高考数学 2.12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用课件.ppt

第十二节定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用,【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)定积分的概念、几何意义与性质:定积分的定义及相关概念:一般地,如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xixn=b,将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式当n时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作.,在中,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间_叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做_,_叫做被积式.,a,b,积分变量,f(x)dx,定积分的几何意义:,x=a,x=b,x=a,x=b,定积分的性质:()kf(x)dx=_(k为常数).()f1(x)f2(x)dx=_.()_=(其中acb).,(2)微积分基本定理:一般地,如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)=f(x),那么=_,这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.,F(b)-F(a),(3)定积分的应用:定积分与曲边梯形面积的关系:,设阴影部分的面积为S.()S=f(x)dx.()S=_.()S=_.()S=f(x)dx-g(x)dx=f(x)-g(x)dx.定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系:()s=_.()W=_.,2.必备结论教材提炼记一记设函数f(x)在闭区间-a,a上连续,则有(1)若f(x)是偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx.(2)若f(x)是奇函数,则f(x)dx=0.3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:利用定积分求曲边梯形面积的方法.(2)数学思想:数形结合、分类讨论.,【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)设函数y=f(x)在区间a,b上连续,则f(x)dx=f(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积.()(3)若f(x)dx0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(),【解析】(1)正确.定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关,与积分变量用什么字母表示无关.(2)错误.不一定是,要结合具体图形来定.(3)错误.也有可能是在x轴上方部分的面积小于在x轴下方部分的面积.答案:(1)(2)(3),2.教材改编链接教材练一练(1)(选修2-2P55B组T1(3)改编)3xdx=.【解析】答案:,(2)(选修2-2P60A组T6改编)汽车以36km/h的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等减速度a=2m/s2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是m.,【解析】先求从刹车开始到停车所用的时间:t=0时,v0=36km/h=10m/s,刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v0-at=10-2t,由v(t)=0可得:t=5s,所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为v(t)dt=(10-2t)dt=(10t-t2)=25(m).即汽车从开始刹车到停住,共走了25m.答案:25,3.真题小试感悟考题试一试(1)(2013江西高考)若s1=x2dx,s2=dx,s3=exdx,则s1,s2,s3的大小关系为()A.s13.所以s21)”，试求a的值.【解析】由所以解得a=2.,【规律方法】计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分.(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值.(5)计算原始定积分的值.提醒：根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.,【变式训练】(2014湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足=0，则称f(x)，g(x)为区间-1,1上的一组正交函数，给出三组函数：f(x)=sinx,g(x)=cosx；f(x)=x+1,g(x)=x-1；f(x)=x,g(x)=x2,其中为区间-1,1的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3,【解析】选C.对于，则f(x)，g(x)为区间-1,1上的正交函数；对于，则f(x)，g(x)不为区间-1,1上的正交函数；对于，则f(x)，g(x)为区间-1,1上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.,【加固训练】求下列定积分.(1)(2),【解析】(1)因为|3-2x|=所以,(2)(3x3+4sinx)dx表示直线x=-5,x=5,y=0和曲线y=f(x)=3x3+4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和,且在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号.又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sinx)=-f(x),所以f(x)=3x3+4sinx在-5,5上是奇函数,所以(3x3+4sinx)dx=-(3x3+4sinx)dx,所以(3x3+4sinx)dx=(3x3+4sinx)dx+(3x3+4sinx)dx=0.,考点定积分在物理中的应用【典例】(1)(2013湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln5B.8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2,(2)(2015郑州模拟)已知作用于某一质点的力F(x)=(单位：N)，则力F(x)从x=0处运动到x=2处(单位：m)所做的功为_.【解题提示】(1)先求出行驶至停止时所用时间，然后利用定积分求出汽车行驶的距离.(2)分别在积分区间0,1和1,2求定积分.,【规范解答】(1)选C.7-3t+=0，t=4或t=-0)围成的图形的面积为，则m的值为()A.2B.3C.1D.8【解析】选A.S=解得m=2.,3.(2015北京模拟)如图,圆O:x2+y2=2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是.,【解析】阴影部分的面积为圆的面积为所以点A落在区域M内的概率是答案：,自我纠错7利用定积分求平面图形的面积【典例】(2015太原模拟)如图，由两条曲线y=-x2,y=x2及直线y=-1所围成的平面图形的面积为_.,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:上述解题过程错在把平面图形的下边界搞错了,误认为y=-x2是平面图形的下边界而导致失误.,【规避策略】1.当平面图形的