数列的递推与通项练习题.doc

数列的递推与通项（一）1若数列中，则 。 2若数列中，则 。 3若数列中，则的值是 。4若数列中，则 。 5已知数列满足且，又，（1） 求证：是等差数列； （2）求的表达式。6已知数列满足且，又，（1） 求证：是等比数列； （2）求的表达式。7已知数列满足且，又，（1）求证：是等差数列； （2）求的表达式。8已知数列满足且，求和的表达式。9已知数列中，表示数列的前n项和，满足且，求的通项公式。10已知数列满足且，试探求的通项公式。11*设函数的最小值为，最大值为，又，求和：(求函数的值域) Cn=4n-1 (二)考点一：已知数列相邻两项的递推关系，求数列的通项公式 例1. 已知数列,求. 变式1. 数列,求.变式2. 数列,求.例2. 数列,求.变式已知数列，满足a1=1， (n2)，则的通项 例3已知数列满足求数列的通项公式；例4已知数列中，.求数列变式设为常数，且， 求例5在数列中， ，其中求数列的通项公式；例6在数列中， （I）设，求数列的通项公式; （II）求数列的前项和例7.已知数列的首项，求的通项公式；变式1已知数列满足，求数列的通项公式.例8.（06江西22）已知数列满足：a1，且an，求数列的通项公式；变式1. 在数列an中，a1=1，an+1=，求an.例9。（10全国）已知数列中， .设，求数列的通项公式。变式2已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中(1)证明数列lg(1+an)是等比数列； (2)求数列的通项；变式3.已知数列满足：，则 考点二：已知数列相邻三项的递推关系，求数列的通项公式例1.（06福建22）已知数列满足求数列的通项公式；变式1：已知数列满足求例2设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 ； （II）求数列的通项公式。高考递推数列题型分类归纳解析(三)类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知数列满足，求。变式: 已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式.类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足，求。例2:已知， ，求。变式:（2004，全国I,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，求.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；（）证明：类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式。例:已知数列中，,，求。变式:1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 2.已知数列中，,，求3.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.（2）应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 变式: (2005,江西,文,22本小题满分14分）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由.类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列中，求数列变式:（2005，江西,理,21本小题满分12分）已知数列（1）证明 （2）求数列的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an4,有数列求和练习（六）专题训练 数列求和练习1、数列的通项，则数列的前项和为 ( )A B C D2、数列的前项和可能为 ( )A BC D3、已知数列的前项和，则等于 ( ) A B C D4、数列的通项公式,若前项和为10，则项数为 ( ) A11 B99 C120 D1215、在数列中，且，则 6、已知，则 7、已知等差数列的前项和为，若，则8