概率论与数理统计期望.ppt

前两章讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特征，但在一些实际问题中，随机变量的分布函数并不容易求得；另一方面，在一些实际问题中，我们往往并不直接对分布函数感兴趣，而只对分布的少数几个特征指标感兴趣，例如分布的中心位置，分散程度等等，一般称之为随机变量的数字特征，而这些数字特征在理论和实践中都具有十分重要的意义。本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、协方差、相关系数和矩。,第一节数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,我们希望引进这样一个特征数字，它能反映随机变量X所取数值的集中位置，就象力学系统中的重心反映该系统质量的集中位置一样，在概率论中，这样一个数字就是随机变量的数学期望（也称平均值）.先看一个例子。,观察一名射手20次射击的成绩如下：,人们常使用“平均中靶环数”来对射手的射击水平作出综合评价，记平均中靶环数为x,则有：,我们知道，当试验次数增大时，频率的稳定值就是概率，那么完整描述该射手真实水平的是其射中各环数的概率分布，相应地，观察到的平均中靶环数x随试验次数增大必将趋于一个稳定值，设中靶环数X（观察之前为随机变量）的分布律为：PX=i=pi,i=0,1,2,10,定义中“绝对收敛”这一条件，是为了保证E(X)的值不因求和的次序改变而改变，期望公式(1)实际上是随机变量X的取值以概率为权的加权平均，它也有一个物理的解释。,例1Xb(1,p),求E(X)解因X有分布律,X的数学期望为E(X)=0(1-p)+1p=p.,例2设Xp(l),求E(X)解X的分布律为,X的数学期望为,例3甲乙两工人每天生产出相同数量同种类型的产品，用X1,X2分别表示甲、乙两人某天生产的次品数，经统计得以下数据：,试比较他们的技术水平的高低。,解根据定义，X1的数学期望E(X1)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3E(X2)=00.2+10.5+20.3+30=1.1所以甲的技术水平比乙低。,二、连续型随机变量的数学期望,现在我们给出连续随机变量的数学期望的定义。设连续随机变量X的概率密度为f(x),随机变量X落在小区间(x,x+Dx)内的概率近似f(x)Dx,所以，连续随机变量的数学期望可以定义如下：,从几何意义来说，连续型随机变量X的数学期望E(X)就是概率分布曲线y=f(x)与x轴之间的平面图形的重心的横坐标，这是因为上述平面图形的面积为,例4设随机变量X在区间(a,b)内服从均匀分布，求E(X).解由题意知，X的概率密度为,于是有,例5设X服从参数为l(l0)的指数分布，求E(X).解由题意知，X的概率密度为,则,例6设随机变量X服从柯西分布(Cauchy)，概率密度为,求E(X).解因为广义积分,不收敛，所以E(X)不存在.,三、二维随机变量的数学期望对二维随机变量(X,Y)，定义它的数学期望为E(X,Y)=(EX,EY).设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,.则,设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则,例7设(X,Y)的密度函数为,求E(X),E(Y).,解如图所示,四、随机变量函数的数学期望为了计算随机变量函数的数学期望，我们可以先求出随机变量函数的分布律或概率密度，然后按公式(1)或(2)计算数学期望。但是，也可以用下面介绍的几个定理直接计算随机变量函数的数学期望。,例8设随机变量X的分布律为,求随机变量函数Y=X2的数学期望.,求随机变量函数Y=X2的数学期望解用两种方法计算方法先求Y的分布律为,由公式(1)得E(Y)=00.25+10.40+40.25+90.10=2.30,求随机变量函数Y=X2的数学期望解用两种方法计算方法2由公式(7)得E(Y)=(-2)20.10+(-1)20.20+020.25+120.20+220.15+320.10=2.30,例9设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布，求随机变量函数Y=sinX的数学期望.解仍用两种方法计算：方法1先利用分布函数法求得Y的概率密度为,再由公式(2)得,例9设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布，求随机变量函数Y=sinX的数学期望.解仍用两种方法计算：方法2由题意知，X的概率密度为,由公式(8)得,例10设XN(0,1),求E(X),E(X2).解,定理3设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij,i=1,2,j=1,2,g(x,y)是实值连续函数，且级数,绝对收敛，则随机变量函数g(X,Y)的数学期望为,定理4设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y),g(x,y)是实值连续函数，且广义积分,绝对收敛，则随机变量函数g(X,Y)的数学期望为,例12设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别是,求随机变量函数Z=X+Y的数学期望.解仍用两种方法.方法1首先求出Z的概率密度为,则,方法2因为随机变量X与Y是相互独立的，所以二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为,按公式(10)得,五、数学期望的性质数学期望的几个重要性质:1设C是常数，则有E(C)=C.(11)2设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)(12)3设X,Y是两个随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)(13)这一性质可以推广到任意有限个随机变量的情况.4设X,Y是相互独立的随机变量，则有E(X,Y)=E(X)E(Y)(14),证1,2,3证明略.只证明4.设X,Y为相互独立的连续型随机变量，其边缘概率密度分别为fX(x),fY(y),则联合概率密度为f(x,y)=fX(x)fY(y).故有,例13设XN(m,s2),求E(X).,例14设Xb(n,p),求E(X)解引入计数随机变量Xi,当第i次试验中事件A发生时，Xi取值1，否则取值0，i=1,2,n.其中P(A)=p,Xi为(0-1)分布，E(Xi)=p,且X=X1+X2+Xn,所以E(X)=E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn)=p+p+p=np.即X的数学期望为np.,如果直接利用数学期望的定义,计算结果也为np,但计算较繁。本例的计算方法具有一般性，引入计数随机变量可使计算简单化，请再看一例：,例15一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设旅客是否下车