当2时，( )fx在0 x =处连续 三、证明：由于 lnlnlnlnlnln (1)ln(1)ln(*) xx yy yyyy yxxyyx xxxx xyyx ? （1）若01xy，则( )f t在（0，1）上单增，进一步，( )ln ,(0,1)g tt t=故 ( )0,(0,1)g tt，又(1)0g=，所以 (0,1), ( )0(0,1),( )0tg ttf t ，即( )f t在（0，1）上单增，故得证 （2）1yx，则（*）式 lnln 11 yx yx 故，令 ln ( ),(1,) 1 t tt t =+ 若证明( )t在(0,)+上单减，则得证 为此，求 2 ln1 ( ),(1,) (1) ttt tt t t + =+ ，令( )ln1,(1,)ttttt= + +，若能证明 ( )0,(1,)tt+则由( )0,(1,)tt+知( ) t在(1,)+上单减 进一步，( )ln ,(1,)tt t= +，( )0,(1,)tt+，( ) t在(1,)+上单减，又 ( ) t在(1,)+上连续，(1,)t +时( )(1)0,( )0,(1,)ttt=，考虑区间， 1 ( , 2 a a M +上的 ( )f x，记 , 1 max |( )|,( , ( , 2 a b Af xxa ba a M = + 1 11 () |( )| |( )( )| |()|()() 2 f f xf xf afxaMfxa =，其中 1 ax 同理 2 11222 ()1 |()| |()( )| |()|() 22 f fff afaMf M = 即 2 2 () |( )| 2 f f x ，依上述操作重复进行 n 次，得 () |( )| 2 n n f f x ，其中 1n ax知 00 ( , , . ()0 xa b stf x 记 10 inf |( ,)( )0xxx xf x=上，由连续函数局部保号性，只能 1 ()0f x=，从而 10 ( ,)x x同( )0f x ，令 10 ( )ln( ),( ,)g xf x xx x=，则 ( ) |( )| ( ) fx g xM f x = 故( )g x在有限区间 10 ( ,)x x上有界，但 1 1 0 lim( )()0 xx f xf x + = 从而 1 0 lim( ) xx g x + = 矛盾，故知不存在M，使得上述结论成立 六、旋转后形成的V为球体： 222 1xyz+；锥体： 22 1 2 z xy + +；及平面：0z = 所围成（由于我们知道，以(0,0,0)为顶点的锥体为 22 tanxyz+，从而旋转后的锥 体顶点在(0,0, 1)处）记 22 21 ,arctan 2 V z Idv xy = + 用球坐标变换公式进行计算，将V看成两部分，如图所示（略） 22 1 2sincos2212 2 22 000020 1 2sincos21 2 22 0020 2 2 cos2 cos sinsin sinsin 89 2(2 )cos2(2 )cos 75 V z Idv xy rr ddrdrddrdr rr dr drdr dr = + =+ =+= 七、解： （Lagrange 乘数法） 建立目标函数，设( , , )x y z为 2 22 1 96 x yz+上的动点，它到3412228xyz+=的 距离之平方为 22 2 2222 (3412228)(3412228) ( , , ) 341213 xyzxyz dx y z + = + 博士家园系列内部资料 22 设 22 222222 2 1 ( , , )( , , )(1)(3412228)(1) 961396 xx L x y zdx y zyzxyzyz=+=+ 则 2 2 2 2 22 22 (3412228) 3(1) 1396 2 (3412228) 42(2) 13 2 (3412228) 122(3) 13 1(4) 96 Lx xyz x L xyzy y L xyzz z Lx yz =+ + =+ + =+ =+ ? ? ? ? ， 令(,)(0,0,0,0) LLLL xyz = (1)(2)(3)xyz+得 2 22 2 2 (3412228)(3412 )2 ()0 1396 x xyzxyzyz+= 2 22 1 96 x yz+=代入并化简为 2 (3412228)(3412 ) 130(5)xyzxyz+=? 72 3 xy yy zy = = = 代入（4）并最终解出得 1 313 ( , , )(9, )( 9,) 8 888 x y zor= 将此代入目标函数求得 1 31 3 ( , , )(9, )13, ( , , )(9, )20 8 88 8 d x y zdd x y zd= 比较易得 maxmin 20,13dd= 故最远点为 13 ( 9,) 88 ，最近点为 1 3 (9, ) 8 8 八、证明： (2 )( )(2 )(0)( )(0) 2(*) 200 fxf xfxff xf xxx = ? 若(0) f 存在，则必有 0 ( )(0) lim 0 x f xf x 存在，从而 0 (2 )(0) lim 20 x fxf x 存在，均为(0) f ， 在（*）式中令0 x 则2(0)(0)(0)AfffA=，故只须证明(0) f 存在即可，如 下，将已知式看作递推式，对每一个kN，有下式成立 博士家园系列内部资料 23 1 0 1 ()() 22 lim 2 kk x k xx ff A x + + =，令1,2,1kn=?，得 11 1 1 0 00 ()() 22 lim 2 nn kk k x kk xx ff A x + + = = ，即 0 ( )() 111 2 lim() 242 n n x x f xf A x =+? 故 111 ( )()()( ) 2242 nn x f xfAxx=+?，令n +，得 ( )(0)( )(0)f xfAxxfA=+= 九、证明： （拟合法） 11 2222 00 11 (0) (0)lim(0)lim yy yyf ffdxdx xyxy + + = + 转化为证 1 22 0 1 ( )(0) lim0 y y f xf dx xy + = + ，即： 1 0,0 ，当 1 |0|y即 1 0y时， 1 22 1 ( )(0) | y f xf dx xy ，有|( )(0)| 3 f xf ，固定h 1 222222 11 1 123 22 ( )(0) ( )(0) ( )(0) | | ( )(0) | | hh h h y f xfy f xfy f xf dxdxdx xyxyxy y f xf dxIII xy + + =+ + 11 22 1 ( )(0) | h y f xf IydxyM xy = + ，当 1 0 3 y M 时，有 1 1 | 3 I M 2 2222 1 2222 1 ( )(0) ( )(0) | | 333 hh hh h h y f xfy f xf Idxdx xyxy yy dxdx xyxy = + + 1 32 2 ( )(0) | h f xf IydxyM x = ，当 2 0 3 y M 时，有 3 | 3 I ，取 1 12 0max(,) 33 y MM 博士家园系列内部资料 24 1 123 22 1 ( )(0) | | 333 y f xf dxIII xy += + 1 22 0 1 ( ) lim(0) y yf x dxf xy + = + 2003 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题年招收硕士研究生入学考试高等代数试题 1 （30 分）已知如下三阶矩阵： 10 01 1 a Ab cd = . 求( )detA；求( )tr A；证明：( )2rank A；为使( )2rank A=，求出, ,a b c和d 应满足的条件 2 （20 分） 设A是欧氏空间 n ?的一个变换 试证: 如果A保持内积不变， 即对于 n ?中 任意两个向量, 都有 ()(),AA =， 那么，它一定是线性的，而且是正交的 3 （20 分）设A是 2003 阶实方阵，且0 r A=，这里r是自然数问A的秩( )rank A最 大值是多少？ 4 （20 分）给定?上线性空间V的子空间 12 ,W W证明： ()()()( ) 1212 dimdimdimdimWWWWV+，这里dim表示维数 5 （20 分）给了n个不同的数 12 , n a aa?，试求一个1n次的多项式( )f x，使 ( ) ii f ab=，这里 i b也是给定的值，1,in=? 6 （20 分）给定?上二维线性空间V的线性变换AA在一组基下的矩阵表示为 01 0 10 Aa a = ，求A的不变子空间 7（20 分） 若Q为n阶对称正定方阵，x为n维实向量 证明： () 1 01 TT xQxxx +。 博士家园系列内部资料 25 这里 T x表示x的转置 2003 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答 1解解 ( ) 101 det1 1 b Aabdac dcd =+= ( )3tr A= 将A进行初等变换 101010 010101 101001 aaa Abbb cddacacbd = 显然( )2rank A 若使( )2rank A=，只需10acbd= 2 证证 先证()AAA+=+，由于 ()()() ()()()()() ()()() ()() ()()() () ()() , ,2, 2,2, ,2,2,2, 0 AAAAAA AAAA AAAAAAAA + =+ + =+ = 故()0AAA+=，从而 ()AAA+=+ 再证，()A kkA=由于 ()()() ()()()()()()()() ()()()() 2 2 , , , 0 A kkAA kkA A kA kk AA kk A kAkAA kkkkk kk =+ =+ = 博士家园系列内部资料 26 故()0A kkA=，从而()A kkA= 综上，A是线性变换，又保持内积不变，因而为正交变换 3 解解 首先，证()( )( )rank ABrank Arank Bn+ 00 000 nnnn sm EEBEBE AEEAAB = ， ()()() 0 n n EB rankrank ErankABnrank AB A =+=+ ， 但 ( )( ) nn EBBE rankrankrank Arank B AA =+ ， 从而得()( )( )rank ABrank Arank Bn+ 这样， ()()( )() ( )() ( ) () 11 2 0 22 1 rrr r rank Arank AArank Arank An rank Arank An rrank Arn =+ + ?， 从而，( ) ()1rn rank A r 当2003n